নবম শ্রেণী গণিত: ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি – 15.1

4. প্রতি বর্গ মিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটারে 8.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তারের বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

জমি চাষ করার মোট খরচ = 1400 টাকা

প্রতি বর্গ মিটারে চাষ করার খরচ = 3.50 টাকা

বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ মিটারে খরচ}} = \frac{1400}{3.50}$ বর্গ মি. = 400 বর্গ মি.

ধরি, বর্গাকার জমিটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হলো $a$ মিটার।

বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল = $a^{2}$ বর্গ মি.

প্রশ্নানুসারে, $a^{2} = 400$

সুতরাং, $a = \sqrt{400}$ মিটার = 20 মিটার।

বর্গাকার জমিটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার।

জমিটির চারধারে বেড়া দিতে হবে, তাই বেড়ার দৈর্ঘ্য হবে জমিটির পরিসীমার সমান।

জমিটির পরিসীমা = $4 \times a = 4 \times 20$ মিটার = 80 মিটার।

প্রতি মিটারে তারের বেড়া দেওয়ার খরচ = 8.50 টাকা

মোট খরচ = পরিসীমা $\times$ প্রতি মিটারে খরচ = $80 \times 8.50$ টাকা = 680 টাকা।

জমিটির চারধারে তারের বেড়া দিতে মোট 680 টাকা খরচ হবে।

5. সুহাসদের আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গ মিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

ধরি, সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার এবং প্রস্থ = $y$ মিটার।

জমির ক্ষেত্রফল = $x \times y$ বর্গ মি.

প্রশ্নানুসারে, $x \times y = 500$ (i)

শর্তানুসারে, দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়।

বর্গাকার জমির ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান হয়।

নতুন দৈর্ঘ্য = $x – 3$ মিটার

নতুন প্রস্থ = $y + 2$ মিটার

অতএব, $x – 3 = y + 2$

$x = y + 2 + 3$

$x = y + 5$ (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণে $x$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$$(y + 5) \times y = 500$$
$$y^{2} + 5y = 500$$
$$y^{2} + 5y – 500 = 0$$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$$y^{2} + (25y – 20y) – 500 = 0$$
$$y^{2} + 25y – 20y – 500 = 0$$
$$y(y + 25) – 20(y + 25) = 0$$
$$(y + 25)(y – 20) = 0$$

হয় $y + 25 = 0$, অর্থাৎ $y = -25$ (প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

অথবা $y – 20 = 0$, অর্থাৎ $y = 20$

জমির প্রস্থ ($y$) = 20 মিটার।

$y$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$x = y + 5 = 20 + 5 = 25$

জমির দৈর্ঘ্য ($x$) = 25 মিটার।

সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য 25 মিটার এবং প্রস্থ 20 মিটার।

6. আমাদের গ্রামে একটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধার একই উচ্চতার 3 ডেসিমিটার চওড়া দেয়াল দিয়ে ঘিরব। হিসাব করে দেখি প্রতি 100 বর্গ মিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেয়ালের জন্য কত খরচ পড়বে।

বর্গাকার জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = 300 মিটার

দেয়ালের চওড়া = 3 ডেসিমিটার

প্রথমে ডেসিমিটারকে মিটারে পরিবর্তন করি:

1 ডেসিমিটার = 0.1 মিটার

দেয়ালের চওড়া = $3 \times 0.1$ মিটার = 0.3 মিটার।

যেহেতু দেয়ালটি জমির চারধারে বাইরে দিয়ে তৈরি হবে, তাই দেয়ালসহ জমিটি একটি বড়ো বর্গক্ষেত্র তৈরি করবে।

দেয়ালসহ বর্গাকার জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = জমির বাহুর দৈর্ঘ্য + $2 \times$ দেয়ালের চওড়া

দেয়ালসহ জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = $300 + 2 \times 0.3$ মিটার = $300 + 0.6$ মিটার = 300.6 মিটার।

দেয়ালসহ জমির ক্ষেত্রফল = $(300.6)^{2}$ বর্গ মি. = 90360.36 বর্গ মি.

শুধুমাত্র বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল = $(300)^{2}$ বর্গ মি. = 90000 বর্গ মি.

দেয়ালের ক্ষেত্রফল = (দেয়ালসহ জমির ক্ষেত্রফল) $-$ (শুধুমাত্র জমির ক্ষেত্রফল)

দেয়ালের ক্ষেত্রফল = $90360.36 – 90000$ বর্গ মি. = 360.36 বর্গ মি.

