নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 19
কষে দেখি – ২০ (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
1. নীচের শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল প্রতিক্ষেত্রে নির্ণয় করি:
(i) (2, 2), (4, 2) এবং (-1, 3)
সমাধান:
আমরা জানি, $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ এবং $(x_3, y_3)$ বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|$ বর্গ একক।
এখানে, $(x_1, y_1) = (2, 2)$, $(x_2, y_2) = (4, 2)$ এবং $(x_3, y_3) = (-1, 3)$।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |2(2 – 3) + 4(3 – 2) + (-1)(2 – 2)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |2(-1) + 4(1) + (-1)(0)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-2 + 4 + 0|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |2|$ বর্গ একক
$= 1$ বর্গ একক।
উত্তর: ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক।
(ii) (8, 9), (2, 6) এবং (9, 2)
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (8, 9)$, $(x_2, y_2) = (2, 6)$ এবং $(x_3, y_3) = (9, 2)$।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |8(6 – 2) + 2(2 – 9) + 9(9 – 6)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |8(4) + 2(-7) + 9(3)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |32 – 14 + 27|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |45|$ বর্গ একক
$= 22.5$ বর্গ একক।
উত্তর: ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 22.5 বর্গ একক।
(iii) (1, 2), (3, 0) এবং মূলবিন্দু
সমাধান:
মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 0)$।
এখানে, $(x_1, y_1) = (1, 2)$, $(x_2, y_2) = (3, 0)$ এবং $(x_3, y_3) = (0, 0)$।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |1(0 – 0) + 3(0 – 2) + 0(2 – 0)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |0 + 3(-2) + 0|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-6|$ বর্গ একক
(ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হয়)
$= \frac{1}{2} \times 6$ বর্গ একক
$= 3$ বর্গ একক।
উত্তর: ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 3 বর্গ একক।
2. প্রমাণ করি যে (3, -2), (-5, 4) এবং (-1, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
সমাধান:
তিনটি বিন্দু সমরেখ হবে যদি তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য (0) হয়।
এখানে,
$(x_1, y_1) = (3, -2)$
$(x_2, y_2) = (-5, 4)$
$(x_3, y_3) = (-1, 1)$
ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |3(4 – 1) + (-5)(1 – (-2)) + (-1)(-2 – 4)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |3(3) – 5(1 + 2) – 1(-6)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |9 – 5(3) + 6|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |9 – 15 + 6|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |15 – 15|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} \times 0$ বর্গ একক
$= 0$ বর্গ একক।
যেহেতু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ।
(প্রমাণিত)
3. K-এর মান কত হলে, (1, -1), (2, -1) এবং (K, -1) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখায় থাকবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকার শর্ত হলো তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
এখানে বিন্দুগুলি হলো $(1, -1), (2, -1)$ এবং $(K, -1)$।
আমরা দেখতে পাচ্ছি, তিনটি বিন্দুরই কোটি (y-স্থানাঙ্ক) সমান ($-1$)।
ক্ষেত্রফলের সূত্রানুসারে:
$\frac{1}{2} |1(-1 – (-1)) + 2(-1 – (-1)) + K(-1 – (-1))| = 0$
বা, $\frac{1}{2} |1(-1 + 1) + 2(-1 + 1) + K(-1 + 1)| = 0$
বা, $\frac{1}{2} |1(0) + 2(0) + K(0)| = 0$
বা, $0 = 0$
এটি নির্দেশ করে যে, $K$-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্যই বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে। কারণ বিন্দুগুলো সর্বদা $y = -1$ সরলরেখার উপর অবস্থিত।
উত্তর: K-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য বিন্দুত্রয় একই সরলরেখায় থাকবে।
4. প্রমাণ করি যে, (1, 2) এবং (-2, -4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দু দুটি এবং মূলবিন্দু $(0, 0)$ যদি সমরেখ হয়, তবেই সংযোজক সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে।
আমরা $(1, 2), (-2, -4)$ এবং $(0, 0)$ বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব।
ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |1(-4 – 0) + (-2)(0 – 2) + 0(2 – (-4))|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |1(-4) – 2(-2) + 0|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-4 + 4|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} \times 0$ বর্গ একক
$= 0$ বর্গ একক।
যেহেতু ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ। অর্থাৎ সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী।
(প্রমাণিত)
