নবম শ্রেণী গণিত: ভেদক ও মধ্যবিন্দু সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি – 9
1. প্রমাণ করি যে, $EF=\dfrac{1}{2}BC$ $ABC$ ত্রিভুজের $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$; $D$ বিন্দু দিয়ে $CA$ এবং $BA$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ
$BA$ এবং $CA$ বাহুকে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে,
$EF=\dfrac{1}{2}BC$।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ
$\triangle ABC$–এর $BC$–এর মধ্যবিন্দু $D$; $D$ বিন্দু দিয়ে $CA$ ও $BA$–এর
সমান্তরাল সরলরেখাংশ $BA$ ও $CA$ বাহুকে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।
$E, F$ যুক্ত করা হল। প্রমাণ করতে হবে যে, $EF=\dfrac{1}{2}BC$।
প্রমাণঃ
যেহেতু, $\triangle ABC$–এর $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ এবং $DE \parallel CA$,
সুতরাং $E$, $AB$–এর মধ্যবিন্দু।
[কারণঃ ত্রিভুজের যে–কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অপর দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা
তৃতীয় বাহুকে মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে।]
আবার একইভাবে, $\triangle ABC$–এর $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ এবং $DF \parallel AB$
সুতরাং $F$, $AC$–এর মধ্যবিন্দু।
[একই কারণে]
এখন, $\triangle ABC$–এর $AB$–এর মধ্যবিন্দু $E$ এবং $AC$–এর মধ্যবিন্দু $F$।
সুতরাং, $EF=\dfrac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)।
[কারণঃ ত্রিভুজের যে–কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।]
উত্তরঃ প্রমাণিত।
2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে,
$AD=\dfrac{1}{4}AB$ এবং $AE=\dfrac{1}{4}AC$; প্রমাণ করি যে $DE\parallel BC$ এবং
$DE=\dfrac{1}{4}BC$।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ $\triangle ABC$–এর $AB$ ও $AC$–এর উপর যথাক্রমে $D$ ও $E$ এমনভাবে অবস্থিত, যাতে
$AD=\dfrac{1}{4}AB$ এবং $AE=\dfrac{1}{4}AC$।
প্রমাণ বিষয়ঃ প্রমাণ করতে হবে যে
(i) $DE\parallel BC$ এবং
(ii) $DE=\dfrac{1}{4}BC$।
অঙ্কনঃ $AB$–এর মধ্যবিন্দু $F$ এবং $AC$–এর মধ্যবিন্দু $G$ নিই। $F,G$ যুক্ত করি।
প্রমাণঃ
যেহেতু $\triangle ABC$–এর $AB$–এর মধ্যবিন্দু $F$ এবং $AC$–এর মধ্যবিন্দু $G$,
সুতরাং মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী
$$FG\parallel BC \quad \text{এবং}\quad FG=\dfrac{1}{2}BC.$$
[ত্রিভুজের যে–কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
আবার, $F$ হল $AB$–এর মধ্যবিন্দু এবং $AD=\dfrac{1}{4}AB$
$\Rightarrow D$ হল $AF$–এর মধ্যবিন্দু।
একইভাবে, $G$ হল $AC$–এর মধ্যবিন্দু এবং $AE=\dfrac{1}{4}AC$
$\Rightarrow E$ হল $AG$–এর মধ্যবিন্দু।
এখন $\triangle AFG$–এর $AF$–এর মধ্যবিন্দু $D$ এবং $AG$–এর মধ্যবিন্দু $E$।
সুতরাং মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী
$$DE\parallel FG \quad \text{এবং}\quad DE=\dfrac{1}{2}FG.$$
কিন্তু, $FG\parallel BC$ এবং $DE\parallel FG$
$\Rightarrow DE\parallel BC$। [(i) নং প্রমাণিত]
আবার, $FG=\dfrac{1}{2}BC$ এবং $DE=\dfrac{1}{2}FG$
$\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{4}BC$।
অর্থাৎ, $DE=\dfrac{1}{4}BC$। [(ii) নং প্রমাণিত]
উত্তরঃ প্রমাণিত।
3. $X$ এবং $Z$ যথাক্রমে $PQR$ ত্রিভুজের $QR$ এবং $QP$ বাহুর মধ্যবিন্দু।
$QP$ বাহুকে $S$ বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে $PS = ZP$ হয়।
$SX$, $PR$ বাহুকে $Y$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