প্রতি 100 বর্গ মিটার জমিতে দেয়ালের জন্য খরচ = 5000 টাকা

প্রতি 1 বর্গ মিটার জমিতে দেয়ালের জন্য খরচ = $\frac{5000}{100}$ টাকা = 50 টাকা।

মোট খরচ = দেয়ালের ক্ষেত্রফল $\times$ প্রতি বর্গ মিটারে খরচ

মোট খরচ = $360.36 \times 50$ টাকা = 18018 টাকা।

দেয়ালের জন্য মোট 18018 টাকা খরচ পড়বে।

7. রেহানাদের আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার। বাগানটির ভিতরে চারদিকে সমান চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হলে, রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।

আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 14 মিটার

আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = 12 মিটার

রাস্তা তৈরি করার মোট খরচ = 1380 টাকা

প্রতি বর্গ মিটারে রাস্তা তৈরির খরচ = 20 টাকা

রাস্তার ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ মিটারে খরচ}} = \frac{1380}{20}$ বর্গ মি. = 69 বর্গ মি.

ধরি, রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।

রাস্তাটি বাগানের ভিতরে চারদিকে সমান চওড়া হওয়ায়, রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হবে:

• রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য = $14 – 2x$ মিটার
• রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের প্রস্থ = $12 – 2x$ মিটার

আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = $14 \times 12$ বর্গ মি. = 168 বর্গ মি.

রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল = $(14 – 2x)(12 – 2x)$ বর্গ মি.

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (বাগানের ক্ষেত্রফল) – (রাস্তা বাদে ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল)

প্রশ্নানুসারে,

$$168 – (14 – 2x)(12 – 2x) = 69$$
$$168 – (168 – 28x – 24x + 4x^{2}) = 69$$
$$168 – 168 + 52x – 4x^{2} = 69$$
$$52x – 4x^{2} = 69$$
$$4x^{2} – 52x + 69 = 0$$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$$4x^{2} – (46x + 6x) + 69 = 0$$
$$4x^{2} – 46x – 6x + 69 = 0$$
$$2x(2x – 23) – 3(2x – 23) = 0$$
$$(2x – 23)(2x – 3) = 0$$

হয় $2x – 23 = 0$, অর্থাৎ $x = \frac{23}{2} = 11.5$ মিটার। (কিন্তু রাস্তার চওড়া প্রস্থের অর্ধেক, $\frac{12}{2} = 6$ মিটারের বেশি হতে পারে না, তাই এটি অগ্রাহ্য)

অথবা $2x – 3 = 0$, অর্থাৎ $x = \frac{3}{2} = 1.5$ মিটার।

রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।

8. 1200 বর্গ সেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি. হলে, তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গ সেমি.

আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ($l$) = 40 সেমি.

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ($b$) = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল}}{\text{দৈর্ঘ্য}} = \frac{1200}{40}$ সেমি. = 30 সেমি.

আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$):

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $d^{2} = l^{2} + b^{2}$

$$d^{2} = (40)^{2} + (30)^{2}$$
$$d^{2} = 1600 + 900$$
$$d^{2} = 2500$$
$$d = \sqrt{2500}$$
$$d = 50 \text{ সেমি.}$$

কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান, অর্থাৎ 50 সেমি.।

কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^{2} = (50)^{2}$ বর্গ সেমি. = 2500 বর্গ সেমি.

বিকল্পভাবে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো $d^{2}$-এর সমান।

কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2500 বর্গ সেমি.।

9. একটি হলঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘরটিতে তিনটি দরজা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মি. $\times$ 1 মি. এবং চারটি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি. $\times$ 1 মি.। ঘরটির চার দেয়াল প্রতি বর্গ মিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে।

হলঘরের দৈর্ঘ্য ($l$) = 4 মিটার

হলঘরের প্রস্থ ($b$) = 6 মিটার

হলঘরের উচ্চতা ($h$) = 4 মিটার

হলঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = $2 \times (l + b) \times h$

চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = $2 \times (4 + 6) \times 4$ বর্গ মি. = $2 \times 10 \times 4$ বর্গ মি. = 80 বর্গ মি.

দরজার সংখ্যা = 3 টি

প্রতিটি দরজার মাপ = 1.5 মি. $\times$ 1 মি.

একটি দরজার ক্ষেত্রফল = $1.5 \times 1$ বর্গ মি. = 1.5 বর্গ মি.

তিনটি দরজার মোট ক্ষেত্রফল = $3 \times 1.5$ বর্গ মি. = 4.5 বর্গ মি.

