নবম শ্রেণি গনিত: উৎপাদকে বিশ্লেষণ কষে দেখি 8.5

3. (i) $\frac{(b^{2}-c^{2})^{3}+(c^{2}-a^{2})^{3}+(a^{2}-b^{2})^{3}}{(b-c)^{3}+(c-a)^{3}+(a-b)^{3}}$ -এর সরলতম মান লিখি।

সমাধান:

আমরা জানি, যদি $X+Y+Z=0$ হয়, তবে $X^3+Y^3+Z^3 = 3XYZ$ হয়।

**লব (Numerator) এর জন্য:**
$X = b^2-c^2$, $Y = c^2-a^2$, $Z = a^2-b^2$

$X+Y+Z = (b^2-c^2)+(c^2-a^2)+(a^2-b^2) = 0$
সুতরাং, লব $= 3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)$

**হর (Denominator) এর জন্য:**
$X’ = b-c$, $Y’ = c-a$, $Z’ = a-b$

$X’+Y’+Z’ = (b-c)+(c-a)+(a-b) = 0$
সুতরাং, হর $= 3(b-c)(c-a)(a-b)$

সরলতম মান:
$$\frac{3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})}{3(b-c)(c-a)(a-b)}$$
$$= \frac{(b-c)(b+c) (c-a)(c+a) (a-b)(a+b)}{(b-c)(c-a)(a-b)}$$
$$= (b+c)(c+a)(a+b)$$

উত্তর: $(a+b)(b+c)(c+a)$।

3. (ii) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ এবং $a+b+c\ne0$ হলে, a, b ও c-এর মধ্যে সম্পর্ক লিখি।

সমাধান:

আমরা জানি, $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

দেওয়া আছে: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$

সুতরাং, $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

যেহেতু দেওয়া আছে $a+b+c\ne0$, তাই অবশ্যই দ্বিতীয় উৎপাদকটি শূন্য হবে:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$

বা, $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca = 0$

বা, $(a^2-2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) = 0$

বা, $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$

তিনটি বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি শূন্য হবে:
$a-b=0 \implies a=b$
$b-c=0 \implies b=c$
$c-a=0 \implies c=a$

অতএব, $a=b=c$

উত্তর: $a=b=c$।

3. (iii) $a^{2}-b^{2}=224$ এবং a ও b $(a

সমাধান:

$a^{2}-b^{2}=224$

বা, $(a-b)(a+b) = 224$

যেহেতু $a$ ও $b$ উভয়ই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $a

1. $a+b$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার যোগফল)।
2. $a-b$ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (কারণ $a$ ছোট এবং $b$ বড়, যেমন $-5 – (-2) = -3$)।
3. $a-b$ অবশ্যই $a+b$ এর চেয়ে ছোট।

ধরি, $a-b = X$ এবং $a+b = Y$, যেখানে $XY = 224$ এবং $X, Y$ উভয়ই ঋণাত্মক।

$224$-এর জোড়া উৎপাদকগুলি: $14 \times 16$, $8 \times 28$, ইত্যাদি।

জোড়াটি $(-14, -16)$ ধরি (যেখানে $a-b < a+b$ হওয়ায় $-16$ হবে ছোট উৎপাদক): $a-b = -16$ $a+b = -14$ যোগ করে পাই: $2a = -30 \implies a = -15$ $a=-15$ বসিয়ে পাই: $-15 + b = -14 \implies b = 1$ (এটি সম্ভব নয়, কারণ $b$ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)। জোড়াটি $(-2, -112)$ ধরি: $a-b = -112$ $a+b = -2$ যোগ করে পাই: $2a = -114 \implies a = -57$ $a=-57$ বসিয়ে পাই: $-57 + b = -2 \implies b = 55$ (এটি সম্ভব নয়, কারণ $b$ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)। জোড়াটি $(-4, -56)$ ধরি: $a-b = -56$ $a+b = -4$ যোগ করে পাই: $2a = -60 \implies a = -30$ $a=-30$ বসিয়ে পাই: $-30 + b = -4 \implies b = 26$ (এটি সম্ভব নয়, কারণ $b$ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)। *সম্ভবত $a$ ও $b$ এর মধ্যে একটি ধনাত্মক হবে। কিন্তু প্রশ্ন অনুযায়ী, উভয়ই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।* যদি $a$ ও $b$ উভয়ই ঋণাত্মক হয়, তাহলে $a^2-b^2$ ধনাত্মক হতে গেলে $a^2$ অবশ্যই $b^2$ এর চেয়ে বড় হতে হবে, যা $|a| > |b|$ ইঙ্গিত করে। কিন্তু $a |b|$ এবং $a

জোড়াটি $(-14, -16)$ ধরলে (যেখানে $a-b$ অবশ্যই বড় হতে হবে):
$a-b = -14$
$a+b = -16$
$2a = -30 \implies a=-15$
$-15+b=-16 \implies b=-1$

এখানে, $a=-15$ এবং $b=-1$ হলে, $a

উত্তর: $a=-15, b=-1$।

3. (iv) $3x=a+b+c$ হলে, $(x-a)^{3}+(x-b)^{3}+(x-c)^{3}-3(x-a)(x-b)(x-c)$-এর মান কত লিখি।

সমাধান:

আমরা জানি, $X^3+Y^3+Z^3-3XYZ = (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)$

এখানে, $X=x-a$, $Y=x-b$, $Z=x-c$

$X+Y+Z = (x-a) + (x-b) + (x-c)$
$X+Y+Z = 3x – (a+b+c)$

দেওয়া আছে: $3x = a+b+c$

$X+Y+Z = (a+b+c) – (a+b+c) = 0$

যেহেতু $X+Y+Z = 0$, তাই $X^3+Y^3+Z^3-3XYZ$ এর মান হবে $0 \times (\text{দ্বিতীয় উৎপাদক}) = 0$

উত্তর: 0।

3. (v) $2x^{2}+px+6=(2x-a)(x-2)$ একটি অভেদ হলে, a ও p-এর মান কত লিখি।

সমাধান:

$2x^{2}+px+6 = (2x-a)(x-2)$

ডান পক্ষকে গুণ করে পাই: $2x^2 – 4x – ax + 2a = 2x^2 – (4+a)x + 2a$

উভয় পক্ষের সহগ তুলনা করে পাই:

1. $x$ এর সহগ: $p = -(4+a) \implies p = -4-a$
2. ধ্রুবক পদ: $6 = 2a \implies a = 3$

$a=3$ মানটি (1)-এ বসিয়ে পাই: $p = -4-3 \implies p=-7$

উত্তর: $a=3, p=-7$।