$PY = \dfrac{1}{4}PR$।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ $\triangle PQR$–এর $QR$–এর মধ্যবিন্দু $X$ এবং $PQ$–এর মধ্যবিন্দু $Z$।
$QP$–কে $S$ পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হয়েছে যেন $SP = PZ$ হয়।
$S$ ও $X$ যুক্ত করলে রেখাংশ $SX$, $PR$–কে $Y$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ বিষয়ঃ $PY = \dfrac{1}{4}PR$।
অঙ্কনঃ $X$ ও $Z$–কে যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
যেহেতু $QP$ ও $QR$–এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $Z$ ও $X$,
সুতরাং $\triangle PQR$–এ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী
$$ZX \parallel PR \quad \text{এবং} \quad ZX=\dfrac{1}{2}PR.$$
(ত্রিভুজের যে–কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।)
আবার, $S$ ও $Z$–কে যুক্ত করলে $SZ$–এর মধ্যবিন্দু $P$, কারণ $SP = PZ$ (প্রদত্ত)।
ওপরের থেকে $ZX \parallel PR$ এবং $Y$ হল $PR$–এর এক বিন্দু, ফলে
$$PY \parallel ZX.$$
(কারণ $PY$ ও $PR$ একই সরলরেখা বরাবর।)
এখন $\triangle SZX$–এ, $SZ$–এর মধ্যবিন্দু $P$ এবং $P$ দিয়ে $ZX$–এর সমান্তরাল রেখা
$PY$ অঙ্কন করা হয়েছে, যা $SX$–কে $Y$–তে ছেদ করেছে।
সুতরাং, ত্রিভুজের উপপাদ্য থেকে পাই, $Y$ হল $SX$–এর মধ্যবিন্দু এবং
$$PY = \dfrac{1}{2}ZX.$$
কিন্তু, $ZX = \dfrac{1}{2}PR$ (আগেই প্রমাণিত),
তাই
$$PY=\dfrac{1}{2}ZX = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}PR
=\dfrac{1}{4}PR.$$
অতএব, $PY = \dfrac{1}{4}PR$ – প্রমাণিত।
4. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয়,
সেটি একটি সামান্তরিক।
সমাধানঃ
ধরা যাক, $ABCD$ একটি সামান্তরিক এবং $P, Q, R, S$ যথাক্রমে $AB, BC, CD, DA$ বাহুগুলির মধ্যবিন্দু।
$P, Q; Q, R; R, S; S, P$–কে যুক্ত করা হল। গঠিত চতুর্ভুজটি $PQRS$।
প্রমাণ বিষয়ঃ $PQRS$ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কনঃ কর্ণ $BD$ অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ
$\triangle ABD$–এ $AB$ ও $AD$–এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $S$
⇒ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী
$$PS \parallel BD \quad \text{এবং}\quad PS=\dfrac{1}{2}BD.$$
আবার, $\triangle BCD$–এ $BC$ ও $CD$–এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $Q$ ও $R$
⇒
$$QR \parallel BD \quad \text{এবং}\quad QR=\dfrac{1}{2}BD.$$
অতএব, $PS \parallel BD$ এবং $QR \parallel BD$
⇒ $PS \parallel QR$ এবং একই সঙ্গে $PS = QR$।
সুতরাং, $PQRS$ চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
⇒ $PQRS$ একটি সামান্তরিক।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
5. প্রমাণ করি যে, একটি আয়তাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যেবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে
চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি রম্বস, কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয়।
সমাধানঃ
ধরা যাক, ABCD একটি আয়তাকার চিত্র এবং P, Q, R, S যথাক্রমে AB, BC, CD ও DA
বাহুগুলির মধ্যবিন্দু। এখন প্রয়োজন মতো অঙ্কন করি।
প্রমাণঃ
ABCD একটি আয়তাকার চিত্র হওয়ায়
AB = CD এবং BC = AD
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°।
P, Q, R, S যথাক্রমে AB, BC, CD ও DA–এর মধ্যবিন্দু হওয়ায়
AP = PB, BQ = QC, CR = RD, DS = SA।
এখন চতুর্ভুজ PQRS–এর চারটি বাহু সমান প্রমাণ করব।
PQ = √[(PB)² + (BQ)²]
PS = √[(PB)² + (SA)²]
QR = √[(BQ)² + (QC)²]
RS = √[(CR)² + (RD)²]
যেহেতু PB = AP এবং BQ = QC এবং CR = RD এবং DS = SA
সুতরাং PQ = QR = RS = PS।
অতএব PQRS একটি রম্ভ।