জানালার সংখ্যা = 4 টি

প্রতিটি জানালার মাপ = 1.2 মি. $\times$ 1 মি.

একটি জানালার ক্ষেত্রফল = $1.2 \times 1$ বর্গ মি. = 1.2 বর্গ মি.

চারটি জানালার মোট ক্ষেত্রফল = $4 \times 1.2$ বর্গ মি. = 4.8 বর্গ মি.

দরজা ও জানালা বাদে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল যেখানে রঙিন কাগজ লাগানো হবে:

প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল = (চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল) – (দরজার মোট ক্ষেত্রফল) – (জানালার মোট ক্ষেত্রফল)

প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল = $80 – 4.5 – 4.8$ বর্গ মি. = $80 – 9.3$ বর্গ মি. = 70.7 বর্গ মি.

প্রতি বর্গ মিটারে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকার খরচ = 70 টাকা

মোট খরচ = প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল $\times$ প্রতি বর্গ মিটারে খরচ

মোট খরচ = $70.7 \times 70$ টাকা = 4949 টাকা।

ঘরটির চার দেয়াল রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে মোট 4949 টাকা খরচ হবে।

10. একটি ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গ মিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ মিটার। ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = 42 বর্গ মিটার

ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গ মিটার

ঘরের দৈর্ঘ্য ($l$) = 4 মিটার

ধরি, ঘরের প্রস্থ $b$ মিটার এবং উচ্চতা $h$ মিটার।

মেঝের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

প্রশ্নানুসারে,

$$4 \times b = 12$$
$$b = \frac{12}{4}$$
$$b = 3 \text{ মিটার}$$

ঘরের প্রস্থ = 3 মিটার।

চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) \times \text{উচ্চতা}$

প্রশ্নানুসারে,

$$2 \times (l + b) \times h = 42$$
$$2 \times (4 + 3) \times h = 42$$
$$2 \times 7 \times h = 42$$
$$14h = 42$$
$$h = \frac{42}{14}$$
$$h = 3 \text{ মিটার}$$

ঘরটির উচ্চতা 3 মিটার।

11. সুজাতা 84 বর্গ সেমি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তাকার কাগজে ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি.। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা হিসাব করি।

আয়তাকার কাগজের ক্ষেত্রফল = 84 বর্গ সেমি.

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর = 5 সেমি.

ধরি, আয়তাকার কাগজটির প্রস্থ = $x$ সেমি.।

তাহলে, দৈর্ঘ্য = $(x + 5)$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

প্রশ্নানুসারে, $x(x + 5) = 84$

$$x^{2} + 5x = 84$$
$$x^{2} + 5x – 84 = 0$$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই ($12 \times 7 = 84$ এবং $12 – 7 = 5$):

$$x^{2} + 12x – 7x – 84 = 0$$
$$x(x + 12) – 7(x + 12) = 0$$
$$(x + 12)(x – 7) = 0$$

হয় $x + 12 = 0$, অর্থাৎ $x = -12$ (প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই অগ্রাহ্য)।

অথবা $x – 7 = 0$, অর্থাৎ $x = 7$

অতএব,

কাগজটির প্রস্থ ($x$) = 7 সেমি.

কাগজটির দৈর্ঘ্য = $x + 5 = 7 + 5$ সেমি. = 12 সেমি.

কাগজটির পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$

পরিসীমা = $2 \times (12 + 7)$ সেমি. = $2 \times 19$ সেমি. = 38 সেমি.

সুজাতার কাগজটির পরিসীমা 38 সেমি.।

12. সিরাজদের বর্গাকার বাগানের বাইরের চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 165 বর্গ মিটার। বাগানটির ক্ষেত্রফল এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করি। $(\sqrt{2}=1.414)$

ধরি, বর্গাকার বাগানের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার।

রাস্তাটির চওড়া = 2.5 মিটার

রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = 165 বর্গ মিটার

রাস্তাটি বাইরের চারদিকে থাকায়, রাস্তা সহ বর্গাকার বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে:

রাস্তা সহ বাহুর দৈর্ঘ্য = $x + 2 \times 2.5$ মিটার = $(x + 5)$ মিটার।

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তা সহ বাগানের ক্ষেত্রফল) $-$ (বাগানের ক্ষেত্রফল)

$$165 = (x + 5)^{2} – x^{2}$$
$$165 = (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) – x^{2}$$
$$165 = x^{2} + 10x + 25 – x^{2}$$
$$165 = 10x + 25$$
$$10x = 165 – 25$$
$$10x = 140$$
$$x = \frac{140}{10}$$
$$x = 14 \text{ মিটার}$$

(i) বাগানটির ক্ষেত্রফল:

বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = $x^{2} = 14^{2}$ বর্গ মি. = 196 বর্গ মি.