5. প্রমাণ করি যে, (2, 1) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু (-4, -5) ও (9, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
সমাধান:
প্রথমে $(2, 1)$ এবং $(6, 5)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি।
মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $= (\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{6}{2}) = (4, 3)$।
এখন, যদি $(4, 3)$ বিন্দুটি $(-4, -5)$ এবং $(9, 8)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার উপর অবস্থিত হয়, তবে এই তিনটি বিন্দু সমরেখ হবে।
বিন্দু তিনটি: $(4, 3), (-4, -5)$ এবং $(9, 8)$।
এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |4(-5 – 8) + (-4)(8 – 3) + 9(3 – (-5))|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |4(-13) – 4(5) + 9(3 + 5)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-52 – 20 + 9(8)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-72 + 72|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} \times 0$ বর্গ একক
$= 0$ বর্গ একক।
যেহেতু ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ। সুতরাং, মধ্যবিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত।
(প্রমাণিত)
6. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দু চারিটির সংযোগে গঠিত চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
(i) (1, 1), (3, 4), (5, -2), (4, -7)
সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A(1, 1), B(3, 4), C(5, -2) এবং D(4, -7)।
A ও C বিন্দু যুক্ত করলে চতুর্ভুজটি দুটি ত্রিভুজ $\Delta ABC$ এবং $\Delta ADC$-তে বিভক্ত হয়।
১. $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |1(4 – (-2)) + 3(-2 – 1) + 5(1 – 4)|$
$= \frac{1}{2} |1(6) + 3(-3) + 5(-3)|$
$= \frac{1}{2} |6 – 9 – 15|$
$= \frac{1}{2} |-18| = 9$ বর্গ একক।
২. $\Delta ADC$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |1(-7 – (-2)) + 4(-2 – 1) + 5(1 – (-7))|$
$= \frac{1}{2} |1(-5) + 4(-3) + 5(8)|$
$= \frac{1}{2} |-5 – 12 + 40|$
$= \frac{1}{2} |23| = 11.5$ বর্গ একক।
চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল = $9 + 11.5 = 20.5$ বর্গ একক।
উত্তর: চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20.5 বর্গ একক।
(ii) (1, 4), (-2, 1), (2, -3), (3, 3)
সমাধান:
ধরি, শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A(1, 4), B(-2, 1), C(2, -3) এবং D(3, 3)।
A ও C যুক্ত করে পাই,
১. $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |1(1 – (-3)) + (-2)(-3 – 4) + 2(4 – 1)|$
$= \frac{1}{2} |1(4) – 2(-7) + 2(3)|$
$= \frac{1}{2} |4 + 14 + 6|$
$= \frac{1}{2} |24| = 12$ বর্গ একক।
২. $\Delta ADC$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |1(3 – (-3)) + 3(-3 – 4) + 2(4 – 3)|$
$= \frac{1}{2} |1(6) + 3(-7) + 2(1)|$
$= \frac{1}{2} |6 – 21 + 2|$
$= \frac{1}{2} |-13| = 6.5$ বর্গ একক।
চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল = $12 + 6.5 = 18.5$ বর্গ একক।
উত্তর: চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 18.5 বর্গ একক।
7. A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, 4), (-4, 3) এবং (8, -6); ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি এবং A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দুগুলি A(3, 4), B(-4, 3) এবং C(8, -6)।
১. ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |3(3 – (-6)) + (-4)(-6 – 4) + 8(4 – 3)|$
$= \frac{1}{2} |3(9) – 4(-10) + 8(1)|$
$= \frac{1}{2} |27 + 40 + 8|$
$= \frac{1}{2} |75| = 37.5$ বর্গ একক।
২. BC বাহুর দৈর্ঘ্য:
$= \sqrt{(8 – (-4))^2 + (-6 – 3)^2}$
$= \sqrt{(12)^2 + (-9)^2}$
$= \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ একক।
৩. A বিন্দু থেকে BC-এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য (h) নির্ণয়:
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times 15 \times h = 37.5$
বা, $7.5h = 37.5$
বা, $h = \frac{37.5}{7.5} = 5$
উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 37.5 বর্গ একক এবং লম্বের দৈর্ঘ্য 5 একক।
8. ABC ত্রিভুজের A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 5) এবং ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-2, 1) হলে, BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক D$(x, y)$।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। অর্থাৎ, ভরকেন্দ্র A ও D-এর সংযোজক রেখাংশকে 2:1 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করে।
এখানে, A(2, 5) এবং ভরকেন্দ্র G(-2, 1)।
ভরকেন্দ্র নির্ণয়ের সূত্র বা বিভক্তির সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$-2 = \frac{2 \times x + 1 \times 2}{2 + 1}$
বা, $-2 = \frac{2x + 2}{3}$
বা, $2x + 2 = -6$
বা, $2x = -8 \Rightarrow x = -4$
এবং,
$1 = \frac{2 \times y + 1 \times 5}{2 + 1}$
বা, $1 = \frac{2y + 5}{3}$
বা, $2y + 5 = 3$
বা, $2y = -2 \Rightarrow y = -1$
উত্তর: BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, -1)।