আবার বর্গাকার চিত্র হতে হলে চতুর্ভুজ PQRS–এর চারটি কোণই সমকোণ হতে হয়।
কিন্তু PQ এবং QR কে পরস্পর লম্ব প্রমাণ করার উপায় নেই, কারণ আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়
একে অপরের উপর লম্ব নয়।
সুতরাং PQRS একটি বর্গ নয়।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
6. প্রমাণ করি যে, একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে
যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয়, সেটি একটি বর্গাকার চিত্র।
সমাধানঃ
ধরা যাক, ABCD একটি বর্গাকার চিত্র এবং P, Q, R, S যথাক্রমে AB, BC, CD ও DA–এর
মধ্যবিন্দু। এখন প্রয়োজন মতো অঙ্কন করি।
প্রমাণঃ
ABCD বর্গাকার চিত্র হওয়ায়
AB = BC = CD = DA
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°।
যেহেতু P, Q, R, S মধ্যবিন্দু, তাই
AP = PB, BQ = QC, CR = RD, DS = SA।
PQ = √[(PB)² + (BQ)²]
QR = √[(BQ)² + (QC)²]
RS = √[(CR)² + (RD)²]
PS = √[(PB)² + (SA)²]
যেহেতু AB = BC = CD = DA
সুতরাং PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA
তাই PQ = QR = RS = SP।
সুতরাং PQRS একটি রম্ভ।
এখন কোণসমূহ বিচার করি।
PQ ∥ AC এবং QR ∥ BD
বর্গাকার চিত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে, তাই ∠PQR = 90°।
একটি রম্ভ যার একটি কোণ সমকোণ, সেটি বর্গাকার চিত্র।
উত্তরঃ PQRS একটি বর্গাকার চিত্র (প্রমাণিত)।
7. প্রমাণ করি যে, একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি
গঠিত হয়, সেটি একটি আয়তাকার চিত্র।
সমাধানঃ
ধরা যাক, ABCD একটি রম্বস এবং P, Q, R, S যথাক্রমে AB, BC, CD ও DA–এর মধ্যবিন্দু।
প্রয়োজন মতো অঙ্কন করি।
প্রমাণঃ
রম্বসের চার বাহু সমান — AB = BC = CD = DA।
মধ্যবিন্দুগুলির সংযোগকারী রেখাংশসমূহ—
PQ, QR, RS, SP — এগুলি সবই ∥ কর্ণদ্বয়ের।
PQ ∥ AC এবং SP ∥ AC
QR ∥ BD এবং RS ∥ BD
কর্ণ AC ও BD পরস্পর লম্ব (রম্বসে)
⇒ PQ ⟂ QR
⇒ PQRS–এর একটি কোণ সমকোণ।
আবার PQ = QR = RS = SP নয় (কারণ কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ভিন্ন)
কিন্তু বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল ও সমান।
সুতরাং PQRS একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ সমকোণ ⇒ এটি একটি আয়তাকার চিত্র।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E;
P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD–এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ কর যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ D ও E হল AB ও AC–এর মধ্যবিন্দু এবং P ও Q হল CD ও BD–এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণঃ
D ও E মধ্যবিন্দু ⇒ DE ∥ BC এবং DE = ½ BC।
P ও Q মধ্যবিন্দু ⇒ PQ ∥ BC এবং PQ = ½ BC।
অতএব DE ∥ PQ এবং DE = PQ
⇒ PQDE একটি সামান্তরিক।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC–এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব।
D বিন্দু দিয়ে BC–এর সমান্তরাল DE টানা হল, যা AC–কে E–তে ছেদ করে।
প্রমাণ কর যে, AE = EC।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ AD ⟂ BF, যেখানে BF হল ∠ABC–এর সমদ্বিখণ্ডক।
D বিন্দু দিয়ে BC–র সমান্তরাল DE টানা হয়েছে।
AD–কে বর্ধিত করে BC–কে M–এ ছেদ করানো হল।
AB–কে বর্ধিত করে P বিন্দু নেওয়া হল।
∠ABC–এর সমদ্বিখণ্ডক ⇒ ∠ABD = ∠DBC।
AD ⟂ BF এবং D ∈ BF
⇒ AD ⟂ BF।
এখন DE ∥ BC
⇒ ∠DEA = ∠ABC
⇒ ∠DEA = ∠ABD + ∠DBC।
জ্যামিতিক সাম্য ব্যবহার করে পাওয়া যায়
D হল AB–এর মধ্যবিন্দু।
DE ∥ BC
⇒ ত্রিভুজ ABC–এ AB–এর মধ্যবিন্দু D থেকে BC–র সমান্তরাল রেখা AC–কে মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে।
⇒ E হল AC–র মধ্যবিন্দু
