নবম শ্রেণী গণিত: উৎপাদকে বিশ্লেষণ 8.4
1. $x^{3}+y^{3}-12xy+64$
সমাধান:
$A^3+B^3+C^3-3ABC$ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, যেখানে $C=4$ ধরা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^{3}+y^{3}-12xy+64$
$= x^{3}+y^{3}+4^{3}-3\cdot x \cdot y \cdot 4$
$= (x+y+4)(x^2+y^2+4^2 – xy – y\cdot 4 – 4\cdot x)$
$= (x+y+4)(x^2+y^2+16 – xy – 4y – 4x)$
উত্তর: $(x+y+4)(x^2+y^2+16 – xy – 4y – 4x)$।
2. $8x^{3}-y^{3}+1+6xy$
সমাধান:
$A^3+B^3+C^3-3ABC$ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, যেখানে $A=2x, B=-y, C=1$ ধরা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$8x^{3}-y^{3}+1+6xy$
$= (2x)^{3} + (-y)^{3} + 1^{3} – 3 \cdot (2x) \cdot (-y) \cdot 1$
$= (2x-y+1) \cdot ( (2x)^2+(-y)^2+1^2 – (2x)$
$(-y) – (-y)(1) – (1)(2x) )$
$= (2x-y+1) (4x^2+y^2+1 + 2xy + y – 2x)$
উত্তর: $(2x-y+1) (4x^2+y^2+1 + 2xy + y – 2x)$।
3. $8a^{3}-27b^{3}-1-18ab$
সমাধান:
$A^3+B^3+C^3-3ABC$ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, যেখানে $A=2a, B=-3b, C=-1$ ধরা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$8a^{3}-27b^{3}-1-18ab$
$= (2a)^{3} + (-3b)^{3} + (-1)^{3} – 3 \cdot (2a) \cdot (-3b) \cdot (-1)$
$= (2a-3b-1) \cdot ( (2a)^2+(-3b)^2+(-1)^2 – (2a)$
$(-3b) – (-3b)(-1) – (-1)(2a) )$
$= (2a-3b-1) (4a^2+9b^2+1 + 6ab – 3b + 2a)$
উত্তর: $(2a-3b-1) (4a^2+9b^2+1 + 6ab – 3b + 2a)$।
4. $1+8x^{3}+18xy-27y^{3}$
সমাধান:
$A^3+B^3+C^3-3ABC$ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, যেখানে $A=1, B=2x, C=-3y$ ধরা হয়েছে।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$1+8x^{3}-27y^{3}+18xy$
$= 1^{3} + (2x)^{3} + (-3y)^{3} – 3 \cdot 1 \cdot (2x) \cdot (-3y)$
$= (1+2x-3y) \cdot ( 1^2+(2x)^2+(-3y)^2 – 1(2x)$
$ – (2x)(-3y) – (-3y)1 )$
$= (1+2x-3y) (1+4x^2+9y^2 – 2x + 6xy + 3y)$
উত্তর: $(1+2x-3y) (1+4x^2+9y^2 – 2x + 6xy + 3y)$।
5. $(3a-2b)^{3}+(2b-5c)^{3}+(5c-3a)^{3}$
সমাধান:
যদি $A+B+C=0$ হয়, তবে $A^3+B^3+C^3=3ABC$ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে।
ধরি, $A = 3a-2b$, $B = 2b-5c$, $C = 5c-3a$
$A+B+C = (3a-2b) + (2b-5c) + (5c-3a) = 0$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$(3a-2b)^{3}+(2b-5c)^{3}+(5c-3a)^{3}$
$= 3(3a-2b)(2b-5c)(5c-3a)$
উত্তর: $3(3a-2b)(2b-5c)(5c-3a)$।
6. $(2x-y)^{3}-(x+y)^{3}+(2y-x)^{3}$
সমাধান:
এই রাশিটিকে $A^3+B^3+C^3$ আকারে সাজানো হয়েছে। যেখানে $A+B+C=0$ হলে, $A^3+B^3+C^3=3ABC$ হবে।
ধরি, $A = 2x-y$, $B = -(x+y) = -x-y$, $C = 2y-x$
$A+B+C = (2x-y) + (-x-y) + (2y-x) = 0$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$(2x-y)^{3}-(x+y)^{3}+(2y-x)^{3}$
$= (2x-y)^{3} + (-x-y)^{3} + (2y-x)^{3}$
$= 3(2x-y)(-x-y)(2y-x)$
$= -3(2x-y)(x+y)(2y-x)$
উত্তর: $-3(2x-y)(x+y)(2y-x)$।
7. $a^{6}+32a^{3}-64$
সমাধান:
এই রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ সাধারণ নিয়মে $A^3 \pm B^3$ বা $A^3+B^3+C^3$ সূত্র দ্বারা করা সম্ভব নয়।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$a^{6}+32a^{3}-64$
$= a^{6}+32a^{3}-64$
(এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)
উত্তর: $a^{6}+32a^{3}-64$ (এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)।
8. $a^{6}-18a^{3}+125$
সমাধান:
এই রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণও সাধারণ নিয়মে $A^3 \pm B^3$ সূত্র দ্বারা করা সম্ভব নয়।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$a^{6}-18a^{3}+125$
$= a^{6}-18a^{3}+125$
(এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)
উত্তর: $a^{6}-18a^{3}+125$ (এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)।
9. $p^{3}(q-r)^{3}+q^{3}(r-p)^{3}+r^{3}(p-q)^{3}$
সমাধান:
$A+B+C=0$ হলে, $A^3+B^3+C^3=3ABC$ সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে।
ধরি, $A = p(q-r)$, $B = q(r-p)$, $C = r(p-q)$। $A+B+C = 0$
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$p^{3}(q-r)^{3}+q^{3}(r-p)^{3}+r^{3}(p-q)^{3}$
$= \{p(q-r)\}^{3} + \{q(r-p)\}^{3} + \{r(p-q)\}^{3}$
$= 3 \cdot p(q-r) \cdot q(r-p) \cdot r(p-q)$
$= 3p q r (q-r)(r-p)(p-q)$
উত্তর: $3pqr (q-r)(r-p)(p-q)$।
10. $p^{3}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{26}{27}$
সমাধান:
এই রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণও $A^3+B^3+C^3-3ABC$ সূত্র দ্বারা হয় না।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$p^{3}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{26}{27}$
$= p^{3}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{26}{27}$
(এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)
উত্তর: $p^{3}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{26}{27}$ (এই রাশিটির সরল উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়)।
শেয়ার