(ii) বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য:

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times$ বাহুর দৈর্ঘ্য

কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times 14$ মিটার

কর্ণের দৈর্ঘ্য = $1.414 \times 14$ মিটার = 19.796 মিটার

বাগানটির ক্ষেত্রফল 196 বর্গ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 19.796 মিটার।

13. যে বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য $20\sqrt{2}$ মিটার তার চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে কত মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে ঘাস বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করে লিখি।

বর্গাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য = $20\sqrt{2}$ মিটার

ধরি, বর্গাকার জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times$ বাহুর দৈর্ঘ্য

প্রশ্নানুসারে,

$$\sqrt{2} \times a = 20\sqrt{2}$$
$$a = 20 \text{ মিটার}$$

বর্গাকার জমির বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার।

(i) পাঁচিলের দৈর্ঘ্য:

চারধার পাঁচিল দিয়ে ঘিরতে পাঁচিলের দৈর্ঘ্য হবে জমির পরিসীমার সমান।

জমির পরিসীমা = $4 \times$ বাহুর দৈর্ঘ্য

পরিসীমা = $4 \times 20$ মিটার = 80 মিটার।

(ii) ঘাস বসাতে খরচ:

জমির ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^{2} = 20^{2}$ বর্গ মি. = 400 বর্গ মি.

প্রতি বর্গমিটারে ঘাস বসানোর খরচ = 20 টাকা

মোট খরচ = ক্ষেত্রফল $\times$ প্রতি বর্গমিটারে খরচ

মোট খরচ = $400 \times 20$ টাকা = 8000 টাকা।

পাঁচিল দিতে 80 মিটার দৈর্ঘ্যের পাঁচিল দিতে হবে এবং ঘাস বসাতে মোট 8000 টাকা খরচ হবে।

14. আমাদের আয়তাকার বাগানের একটি কর্ণ বরাবর একটি বেড়া দেব। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 7 মিটার হলে, বেড়ার দৈর্ঘ্য হিসাব করে দেখি। বেড়াটি আয়তাকার বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করবে তার পরিসীমা লিখি।

আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ($l$) = 12 মিটার

আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ($b$) = 7 মিটার

(i) বেড়ার দৈর্ঘ্য:

একটি কর্ণ বরাবর বেড়া দিলে বেড়ার দৈর্ঘ্য হবে আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান।

কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$) = $\sqrt{l^{2} + b^{2}}$

$$d = \sqrt{12^{2} + 7^{2}}$$
$$d = \sqrt{144 + 49}$$
$$d = \sqrt{193} \text{ মিটার}$$

$\sqrt{193} \approx 13.89 \text{ মিটার}$

বেড়ার দৈর্ঘ্য $\sqrt{193}$ মিটার (প্রায় 13.89 মিটার)।

(ii) ত্রিভুজ দুটির পরিসীমা:

কর্ণটি বাগানটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করবে। প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুগুলি হলো: দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং কর্ণ।

ত্রিভুজ দুটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 মিটার, 7 মিটার এবং $\sqrt{193}$ মিটার।

প্রতিটি ত্রিভুজের পরিসীমা = তিন বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি

পরিসীমা = $12 + 7 + \sqrt{193}$ মিটার

পরিসীমা = $(19 + \sqrt{193})$ মিটার

প্রায়, $19 + 13.89$ মিটার = 32.89 মিটার।

বেড়াটি বাগানকে যে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করবে, তাদের প্রত্যেকের পরিসীমা $(19 + \sqrt{193})$ মিটার (প্রায় 32.89 মিটার)।

15. মৌসুমীদের বাড়ির আয়তাকার বড় হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 9:5 এবং পরিসীমা 140 মিটার। মৌসুমীরা হলঘরের মেঝেতে 25 সেমি. $\times$ 20 সেমি. আকারের আয়তাকার টালি বসাতে চায়। প্রতি 100 টালির দাম 500 টাকা হলে, মৌসুমীদের হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে কত খরচ হবে হিসাব করি।

হলঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 9:5

ধরি, হলঘরের দৈর্ঘ্য = $9x$ মিটার এবং প্রস্থ = $5x$ মিটার।

হলঘরের পরিসীমা = 140 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$

প্রশ্নানুসারে,

$$2 \times (9x + 5x) = 140$$
$$2 \times (14x) = 140$$
$$28x = 140$$
$$x = \frac{140}{28}$$
$$x = 5$$

অতএব, হলঘরের দৈর্ঘ্য = $9x = 9 \times 5$ মিটার = 45 মিটার।

হলঘরের প্রস্থ = $5x = 5 \times 5$ মিটার = 25 মিটার।

হলঘরের ক্ষেত্রফল = $45 \times 25$ বর্গ মি. = 1125 বর্গ মি.