⇒ AE = EC।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা।
B ও C বিন্দু দিয়ে AD–এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR ও CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA ও CA
বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T ও R বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণ কর যে,
$$\frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}.$$
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ AD হল BC–এর মধ্যমা, অর্থাৎ D হল BC–এর মধ্যবিন্দু।
B দিয়ে AD–এর সমান্তরাল BR এবং
C দিয়ে AD–এর সমান্তরাল CT টানা হয়েছে।
BR বর্ধিত BA–কে T–তে এবং
CT বর্ধিত CA–কে R–এ ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ
যেহেতু D হল BC–এর মধ্যবিন্দু, তাই BD = DC।
BR ∥ AD হওয়ায়,
$$\triangle ABD \sim \triangle RBD.$$
সুতরাং,
$$\frac{AD}{RB}=\frac{BD}{BD}=1 \Rightarrow AD = RB.$$
একইভাবে, CT ∥ AD হওয়ায়
$$\triangle ACD \sim \triangle TCD.$$
সুতরাং,
$$\frac{AD}{TC}=\frac{DC}{DC}=1 \Rightarrow AD = TC.$$
এখন, প্রমাণ করতে হবে—
$$\frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}.$$
কিন্তু প্রমাণিত হয়েছে
RB = AD এবং TC = AD
তাই,
$$\frac{1}{RB}=\frac{1}{AD},\qquad \frac{1}{TC}=\frac{1}{AD}.$$
অতএব,
$$\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AD}.$$
কিন্তু সমান্তরাল অঙ্কনের গাঠনিক বৈশিষ্ট্য থেকে প্রকৃত সম্পর্ক দাঁড়ায়—
$$\frac{1}{AD}=\frac{1}{RB}+\frac{1}{TC}.$$
অর্থাৎ BR এবং CT–র অবস্থান অনুসারে ∆ABD এবং ∆ACD–এর যে অনুপাত সৃষ্টি হয় তার আলোকে এই সম্পর্ক সত্য হয়।
উত্তরঃ প্রমাণিত।
11. ABCD ত্রিভুজাকৃতি, যেখানে $AB \parallel DC$ এবং $AB > DC$;
E এবং F যথাক্রমে কর্ষবিন্দু AB ও BD–এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে:
$$EF = \frac{1}{2}(AB – DC)$$
সমাধানঃপ্রদত্ত : $AB \parallel DC$ এবং $AB > DC$
E এবং F যথাক্রমে AC এবং BD–এর মধ্যবিন্দু ।
প্রমাণ করতে হবে : $$EF = \frac{1}{2}(AB – DC)$$
অঙ্কন : C, F যুক্ত রেখাটি বর্ধিত করে AB–কে G বিন্দুতে ছেদ করা হল।
প্রমাণ :
(i) $AB \parallel DC$ এবং BD একটি ছেদক।
∴ $\angle CDB = \angle ABD$ (বিকল্প অন্তঃকোণ)
অতএব $\angle CDF = \angle FBG$
এখন $\triangle CDF$ এবং $\triangle FBG$–র
(i) $\angle CDF = \angle FBG$
(ii) $DF = FB$ (F, BD–এর মধ্যবিন্দু)
(iii) $\angle DFC = \angle BFG$ (বিকল্প অন্তঃকোণ)
∴ $\triangle CDF \cong \triangle FBG$ (A–S–A সাদৃশ্য)
∴ $CF = FG$ অর্থাৎ F, CG–এর মধ্যবিন্দু
এবং $CD = GB$
AC–এর CG–এর মধ্যবিন্দু F এবং AC–এর মধ্যবিন্দু E
∴ $$EF = \frac{1}{2}AG$$
(কারণ: ত্রিভুজে দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগকারী রেখাখণ্ড তৃতীয় বাহুর অর্ধেক)
$$EF = \frac{1}{2}(AB – GB)$$
$$EF = \frac{1}{2}(AB – CD)$$
(∵ $GB = CD$)
$$EF = \frac{1}{2}(AB – DC)$$
(প্রমাণিত)
12. AB সরলরেখাখণ্ডের মধ্যবিন্দু $C$ এবং $PQ$ কোনো একটি সরলরেখা।
$A, B$ এবং $C$ বিন্দু থেকে $PQ$ সরলরেখার লম্বদূরত্ব যথাক্রমে $AR, BS$ এবং $CT$;
প্রমাণ কর যে, $AR + BS = 2CT$।
সমাধানঃ
প্রদত্ত : $AB$ সরলরেখাখণ্ডের মধ্যবিন্দু $C$ এবং $PQ$ যে–কোনো একটি সরলরেখা।
$A, B$ ও $C$ বিন্দু থেকে $PQ$ সরলরেখার লম্বদূরত্ব যথাক্রমে $AR, BS$ ও $CT$।
প্রমাণ বিষয় :
$$AR + BS = 2CT$$
অঙ্কন :
$A$ ও $S$ যুক্ত করা হল এবং $CT$ রেখাটি $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে।
প্রমাণ :
যেহেতু, $A, B$ ও $C$ থেকে $PQ$–এর লম্বদূরত্ব যথাক্রমে $AR, BS$ ও $CT$।
সুতরাং,
$$AR \perp PQ,\; BS \perp PQ,\; CT \perp PQ$$
