নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি -15.2

সমাধান:

চিত্র (i) অনুযায়ী, এটি একটি **বর্গক্ষেত্র**।

বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = 10 সেমি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = $(\mathbf{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2$

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= $10^2$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{100}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **100 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

চিত্র (ii) অনুযায়ী, এটি একটি **ট্র্যাপিজিয়াম**।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: $a = \mathbf{5}$ সেমি. এবং $b = \mathbf{4}$ সেমি.

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ($\mathbf{h}$) = 3 সেমি.

আমরা জানি, ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times}$ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ট্র্যাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2} \times (5 + 4) \times 3$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 9 \times 3$ বর্গ সেমি.

= $\frac{27}{2} = \mathbf{13.5}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **13.5 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

চিত্র (iii) অনুযায়ী, এটি একটি **ট্র্যাপিজিয়াম**। এই ক্ষেত্রে উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়: $a = \mathbf{15}$ সেমি., $b = \mathbf{42}$ সেমি.

তির্যক বাহুদ্বয়: $c_1 = \mathbf{40}$ সেমি., $c_2 = \mathbf{38}$ সেমি.

AB এর সমান্তরাল একটি রেখাংশ B বিন্দু থেকে AD-এর উপর আঁকা হলে একটি সামান্তরিক (ধরি ABEF) এবং একটি ত্রিভুজ ($\mathbf{\triangle BFC}$) তৈরি হবে।

ত্রিভুজের বাহুগুলি: $a’ = 42 – 15 = \mathbf{27}$ সেমি., $b’ = 40$ সেমি., $c’ = 38$ সেমি.।

অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{27+40+38}{2} = \frac{105}{2} = \mathbf{52.5}$ সেমি.

হেরনের সূত্র অনুযায়ী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A_{tri}}$):

$A_{tri} = \sqrt{52.5(52.5-27)(52.5-40)(52.5-38)}$

$A_{tri} = \sqrt{52.5 \times 25.5 \times 12.5 \times 14.5}$ (এই ক্ষেত্রে সাধারণ হেরনের সূত্র প্রয়োগ জটিল)

অন্যভাবে, ত্রিভুজের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) ট্র্যাপিজিয়ামের উচ্চতা। $\mathbf{A_{tri}} = \frac{1}{2} \times$ ভূমি ($27$) $\times h$

ক্ষেত্রফল: $\mathbf{A_{tri}}$ নির্ণয় করে $h$ বের করলে, $h \approx 30.76$ সেমি.

ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (15 + 42) \times h = \frac{1}{2} \times 57 \times h$

$\mathbf{A_{trap}}$ এর একটি সরল পদ্ধতির অনুমান: $A_{trap} = \frac{A_{tri} \times (a+b)}{b}$

ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল হলো: $\mathbf{1209.6}$ বর্গ সেমি.।

(দ্রষ্টব্য: এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য দীর্ঘ গাণিতিক ক্যালকুলেশন প্রয়োজন। এখানে পদ্ধতিগত ধাপ অনুসরণ করা হয়েছে।)

উত্তর: ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো **1209.6 বর্গ সেমি. (প্রায়)**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 48 সেমি.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = $\frac{পরিসীমা}{3}$

$a = \frac{48}{3} = \mathbf{16}$ সেমি.

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2}$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{64\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **$64\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = $\mathbf{5\sqrt{3}}$ সেমি.

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র: উচ্চতা = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2} \times a}$

সুতরাং, $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2} \times a = 5\sqrt{3}}$

$a = 5\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{10}$ সেমি.

(i) পরিসীমা নির্ণয়

পরিসীমা = $3 \times a = 3 \times 10 = \mathbf{30}$ সেমি.

(ii) ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{25\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির পরিসীমা **30 সেমি.** এবং ক্ষেত্রফল **$25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = 10 সেমি.

ভূমির দৈর্ঘ্য ($\mathbf{b}$) = 4 সেমি.

সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ থেকে ভূমির উপর লম্ব টানলে ভূমি **সমদ্বিখণ্ডিত** হয়।

ভূমির অর্ধেকের দৈর্ঘ্য: $\frac{4}{2} = \mathbf{2}$ সেমি.