টাইলসের মাপ: 25 সেমি. $\times$ 20 সেমি.

টাইলসের ক্ষেত্রফল = $25 \times 20$ বর্গ সেমি. = 500 বর্গ সেমি.

এককগুলির সামঞ্জস্য বিধান করি: 1 বর্গ মি. = $100 \times 100$ বর্গ সেমি. = 10000 বর্গ সেমি.।

হলঘরের ক্ষেত্রফল = $1125 \times 10000$ বর্গ সেমি. = 11250000 বর্গ সেমি.

প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা = $\frac{\text{হলঘরের ক্ষেত্রফল}}{\text{টাইলসের ক্ষেত্রফল}} = \frac{11250000}{500}$ টি = 22500 টি।

প্রতি 100 টালির দাম = 500 টাকা

প্রতিটি টালির দাম = $\frac{500}{100}$ টাকা = 5 টাকা

টালি বসাতে মোট খরচ = মোট টালির সংখ্যা $\times$ প্রতিটি টালির দাম

মোট খরচ = $22500 \times 5$ টাকা = 112500 টাকা।

মৌসুমীদের হলঘরের মেঝেতে টালি বসাতে মোট 112500 টাকা খরচ হবে।

16. 18 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি বড়ো হলঘরে কার্পেট দিয়ে মুড়তে 2160 টাকা খরচ হয়। যদি হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হতো তাহলে 1620 টাকা খরচ হতো। হলঘরের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

হলঘরের দৈর্ঘ্য ($l$) = 18 মিটার

ধরি, হলঘরের প্রস্থ = $b$ মিটার।

হলঘরের ক্ষেত্রফল = $18b$ বর্গ মি.

প্রথম ক্ষেত্রে, মোট খরচ = 2160 টাকা

যদি প্রতি বর্গ মিটারে কার্পেটিং-এর খরচ $C$ টাকা হয়, তবে

$$\text{ক্ষেত্রফল} \times C = \text{মোট খরচ}$$
$$18b \times C = 2160$$
$$C = \frac{2160}{18b} = \frac{120}{b}$$ (i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, হলঘরের প্রস্থ 4 মিটার কম হলে, নতুন প্রস্থ = $(b – 4)$ মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল = $18(b – 4)$ বর্গ মি.

এই ক্ষেত্রে মোট খরচ = 1620 টাকা

$$\text{নতুন ক্ষেত্রফল} \times C = 1620$$
$$18(b – 4) \times C = 1620$$ (ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে $C$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$$18(b – 4) \times \frac{120}{b} = 1620$$
$$18(b – 4) \times 120 = 1620b$$
$$2160(b – 4) = 1620b$$

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে ভাগ করে পাই:

$$216(b – 4) = 162b$$
$$216b – 864 = 162b$$
$$216b – 162b = 864$$
$$54b = 864$$
$$b = \frac{864}{54}$$
$$b = 16 \text{ মিটার}$$

হলঘরের প্রস্থ = 16 মিটার।

হলঘরের ক্ষেত্রফল = $18 \times b = 18 \times 16$ বর্গ মি. = 288 বর্গ মি.

হলঘরের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ মি.।

17. একটি আয়তাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 3 মিটার। জমিটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

আয়তাকার জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$) = 15 মিটার

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর = 3 মিটার

ধরি, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = $l$ মিটার এবং প্রস্থ = $b$ মিটার।

প্রশ্নানুসারে, $l – b = 3$ (i)

সুতরাং, $l = b + 3$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $l^{2} + b^{2} = d^{2}$

$$(b + 3)^{2} + b^{2} = 15^{2}$$
$$(b^{2} + 6b + 9) + b^{2} = 225$$
$$2b^{2} + 6b + 9 – 225 = 0$$
$$2b^{2} + 6b – 216 = 0$$

উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:

$$b^{2} + 3b – 108 = 0$$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই ($12 \times 9 = 108$ এবং $12 – 9 = 3$):

$$b^{2} + 12b – 9b – 108 = 0$$
$$b(b + 12) – 9(b + 12) = 0$$
$$(b + 12)(b – 9) = 0$$

হয় $b + 12 = 0$, অর্থাৎ $b = -12$ (প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, অগ্রাহ্য)

অথবা $b – 9 = 0$, অর্থাৎ $b = 9$

অতএব, জমির প্রস্থ ($b$) = 9 মিটার।

জমির দৈর্ঘ্য ($l$) = $b + 3 = 9 + 3$ মিটার = 12 মিটার।

(i) জমিটির পরিসীমা:

পরিসীমা = $2 \times (l + b) = 2 \times (12 + 9)$ মিটার = $2 \times 21$ মিটার = 42 মিটার।

(ii) জমিটির ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = $l \times b = 12 \times 9$ বর্গ মি. = 108 বর্গ মি.