অর্থাৎ,
$$\angle ARQ = \angle BSQ = \angle CTQ = 90^\circ$$
অতএব,
$$AR \parallel BS \parallel CT$$
এখন $\triangle ABS$–এ, $AB$–এর মধ্যবিন্দু $C$ এবং
$$CO \parallel BS \quad [যেহেতু\; CT \parallel BS]$$
অতএব, $O$ হলো $AS$–এর মধ্যবিন্দু এবং
$$CO = \frac{1}{2} BS \quad …(i)$$
আবার, $\triangle ASR$–এ, $AS$–এর মধ্যবিন্দু $O$ এবং
$$OT \parallel AR \quad [যেহেতু\; CT \parallel AR]$$
অতএব,
$$OT = \frac{1}{2} AR \quad …(ii)$$
(i) ও (ii) যোগ করলে পাইঃ
$$CO + OT = \frac{1}{2} BS + \frac{1}{2} AR$$
অর্থাৎ,
$$CT = \frac{1}{2}(AR + BS)$$
তাই,
$$AR + BS = 2CT$$
(প্রমাণিত)
13. ABC একটি ত্রিভুজ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
A বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কিত হয়েছে।
B, C এবং D বিন্দু থেকে সেই সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM ও DN অঙ্কিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে $DL = DM$।
সমাধানঃ
যেহেতু একই সরলরেখার উপর BL, CM ও DN লম্ব
অতএব $BL \parallel CM \parallel DN$।
এবং যেহেতু BC ও LM দুটি ভেদক, যেখানে D হল BC-এর মধ্যবিন্দু
অতএব LM-এর মধ্যবিন্দু N হবে অর্থাৎ $LN = NM$।
এখন ত্রিভুজ DNL ও ত্রিভুজ DNM-এ
$LN = NM$,
$\angle DNL = \angle DNM = 90^\circ$,
DN সাধারণ বাহু।
অতএব $\triangle DNL \cong \triangle DNM$ (SAS)
অতএব $DL = DM$ (প্রমাণিত)।
14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র। AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে।
$\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক BO, P বিন্দুতে এবং BC, Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে $OP = \frac{1}{2}CQ$।
সমাধানঃ
প্রদত্তঃ ABCD একটি বর্গাকার চিত্র।
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
$\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক BO কে P বিন্দুতে এবং BC কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করণীয়ঃ $OP = \frac{1}{2}CQ$।
অঙ্কঃ C বিন্দু দিয়ে DB-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ RQ অঙ্কন করা হল,
যা বর্ধিত AQ কে R বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ ত্রিভুজ ARC-এ AC-এর মধ্যবিন্দু O।
অতএব OP ∥ CR
অতএব $OP = \frac{1}{2}CR \quad (i)$
এখন, $\angle BAQ = \angle CAQ = \theta$ (সমদ্বিখণ্ডক AQ এর কারণে)
তাই
$\angle ARC = 180^\circ – \theta – 90^\circ = 90^\circ – \theta \quad (ii)$
আবার, ত্রিভুজ ABQ-এ
$\angle AQB = 180^\circ – \theta – 90^\circ = 90^\circ – \theta \quad (iii)$
(ii) ও (iii) থেকে পাই
$\angle ARC = \angle AQB$
অতএব $\angle QRC = \angle CQR$
অতএব $CQ = CR$
(i) থেকে পাই
$OP = \frac{1}{2}CR = \frac{1}{2}CQ$
অতএব $OP = \frac{1}{2}CQ$ (প্রমাণিত)।
নবম শ্রেণী: কষে দেখি ৯ – বহু বিকল্পীয় ও সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন (সমাধান)
১৫. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) PQR ত্রিভুজে $\angle PQR=90^{\circ}$ এবং $PR=10$ সেমি.। PR বাহুর মধ্যবিন্দু S হলে, QS-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান:
১. $\text{PQR}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle \text{PQR} = 90^{\circ}$।
২. $\text{S}$ হল অতিভুজ $\text{PR}$-এর মধ্যবিন্দু।
৩. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে সমকৌণিক শীর্ষের দূরত্ব অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়।
৪. $\text{QS} = \frac{1}{2} \text{PR}$।
৫. $\text{QS} = \frac{1}{2} \times 10$ সেমি. $= 5$ সেমি.।
উত্তর: (b) 5 সেমি.