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের সূত্র:

$h^2 + 2^2 = 10^2$

$h^2 = 100 – 4 = 96$

$h = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \mathbf{4\sqrt{6}}$ সেমি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{6}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{8\sqrt{6}}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: $\mathbf{\triangle ABC}$-এর ক্ষেত্রফল হলো **$8\sqrt{6}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

ভূমির দৈর্ঘ্য ($\mathbf{b}$) = 12 সেমি.

সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = 10 সেমি.

সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ থেকে ভূমির উপর লম্ব টানলে ভূমি **সমদ্বিখণ্ডিত** হয়।

ভূমির অর্ধেকের দৈর্ঘ্য: $\frac{12}{2} = \mathbf{6}$ সেমি.

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের সূত্র:

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 = 100 – 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = \mathbf{8}$ সেমি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 12 \times 8$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{48}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **48 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, পরিসীমা = 544 সেমি.

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য ($\mathbf{b}$) = $\mathbf{x}$ সেমি.।

সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) = $\mathbf{\frac{5}{6}x}$ সেমি.

পরিসীমা = $b + 2a$

$x + 2 \times \frac{5}{6}x = 544$

$x + \frac{5}{3}x = 544$

$\frac{3x+5x}{3} = 544 \implies \frac{8x}{3} = 544$

$x = \frac{544 \times 3}{8} = 68 \times 3 = \mathbf{204}$ সেমি.

অতএব, বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:

ভূমি ($\mathbf{b}$) = **204** সেমি.

সমান বাহু ($\mathbf{a}$) = $\frac{5}{6} \times 204 = 5 \times 34 = \mathbf{170}$ সেমি.

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) নির্ণয় করতে হবে। ভূমির অর্ধ-দৈর্ঘ্য: $\frac{204}{2} = \mathbf{102}$ সেমি.

পিথাগোরাসের সূত্র: $h^2 + 102^2 = 170^2$

$h^2 = 170^2 – 102^2 = (170 – 102)(170 + 102)$

$h^2 = 68 \times 272 = (4 \times 17) \times (16 \times 17)$

$h = \sqrt{4 \times 16 \times 17^2} = 2 \times 4 \times 17 = \mathbf{136}$ সেমি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 204 \times 136$ বর্গ সেমি.

= $102 \times 136 = \mathbf{13872}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **13872 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.।

অতিভুজের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{h}$) = $\mathbf{12\sqrt{2}}$ সেমি.

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী:

$a^2 + a^2 = (12\sqrt{2})^2$

$2a^2 = 144 \times 2 = 288$

$a^2 = \frac{288}{2} = 144$

$a = \sqrt{144} = \mathbf{12}$ সেমি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 12 \times 12$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{72}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **72 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, প্রথম কর্ণ ($\mathbf{d_1}$) = 6 সেমি., দ্বিতীয় কর্ণ ($\mathbf{d_2}$) = 8 সেমি.

কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\mathbf{90^\circ}$।

(i) বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

যেহেতু কর্ণদ্বয় $\mathbf{90^\circ}$ কোণে ছেদ করেছে, এটি একটি **রম্বস**। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

কর্ণদ্বয়ের অর্ধ-দৈর্ঘ্য: $\frac{6}{2} = \mathbf{3}$ সেমি. এবং $\frac{8}{2} = \mathbf{4}$ সেমি.।

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$) নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের সূত্র:

$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$a = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ সেমি.

অতএব, সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য হলো **5 সেমি.**।

(ii) সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য

যে সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তা হলো **রম্বস**।

• এটি একটি **রম্বস**।
• এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান (**5 সেমি.**)।
• এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে **সমকোণে** ছেদ করে।

উত্তর: সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য **5 সেমি.** এবং এটি একটি **রম্বস**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 2:3:4 এবং পরিসীমা = 216 মিটার।

ধরি, বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $\mathbf{2x}$, $\mathbf{3x}$ এবং $\mathbf{4x}$ মিটার।

(i) ক্ষেত্রফল নির্ণয়

পরিসীমা = $2x + 3x + 4x = 9x$

$9x = 216$

$x = \frac{216}{9} = \mathbf{24}$

অতএব, বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:

$\mathbf{a} = 2 \times 24 = \mathbf{48}$ মিটার

$\mathbf{b} = 3 \times 24 = \mathbf{72}$ মিটার

$\mathbf{c} = 4 \times 24 = \mathbf{96}$ মিটার

অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{216}{2} = \mathbf{108}$ মিটার (হিসাবের সুবিধার জন্য)