জমিটির পরিসীমা 42 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 108 বর্গ মি.।

18. 385 মিটার $\times$ 60 মিটার পরিমাপের একটি আয়তাকার চাতাল পাকা করতে সর্ববৃহৎ কত মাপের বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করা যাবে এবং সেক্ষেত্রে টাইলসের সংখ্যা কত হবে হিসাব করি।

চাতালের দৈর্ঘ্য = 385 মিটার

চাতালের প্রস্থ = 60 মিটার

চাতালটি সম্পূর্ণ পাকা করতে সর্ববৃহৎ বর্গাকার টাইলস ব্যবহার করার জন্য, টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হতে হবে দৈর্ঘ্য (385) এবং প্রস্থ (60)-এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (G.C.D) এর সমান।

385 এবং 60 এর গ.সা.গু. নির্ণয়:

• 385 এর উৎপাদক: $5 \times 7 \times 11$
• 60 এর উৎপাদক: $2 \times 2 \times 3 \times 5$

385 এবং 60 এর গ.সা.গু. = 5

(i) সর্ববৃহৎ বর্গাকার টাইলসের মাপ:

টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 মিটার।

টাইলসের মাপ = $5 \text{ মিটার} \times 5 \text{ মিটার}$

(ii) টাইলসের সংখ্যা:

চাতালের ক্ষেত্রফল = $385 \times 60$ বর্গ মি. = 23100 বর্গ মি.

বর্গাকার টাইলসের ক্ষেত্রফল = $5 \times 5$ বর্গ মি. = 25 বর্গ মি.

টাইলসের সংখ্যা = $\frac{\text{চাতালের ক্ষেত্রফল}}{\text{টাইলসের ক্ষেত্রফল}} = \frac{23100}{25}$ টি = 924 টি।

বিকল্প পদ্ধতিতে টাইলসের সংখ্যা:

দৈর্ঘ্য বরাবর টাইলসের সংখ্যা = $\frac{385}{5} = 77$ টি

প্রস্থ বরাবর টাইলসের সংখ্যা = $\frac{60}{5} = 12$ টি

মোট টাইলসের সংখ্যা = $77 \times 12$ টি = 924 টি।

সর্ববৃহৎ বর্গাকার টাইলসের মাপ 5 মিটার $\times$ 5 মিটার এবং সেক্ষেত্রে টাইলসের সংখ্যা হবে 924 টি।

19. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $12\sqrt{2}$ সেমি.। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

(a) 288 বর্গ সেমি. (b) 144 বর্গ সেমি. (c) 72 বর্গ সেমি. (d) 18 বর্গ সেমি.

সমাধান

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ সেমি.।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}$

প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{2} \times a = 12\sqrt{2}$ সেমি.

সুতরাং, $a = 12$ সেমি.

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^{2} = a^{2}$

ক্ষেত্রফল = $12^{2}$ বর্গ সেমি. = 144 বর্গ সেমি.।

বিকল্প পদ্ধতিতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{কর্ণের দৈর্ঘ্য})^{2}$

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (12\sqrt{2})^{2} = \frac{1}{2} \times (144 \times 2) = 144$ বর্গ সেমি.।

সঠিক উত্তর: (b) 144 বর্গ সেমি.

(ii) যদি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A_{1}$ বর্গ একক এবং ওই বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A_{2}$ বর্গ একক হয়, তাহলে $A_{1}:A_{2}$ হবে

(a) 1:2 (b) 2:1 (c) 1:4 (d) 4:1

সমাধান

ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_{1} = a^{2}$ বর্গ একক।

প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $d = a\sqrt{2}$ একক।

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রটি প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত।

সুতরাং, দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $d = a\sqrt{2}$ একক।

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A_{2} = (\text{দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য})^{2} = (a\sqrt{2})^{2}$ বর্গ একক

$A_{2} = a^{2} \times 2 = 2a^{2}$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফলের অনুপাত, $A_{1}:A_{2} = a^{2} : 2a^{2}$