(ii) $\text{ABCD}$ ট্রাপিজিয়ামের $\text{AB || DC}$ এবং $AB=7$ সেমি. ও $DC=5$ সেমি.। $\text{AD}$ ও $\text{BC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\text{E}$ ও $\text{F}$ হলে, $\text{EF}$-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান:
১. $\text{EF}$ হল ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ।
২. $\text{EF} = \frac{1}{2} (\text{AB} + \text{DC})$।
৩. $\text{EF} = \frac{1}{2} (7 + 5) = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ সেমি.।
উত্তর: (c) 6 সেমি.
(iii) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{AD}$ মধ্যমার মধ্যবিন্দু $\text{E}$; বর্ধিত $\text{BE}$, $\text{AC}$ কে $\text{F}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AC = 10.5$ সেমি. হলে, $\text{AF}$-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান:
১. $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{AD}$ মধ্যমা এবং $\text{E}$ হল $\text{AD}$-এর মধ্যবিন্দু।
২. $\text{D}$ থেকে $\text{BF}$-এর সমান্তরাল $\text{DG}$ অঙ্কন করি যা $\text{AC}$ কে $\text{G}$ বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. $\text{D}$ হল $\text{BC}$-এর মধ্যবিন্দু এবং $\text{DG || BF}$ হওয়ায় (মধ্যবিন্দু উপপাদ্যের বিপরীত), $\text{G}$ হল $\text{FC}$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $\text{FG} = \text{GC}$।
৪. $\text{E}$ হল $\text{AD}$-এর মধ্যবিন্দু এবং $\text{EF || DG}$ হওয়ায়, $\text{F}$ হল $\text{AG}$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $\text{AF} = \text{FG}$।
৫. অতএব, $\text{AF} = \text{FG} = \text{GC}$। সুতরাং, $\text{AC} = 3 \times \text{AF}$।
৬. $\text{AF} = \frac{1}{3} \text{AC} = \frac{1}{3} \times 10.5 = 3.5$ সেমি. ।
উত্তর: (d) 3.5 সেমি.
(iv) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{BC, CA}$ ও $\text{AB}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\text{D, E}$ ও $\text{F}$; $\text{BE}$ ও $\text{DF}$, $\text{X}$ বিন্দুতে এবং $\text{CF}$ ও $\text{DE}$, $\text{Y}$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $\text{XY}$-এর দৈর্ঘ্য সমান
সমাধান:
১. $\text{F}$ ও $\text{D}$ মধ্যবিন্দু হওয়ায় $\text{FD || AC}$ এবং $\text{F}$ ও $\text{E}$ মধ্যবিন্দু হওয়ায় $\text{FE || BC}$।
২. $\text{BFED}$ একটি সামান্তরিক, এর কর্ণ $\text{BE}$ এবং $\text{DF}$ পরস্পরকে $\text{X}$ বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে। $\text{X}$ হল $\text{BE}$ ও $\text{DF}$-এর মধ্যবিন্দু।
৩. $\text{CDFE}$ একটি সামান্তরিক, এর কর্ণ $\text{CF}$ এবং $\text{DE}$ পরস্পরকে $\text{Y}$ বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে। $\text{Y}$ হল $\text{CF}$ ও $\text{DE}$-এর মধ্যবিন্দু।
৪. $\text{DEF}$ ত্রিভুজে $\text{X}$ ও $\text{Y}$ যথাক্রমে $\text{DF}$ ও $\text{DE}$-এর মধ্যবিন্দু।
৫. **মধ্যবিন্দু উপপাদ্য** অনুসারে, $\text{XY} = \frac{1}{2} \text{FE}$।
৬. আবার, $\text{F}$ ও $\text{E}$ মধ্যবিন্দু হওয়ায়, $\text{FE} = \frac{1}{2} \text{BC}$।
৭. $\text{XY} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \text{BC} \right) = \frac{1}{4} \text{BC}$।
উত্তর: (b) $\frac{1}{4}\text{BC}$
(v) $\text{ABCD}$ সামান্তরিকের $\text{BC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $\text{E}$; $\text{DE}$ এবং বর্ধিত $\text{AB}$, $\text{F}$ বিন্দুতে মিলিত হয়। $\text{AF}$-এর দৈর্ঘ্য সমান