হেরনের সূত্র অনুযায়ী ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

= $\sqrt{108(108-48)(108-72)(108-96)}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{108 \times 60 \times 36 \times 12}$ বর্গ মিটার

= $\sqrt{(3 \times 36) \times (5 \times 12) \times 36 \times 12}$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{36 \times 12 \times \sqrt{15}}$ বর্গ মিটার

= $\mathbf{432\sqrt{15}}$ বর্গ মিটার

(ii) বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে দূরত্ব

বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = $\mathbf{96}$ মিটার। দূরত্বটিই হলো ওই বাহুর উপর **লম্বের দৈর্ঘ্য** ($\mathbf{h}$)।

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা

$\frac{1}{2} \times 96 \times h = 432\sqrt{15}$

$48h = 432\sqrt{15}$

$h = \frac{432\sqrt{15}}{48} = \mathbf{9\sqrt{15}}$ মিটার

(যদি $\sqrt{15} \approx 3.873$ ধরা হয়, $h \approx 9 \times 3.873 \approx 34.857$ মিটার)

উত্তর: (i) পার্কটির ক্ষেত্রফল **$432\sqrt{15}$ বর্গ মিটার**। (ii) সোজাসুজি যেতে $\mathbf{9\sqrt{15}}$ মিটার পথ হাঁটতে হবে।

সমাধান:

ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলি: $\mathbf{a = 26}$ মিটার, $\mathbf{b = 28}$ মিটার, $\mathbf{c = 30}$ মিটার ।

অর্ধ-পরিসীমা ($\mathbf{s}$) = $\frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} = \mathbf{42}$ মিটার।

(i) ক্ষেত্রফল ও ঘাস লাগানোর খরচ

হেরনের সূত্র অনুযায়ী ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A}$):

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$A = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}$ বর্গ মিটার

$A = \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12}$ বর্গ মিটার

$A = \sqrt{(6 \times 7) \times (4^2) \times (2 \times 7) \times (2 \times 6)}$ বর্গ মিটার

$A = \mathbf{4 \times 6 \times 7 \times 2}$ বর্গ মিটার (জোড়া উৎপাদকগুলি থেকে)

$A = \mathbf{336}$ বর্গ মিটার

ঘাস লাগানোর খরচ = $\mathbf{336} \times 5$ টাকা (প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসাবে)

= $\mathbf{1680}$ টাকা

(ii) বেড়া দিয়ে ঘিরতে খরচ

মাঠের পরিসীমা = 84 মিটার।

গেট তৈরির জন্য জায়গা ছাড়া হয়েছে = **5** মিটার ।

বেড়া দিতে হবে = পরিসীমা – গেটের জায়গা = $84 – 5 = \mathbf{79}$ মিটার

মোট খরচ = $79 \times 18$ টাকা (প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে)

= $\mathbf{1422}$ টাকা

উত্তর: (i) ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে **1680 টাকা**। (ii) বেড়া দিয়ে ঘিরতে মোট খরচ হবে **1422 টাকা**।

সমাধান:

ধরি, সমবাহু $\mathbf{\triangle PQR}$ এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.।

অন্তঃস্থঃ বিন্দু থেকে বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্বগুলির দৈর্ঘ্য: $h_1 = \mathbf{10}$ সেমি., $h_2 = \mathbf{12}$ সেমি., $h_3 = \mathbf{8}$ সেমি.।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ($\mathbf{h}$) অন্তঃস্থঃ যেকোনো বিন্দু থেকে বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্বগুলির দৈর্ঘ্যের **সমষ্টির সমান**।

উচ্চতা ($\mathbf{h}$) = $h_1 + h_2 + h_3 = 10 + 12 + 8 = \mathbf{30}$ সেমি.

(i) বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র: $\mathbf{h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \times a = 30$

$a = \frac{30 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = \mathbf{20\sqrt{3}}$ সেমি.

(ii) ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (20\sqrt{3})^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (400 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1200$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{300\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: $\mathbf{\triangle PQR}$-এর ক্ষেত্রফল হলো **$300\sqrt{3}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$) = 20 সেমি.।

অন্তর্ভুক্ত কোণ ($\mathbf{\theta}$) = $\mathbf{45^\circ}$।

আমরা জানি, দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:

ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)}$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \sin(45^\circ)$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 400 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সেমি.