$A_{1}:A_{2} = 1:2$

সঠিক উত্তর: (a) 1:2

(iii) 6 মিটার লম্বা ও 4 মিটার চওড়া একটি আয়তাকার জায়গা 2 ডেসিমি. বর্গ টালি দিয়ে বাঁধাতে হলে টালি লাগবে

(a) 1200 (b) 2400 (c) 600 (d) 1800

সমাধান

আয়তাকার জায়গার দৈর্ঘ্য = 6 মিটার = $6 \times 10$ ডেসিমি. = 60 ডেসিমি.।

আয়তাকার জায়গার প্রস্থ = 4 মিটার = $4 \times 10$ ডেসিমি. = 40 ডেসিমি.।

আয়তাকার জায়গার ক্ষেত্রফল = $60 \times 40$ বর্গ ডেসিমি. = 2400 বর্গ ডেসিমি.।

টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 ডেসিমি.।

টাইলসের ক্ষেত্রফল = $2 \times 2$ বর্গ ডেসিমি. = 4 বর্গ ডেসিমি.।

প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা = $\frac{\text{আয়তাকার জায়গার ক্ষেত্রফল}}{\text{টাইলসের ক্ষেত্রফল}} = \frac{2400}{4}$ টি = 600 টি।

সঠিক উত্তর: (c) 600

(iv) সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে S এবং R হলে,

(a) $S=R$ (b) $S>R$ (c) $S

সমাধান

আমরা জানি, একই পরিসীমাযুক্ত জ্যামিতিক চিত্রগুলির মধ্যে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি হয়, যদি না আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র হয়।

ধরি, পরিসীমা $P$ একক।

বর্গক্ষেত্রের বাহু $a = \frac{P}{4}$। ক্ষেত্রফল $S = a^{2} = (\frac{P}{4})^{2} = \frac{P^{2}}{16}$।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $l$ এবং প্রস্থ $b$। $l + b = \frac{P}{2}$। ক্ষেত্রফল $R = l \times b$।

আমরা জানি, গুণোত্তর মধ্যক $\le$ সমান্তর মধ্যক।

$$\sqrt{l \times b} \le \frac{l + b}{2}$$
$$\sqrt{R} \le \frac{P/2}{2}$$
$$\sqrt{R} \le \frac{P}{4}$$
$$R \le \frac{P^{2}}{16}$$
$$R \le S$$

যেহেতু, একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (S) সমান পরিসীমার একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (R) এর চেয়ে সর্বদা বৃহৎ (বা সমান, যদি আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র হয়)। তাই, $S \ge R$ (ক্ষেত্রফল সমান হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম)।

সঠিক উত্তর: (b) $S>R$

(v) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 62.5 বর্গ সেমি. হলে, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি

(a) 12 সেমি. (b) 15 সেমি. (c) 20 সেমি. (d) 25 সেমি.

সমাধান

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $l$ সেমি. এবং প্রস্থ $b$ সেমি.।

কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$) = 10 সেমি.।

ক্ষেত্রফল ($A$) = $l \times b = 62.5$ বর্গ সেমি.।

আমরা জানি, $l^{2} + b^{2} = d^{2}$ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

$$l^{2} + b^{2} = 10^{2} = 100 \text{ (i)}$$

আমরা আরও জানি, $(l + b)^{2} = l^{2} + b^{2} + 2lb$

এখানে $l^{2} + b^{2} = 100$ এবং $l \times b = 62.5$।

$$(l + b)^{2} = 100 + 2 \times 62.5$$
$$(l + b)^{2} = 100 + 125$$
$$(l + b)^{2} = 225$$

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমষ্টি, $l + b = \sqrt{225}$ সেমি. = 15 সেমি.।

সঠিক উত্তর: (b) 15 সেমি.

কষে দেখি- 15.1 এর সমাধান: 20. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন

(i) একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান

ধরি, প্রাথমিক বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $A_{1} = a^{2}$ বর্গ একক।

বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = $a + a \times \frac{10}{100} = a + \frac{a}{10} = \frac{11a}{10}$ একক।

নতুন ক্ষেত্রফল = $A_{2} = \left(\frac{11a}{10}\right)^{2} = \frac{121a^{2}}{100}$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $A_{2} – A_{1} = \frac{121a^{2}}{100} – a^{2} = a^{2} \left(\frac{121}{100} – 1\right) = a^{2} \times \frac{21}{100}$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির শতকরা হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির শতকরা হার = $\frac{a^{2} \times \frac{21}{100}}{a^{2}} \times 100\% = \frac{21}{100} \times 100\% = 21\%$।