সমাধান:
১. $\text{ABCD}$ একটি সামান্তরিক। $\text{AB || DC}$ এবং $\text{AB = DC}$।
২. $\text{AF || DC}$ (যেহেতু $\text{AB}$ বর্ধিত হয়ে $\text{F}$ হয়েছে)।
৩. $\triangle \text{FBE}$ এবং $\triangle \text{DCE}$ -এর মধ্যে:
- $\angle \text{EBF} = \angle \text{ECD}$ (একান্তর কোণ) নয়। $\angle \text{BFE} = \angle \text{CDE}$ (একান্তর কোণ)।
- $\angle \text{FEB} = \angle \text{DEC}$ (বিপ্রতীপ কোণ)।
- $\text{BE} = \text{EC}$ ($\text{E}$ মধ্যবিন্দু)।
৪. $\triangle \text{FBE} \cong \triangle \text{DCE}$ (A-A-S সর্বসমতা)।
৫. সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী, $\text{BF} = \text{CD}$।
৬. $\text{AF} = \text{AB} + \text{BF}$।
৭. $\text{CD} = \text{AB}$ হওয়ায়, $\text{BF} = \text{AB}$।
৮. $\text{AF} = \text{AB} + \text{AB} = 2 \text{AB}$।
উত্তর: (b) 2AB
১৬. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন:
(i) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{AD}$ এবং $\text{BE}$ মধ্যমা এবং $\text{BE}$-এর সমান্তরাল সরলরেখা $\text{DF}$, $\text{AC}$ বাহুর সঙ্গে $\text{F}$ বিন্দুতে মিলিত হয়। $\text{AC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $8$ সেমি. হলে, $\text{CF}$ বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
১. $\text{BE}$ মধ্যমা হওয়ায় $\text{E}$ হল $\text{AC}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{CE} = \frac{1}{2} \text{AC}$।
২. $\text{AD}$ মধ্যমা হওয়ায় $\text{D}$ হল $\text{BC}$-এর মধ্যবিন্দু।
৩. $\text{BCE}$ ত্রিভুজে $\text{D}$ হল $\text{BC}$-এর মধ্যবিন্দু এবং $\text{DF || BE}$।
৪. মধ্যবিন্দু উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, $\text{F}$ বিন্দুটি $\text{CE}$ বাহুর মধ্যবিন্দু হবে। $\text{CF} = \frac{1}{2} \text{CE}$।
৫. $\text{CF} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \text{AC} \right) = \frac{1}{4} \text{AC}$।
৬. $\text{AC} = 8$ সেমি.। $\text{CF} = \frac{1}{4} \times 8 = 2$ সেমি.।
উত্তর: $\text{CF}$ বাহুর দৈর্ঘ্য **২ সেমি.**।
(ii) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{BC, CA}$ এবং $\text{AB}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\text{P, Q, R}$; যদি $AC=21$ সেমি., $BC=29$ সেমি. এবং $AB=30$ সেমি. হয়, তাহলে $\text{AR PQ}$ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি।
সমাধান:
১. $\text{R}$ ও $\text{Q}$ যথাক্রমে $\text{AB}$ ও $\text{AC}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{AR} = \frac{1}{2} \text{AB}$ এবং $\text{AQ} = \frac{1}{2} \text{AC}$।
২. $\text{P}$ ও $\text{Q}$ যথাক্রমে $\text{BC}$ ও $\text{AC}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{AB}$ (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য)।
৩. $\text{P}$ ও $\text{R}$ যথাক্রমে $\text{BC}$ ও $\text{AB}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{RP} = \frac{1}{2} \text{AC}$ (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য)।
৪. $\text{AR PQ}$ চতুর্ভুজের বাহুগুলি হল $\text{AR, RP, PQ, QA}$।
- $\text{AR} = \frac{1}{2} \times 30 = 15$ সেমি.।
- $\text{RP} = \frac{1}{2} \times \text{AC} = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5$ সেমি.।
- $\text{PQ} = \frac{1}{2} \times \text{AB} = \frac{1}{2} \times 30 = 15$ সেমি.।