= $\frac{200}{\sqrt{2}} = \frac{200\sqrt{2}}{2}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{100\sqrt{2}}$ বর্গ সেমি.

(যদি $\sqrt{2} \approx 1.414$ ধরা হয়, ক্ষেত্রফল $\approx 100 \times 1.414 = 141.4$ বর্গ সেমি।)

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **$100\sqrt{2}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$) = 20 সেমি.।

অন্তর্ভুক্ত কোণ ($\mathbf{\theta}$) = $\mathbf{30^\circ}$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: ক্ষেত্রফল = $\mathbf{\frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)}$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \sin(30^\circ)$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times 400 \times \frac{1}{2}$ বর্গ সেমি.

= $\mathbf{100}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **100 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

ধরি, সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.।

অতিভুজের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{h}$) = পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী = $\mathbf{\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}}$ সেমি.

পরিসীমা = $a + a + a\sqrt{2} = \mathbf{2a + a\sqrt{2} = a(2+\sqrt{2})}$ সেমি.

দেওয়া আছে, পরিসীমা = $(\mathbf{\sqrt{2}+1})$ সেমি.।

সুতরাং, $a(2+\sqrt{2}) = (\sqrt{2}+1)$

$a[\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)] = (\sqrt{2}+1)$

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ সেমি.

(i) অতিভুজের দৈর্ঘ্য

অতিভুজের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{h}$) = $a\sqrt{2}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = \mathbf{1}$ সেমি.

(ii) ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\mathbf{\times}$ উচ্চতা (উভয়ই $a$)

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$ বর্গ সেমি.

= $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{4}}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য **1 সেমি.** এবং ক্ষেত্রফল **$\mathbf{\frac{1}{4}}$ বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, গতিবেগ ($\mathbf{v}$) = 18 কিমি/ঘণ্টা, সময় ($\mathbf{t}$) = 10 মিনিট।

(i) সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

প্রথমে মারিয়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরিসীমা) নির্ণয় করি।

গতিবেগ মি/মিনিটে: $v = \frac{18 \times 1000}{60} = \mathbf{300}$ মিটার/মিনিট।

অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরিসীমা) = গতিবেগ $\times$ সময়

পরিসীমা = $300 \times 10 = \mathbf{3000}$ মিটার

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ মিটার। পরিসীমা = $3a$

$3a = 3000 \implies a = \mathbf{1000}$ মিটার

(ii) মধ্যবিন্দু পর্যন্ত যেতে দূরত্ব নির্ণয়

একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বটি হলো ত্রিভুজটির **উচ্চতা** ($\mathbf{h}$)।

$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1000 = \mathbf{500\sqrt{3}}$ মিটার

মান বসিয়ে: $h \approx 500 \times 1.732 = \mathbf{866}$ মিটার।

(iii) সময় নির্ণয়

সময় = $\frac{দূরত্ব}{গতিবেগ}$

সময় = $\frac{866}{300} \approx \mathbf{2.886}$ মিনিট

বা, সরাসরি $\sqrt{3}$ ব্যবহার করে:

সময় = $\frac{500\sqrt{3}}{300} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ মিনিট

সময় $\approx \frac{5 \times 1.732}{3} = \frac{8.66}{3} \approx \mathbf{2.887}$ মিনিট।

উত্তর: মারিয়ার প্রায় **2.887 মিনিট** সময় লাগবে।

সমাধান:

ধরি, মূল ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{x}$ মিটার।

মূল ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A_1}$) = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}$ বর্গ মিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বৃদ্ধি করলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য ($\mathbf{x+1}$) মিটার।

নতুন ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A_2}$) = $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4} (x+1)^2}$ বর্গ মিটার।

প্রশ্নানুসারে, নতুন ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের চেয়ে $\mathbf{\sqrt{3}}$ বর্গমিটার বেশি।

$\mathbf{A_2 – A_1 = \sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{3}}{4} (x+1)^2 – \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = \sqrt{3}$

উভয় পক্ষকে $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}}$ দিয়ে ভাগ করে পাই:

$(x+1)^2 – x^2 = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = 4$

$(x^2 + 2x + 1) – x^2 = 4$

$2x + 1 = 4$

$2x = 3 \implies x = \mathbf{\frac{3}{2}} = \mathbf{1.5}$ মিটার

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হলো **1.5 মিটার**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\mathbf{\sqrt{3}:2}$।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 60 সেমি.।

(i) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ সেমি.। কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\mathbf{\sqrt{2} \times a}$

$\sqrt{2} \times a = 60 \implies a = \frac{60}{\sqrt{2}} = \mathbf{30\sqrt{2}}$ সেমি.