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা 21% বৃদ্ধি পাবে।

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

সমাধান

ধরি, প্রাথমিক আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $l$ একক এবং প্রস্থ = $b$ একক।

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $A_{1} = l \times b$ বর্গ একক।

দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, নতুন দৈর্ঘ্য = $l + l \times \frac{10}{100} = \frac{11l}{10}$ একক।

প্রস্থ 10% হ্রাস করলে, নতুন প্রস্থ = $b – b \times \frac{10}{100} = \frac{9b}{10}$ একক।

নতুন ক্ষেত্রফল = $A_{2} = \frac{11l}{10} \times \frac{9b}{10} = \frac{99lb}{100}$ বর্গ একক।

যেহেতু $A_{2} = \frac{99}{100} \times A_{1}$, অর্থাৎ $A_{2} < A_{1}$, তাই ক্ষেত্রফল হ্রাস পাবে।

ক্ষেত্রফল হ্রাস = $A_{1} – A_{2} = lb – \frac{99lb}{100} = lb \left(1 – \frac{99}{100}\right) = \frac{lb}{100}$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল হ্রাসের শতকরা হার = $\frac{\text{ক্ষেত্রফল হ্রাস}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$

ক্ষেত্রফল হ্রাসের শতকরা হার = $\frac{lb/100}{lb} \times 100\% = \frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$।

ক্ষেত্রফল শতকরা 1% হ্রাস পাবে।

(iii) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের একটি প্রস্থের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সেমি.। আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি.।

কর্ণের অর্ধাংশ = $\frac{5}{2} = 2.5$ সেমি.।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $l$ এবং প্রস্থ $b$।

কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলির দূরত্বের ধর্ম অনুযায়ী:

• ছেদবিন্দু থেকে **প্রস্থের** উপর লম্বের দৈর্ঘ্য হয় **দৈর্ঘ্যের** অর্ধেকের সমান।
• ছেদবিন্দু থেকে **দৈর্ঘ্যের** উপর লম্বের দৈর্ঘ্য হয় **প্রস্থের** অর্ধেকের সমান।

প্রশ্নানুসারে, কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে প্রস্থের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = 2 সেমি.।

সুতরাং, $\frac{1}{2} \times \text{দৈর্ঘ্য} = 2$ সেমি.।

দৈর্ঘ্য ($l$) = $2 \times 2$ সেমি. = 4 সেমি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $\text{দৈর্ঘ্য}^{2} + \text{প্রস্থ}^{2} = \text{কর্ণের দৈর্ঘ্য}^{2}$

$$4^{2} + b^{2} = 5^{2}$$
$$16 + b^{2} = 25$$
$$b^{2} = 25 – 16$$
$$b^{2} = 9$$
$$b = \sqrt{9}$$
$$b = 3 \text{ সেমি.}$$

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য 3 সেমি.।

(iv) একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে তার যে-কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{2}$ সেমি. হলে, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দূরত্ব সমান হয়, এবং তা বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের সমান।

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি.।

কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = $\frac{1}{2} \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}$

প্রশ্নানুসারে,

$$\frac{a}{2} = 2\sqrt{2} \text{ সেমি.}$$
$$a = 2 \times 2\sqrt{2} \text{ সেমি.}$$
$$a = 4\sqrt{2} \text{ সেমি.}$$

বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}$

কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times 4\sqrt{2}$ সেমি.

কর্ণের দৈর্ঘ্য = $4 \times 2$ সেমি. = 8 সেমি.

বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।

(v) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 34 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি.। আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $l$ সেমি. এবং প্রস্থ $b$ সেমি.।

পরিসীমা = $2(l + b)$ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে, $2(l + b) = 34$

$$l + b = \frac{34}{2}$$
$$l + b = 17 \text{ (i)}$$

ক্ষেত্রফল = $l \times b$ বর্গ সেমি.।

প্রশ্নানুসারে, $l \times b = 60 \text{ (ii)}$

আমরা জানি, $l^{2} + b^{2} = (l + b)^{2} – 2lb$

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই:

$$l^{2} + b^{2} = 17^{2} – 2 \times 60$$
$$l^{2} + b^{2} = 289 – 120$$
$$l^{2} + b^{2} = 169$$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, কর্ণের দৈর্ঘ্য $d$ হলে, $d^{2} = l^{2} + b^{2}$।

$$d^{2} = 169$$
$$d = \sqrt{169}$$
$$d = 13 \text{ সেমি.}$$

আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.।