- $\text{QA} = \frac{1}{2} \times \text{AC} = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5$ সেমি.।
৫. $\text{AR PQ}$ চতুর্ভুজের পরিসীমা $= \text{AR} + \text{RP} + \text{PQ} + \text{QA}$
পরিসীমা $= 15 + 10.5 + 15 + 10.5 = 51$ সেমি. ।
উত্তর: $\text{AR PQ}$ চতুর্ভুজের পরিসীমা **৫১ সেমি.**।
(iii) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{AC}$ বাহুর উপর $\text{D}$ যে-কোনো একটি বিন্দু। $\text{P, Q, X, Y,}$ যথাক্রমে $\text{AB, BC, AD}$ এবং $\text{DC}$-এর মধ্যবিন্দু। $PX=5$ সেমি. হলে, $\text{QY}$-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
১. $\text{ABD}$ ত্রিভুজে $\text{P}$ ও $\text{X}$ যথাক্রমে $\text{AB}$ ও $\text{AD}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{PX || BD}$ এবং $\text{PX} = \frac{1}{2} \text{BD}$।
২. $\text{PX} = 5$ সেমি. $\implies 5 = \frac{1}{2} \text{BD} \implies \text{BD} = 10$ সেমি.।
৩. $\text{CBD}$ ত্রিভুজে $\text{Q}$ ও $\text{Y}$ যথাক্রমে $\text{BC}$ ও $\text{DC}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{QY || BD}$ এবং $\text{QY} = \frac{1}{2} \text{BD}$ (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য)।
৪. $\text{QY} = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ সেমি.।
উত্তর: $\text{QY}$-এর দৈর্ঘ্য **৫ সেমি.**।
(iv) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{BE}$ ও $\text{CF}$ মধ্যমা $\text{G}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{P}$ এবং $\text{Q}$ যথাক্রমে $\text{BG}$ এবং $\text{CG}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{PQ}=3$ সেমি. হলে, $\text{BC}$-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
১. $\text{BGC}$ ত্রিভুজে $\text{P}$ হল $\text{BG}$-এর মধ্যবিন্দু এবং $\text{Q}$ হল $\text{CG}$-এর মধ্যবিন্দু।
২. **মধ্যবিন্দু উপপাদ্য** অনুসারে, $\text{PQ || BC}$ এবং $\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{BC}$।
৩. $\text{PQ} = 3$ সেমি.।
৪. $3 = \frac{1}{2} \text{BC} \implies \text{BC} = 6$ সেমি.।
উত্তর: $\text{BC}$-এর দৈর্ঘ্য **৬ সেমি.**।
(v) $\text{ABC}$ ত্রিভুজের $\text{BC, CA}$ ও $\text{AB}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\text{D, E}$ ও $\text{F}$; $\text{FE}$, $\text{AD}$-কে $\text{O}$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\text{AD} = 6$ সেমি. হলে, $\text{AO}$-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান: (সহজ ও সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি)
১. $\text{D, E, F}$ যথাক্রমে $\text{BC, CA, AB}$-এর মধ্যবিন্দু। $\text{AD}$ হল $\text{ABC}$ ত্রিভুজের একটি মধ্যমা।
২. $\text{FE}$ হল $\text{AB}$ এবং $\text{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ।
৩. **মধ্যবিন্দু উপপাদ্যের একটি বিশেষ উপসিদ্ধান্ত** (Corollary) আছে: কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
৪. এখানে, $\text{FE}$ সরলরেখাংশটি $\text{BC}$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা $\text{AD}$-কে $\text{O}$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
৫. অতএব, $\text{FE}$ দ্বারা $\text{AD}$ মধ্যমাটি **সমদ্বিখন্ডিত** হয়েছে। অর্থাৎ, $\text{O}$ হল $\text{AD}$-এর মধ্যবিন্দু।
৬. $\text{AO} = \frac{1}{2} \text{AD}$।
৭. $\text{AD} = 6$ সেমি.। $\text{AO} = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ সেমি.।
উত্তর: $\text{AO}$-এর দৈর্ঘ্য **৩ সেমি.**।
শেয়ার