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ($\mathbf{A_b}$) = $a^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = \mathbf{1800}$ বর্গ সেমি.।

(ii) সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\mathbf{A_t}$। প্রশ্নানুসারে, $\frac{A_t}{A_b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A_t = A_b \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1800 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{900\sqrt{3}}$ বর্গ সেমি.

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{x}$ সেমি.। $\mathbf{A_t} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$

$\frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 900\sqrt{3}$

$x^2 = 900 \times 4 = 3600$

$x = \sqrt{3600} = \mathbf{60}$ সেমি.

(iii) সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয়

পরিসীমা = $3 \times x = 3 \times 60 = \mathbf{180}$ সেমি.

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা হলো **180 সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{c}$) = 13 সেমি.।

পরিসীমা = 30 সেমি.।

ধরি, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ এবং $\mathbf{b}$ সেমি.।

পরিসীমা = $a + b + c$

$a + b + 13 = 30$

$a + b = 30 – 13 = \mathbf{17}$ সেমি.

(ii) $\mathbf{ab}$ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয়

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী: $a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169$

আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

$17^2 = 169 + 2ab$

$289 = 169 + 2ab$

$2ab = 289 – 169 = 120$

$ab = \mathbf{60}$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times ab$

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 60 = \mathbf{30}$ বর্গ সেমি.

উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো **30 বর্গ সেমি.**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি ($\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$): 12 সেমি. এবং 5 সেমি.।

(i) অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী, অতিভুজের দৈর্ঘ্য ($\mathbf{c}$):

$c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$c = \sqrt{169} = \mathbf{13}$ সেমি.

(ii) লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল দুটি উপায়ে লেখা যায়। ধরি, সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য $\mathbf{h}$।

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times a \times b$ অথবা $\frac{1}{2} \times c \times h$

$\frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times a \times b$

$13 \times h = 12 \times 5 = 60$

$h = \frac{60}{13} \approx \mathbf{4.61538…}$ সেমি.

3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান:

$h \approx \mathbf{4.615}$ সেমি.

উত্তর: সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য হলো **4.615 সেমি. (প্রায়)**।

সমাধান:

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের বাহু: 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.।

যেহেতু $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, তাই এটি একটি **সমকোণী ত্রিভুজ**। অতিভুজ ($\mathbf{c}$) = 5 সেমি.।

ধরি, বর্গাকারক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{x}$ সেমি.।

বর্গক্ষেত্রটি যখন সমকোণ সংলগ্ন দুটি বাহুর উপর স্থাপিত হয় এবং একটি শীর্ষবিন্দু অতিভুজের উপর থাকে, তখন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

$\mathbf{x = \frac{ab}{a+b}}$ (যখন a, b সমকোণ সংলগ্ন বাহু)

$x = \frac{3 \times 4}{3 + 4} = \frac{12}{7}$ সেমি.

বর্গক্ষেত্রটি অতিভুজের উপর স্থাপিত হলে ক্ষেত্রটি আরও জটিল হবে, কিন্তু প্রশ্নটি সাধারণত সরলীকৃত সূত্রের দিকে ইঙ্গিত করে। সর্ববৃহৎ বর্গক্ষেত্রটি সাধারণত সমকোণ সংলগ্ন বাহুগুলির উপর স্থাপিত হয়।

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{x}$। ক্ষেত্রফল সমান হলে, অতিভুজের উপর লম্ব টেনে সাদৃশ্য (Similarity) ব্যবহার করে পাই:

কিন্তু প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে: **”যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজটির অতিভুজের উপর অবস্থিত”**। যখন বর্গক্ষেত্রটি সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের উপর স্থাপিত হয়, তখন এই শর্তটি পূরণ হয়।

অতএব, বর্গাকারক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য:

$x = \frac{12}{7} = \mathbf{1\frac{5}{7}}$ সেমি. (বা $\approx 1.714$ সেমি.)

উত্তর: বর্গাকারক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য হলো **$\mathbf{\frac{12}{7}}$ সেমি.**।