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, -3), (-5, 2) এবং (x, y); যদি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র মূলবিন্দু হয়, তাহলে x ও y-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ হলে ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$।
এখানে শীর্ষবিন্দুগুলি (4, -3), (-5, 2) এবং (x, y)। ভরকেন্দ্র হলো মূলবিন্দু (0, 0)।
শর্তানুসারে,
$\frac{4 + (-5) + x}{3} = 0$
বা, $-1 + x = 0$
বা, $x = 1$
এবং,
$\frac{-3 + 2 + y}{3} = 0$
বা, $-1 + y = 0$
বা, $y = 1$
উত্তর: x = 1 এবং y = 1।
10. A(-1, 5), B(3, 1) এবং C(5, 7) ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষবিন্দু। D, E, F যথাক্রমে BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু। DEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি এবং দেখাই যে $\Delta ABC = 4\Delta DEF$।
সমাধান:
প্রথমে মধ্যবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
D (BC-এর মধ্যবিন্দু) $= (\frac{3+5}{2}, \frac{1+7}{2}) = (4, 4)$
E (CA-এর মধ্যবিন্দু) $= (\frac{5+(-1)}{2}, \frac{7+5}{2}) = (2, 6)$
F (AB-এর মধ্যবিন্দু) $= (\frac{-1+3}{2}, \frac{5+1}{2}) = (1, 3)$
১. $\Delta DEF$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |4(6 – 3) + 2(3 – 4) + 1(4 – 6)|$
$= \frac{1}{2} |4(3) + 2(-1) + 1(-2)|$
$= \frac{1}{2} |12 – 2 – 2| = \frac{1}{2} |8| = 4$ বর্গ একক।
২. $\Delta ABC$-এর ক্ষেত্রফল:
$= \frac{1}{2} |-1(1 – 7) + 3(7 – 5) + 5(5 – 1)|$
$= \frac{1}{2} |-1(-6) + 3(2) + 5(4)|$
$= \frac{1}{2} |6 + 6 + 20| = \frac{1}{2} |32| = 16$ বর্গ একক।
তুলনা করে পাই,
$\Delta ABC = 16$ এবং $4 \times \Delta DEF = 4 \times 4 = 16$।
সুতরাং, $\Delta ABC = 4\Delta DEF$।
উত্তর: $\Delta DEF$-এর ক্ষেত্রফল 4 বর্গ একক। (প্রমাণিত)
কষে দেখি – ২০ (M.C.Q.)
(i) (0, 4), (0, 0) এবং (-6, 0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল–
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (0, 4), (x_2, y_2) = (0, 0)$ এবং $(x_3, y_3) = (-6, 0)$।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|$
$= \frac{1}{2} |0(0 – 0) + 0(0 – 4) + (-6)(4 – 0)|$
$= \frac{1}{2} |0 + 0 – 24|$
$= \frac{1}{2} |-24|$
$= 12$ বর্গ একক।
সঠিক উত্তর: (b) 12 বর্গ একক
(ii) (7, -5), (-2, 5) এবং (4, 6) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক–
(বিদ্রঃ সঠিক উত্তর পাওয়ার জন্য প্রশ্নে প্রথম বিন্দুর কোটি -5 ধরে সমাধান করা হলো।)
সমাধান:
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র: $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$।
এখানে,
ভুজ ($x$) = $\frac{7 + (-2) + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$
কোটি ($y$) = $\frac{-5 + 5 + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2$
সুতরাং, ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(3, 2)$।
সঠিক উত্তর: (c) (3, 2)
(iii) ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle ABC = 90^\circ$; A ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 4) এবং (3, 0) হলে, ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল–
সমাধান:
যেহেতু A(0, 4) y-অক্ষের উপর এবং C(3, 0) x-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং $\angle ABC = 90^\circ$, তাই B বিন্দুটি মূলবিন্দু (0, 0) হতে পারে।
এক্ষেত্রে:
ভূমি (BC) = 3 একক (x-অক্ষ বরাবর)
উচ্চতা (AB) = 4 একক (y-অক্ষ বরাবর)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
= $\frac{1}{2} \times 3 \times 4$
= $6$ বর্গ একক।
সঠিক উত্তর: (b) 6 বর্গ একক
(iv) (0, 0), (4, -3) এবং (x, y) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে–
সমাধান:
বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
অথবা, (0, 0) ও (4, -3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণকে (x, y) সিদ্ধ করবে।
সরলরেখার ঢাল (m) = $\frac{-3 – 0}{4 – 0} = -\frac{3}{4}$
সমীকরণ: $y – 0 = -\frac{3}{4}(x – 0)$
বা, $4y = -3x$
বা, $3x + 4y = 0$
এখন অপশনগুলি যাচাই করি:
(a) $x=8, y=-6 \Rightarrow 3(8) + 4(-6) = 24 – 24 = 0$ (সিদ্ধ করে)
(b) $x=8, y=6 \Rightarrow 24 + 24 \neq 0$
(c) $x=4, y=-6 \Rightarrow 12 – 24 \neq 0$
(d) $x=-8, y=-6 \Rightarrow -24 – 24 \neq 0$
সঠিক উত্তর: (a) x=8, y=-6
(v) ABC ত্রিভুজের A শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, -4) এবং ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (1, 2) হলে, BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক–
সমাধান:
ধরি, BC বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক D$(x, y)$।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র A ও BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর সংযোজক সরলরেখাংশকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
শর্তানুসারে,
$1 = \frac{1(7) + 2(x)}{1 + 2} \Rightarrow 3 = 7 + 2x \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$
এবং,
$2 = \frac{1(-4) + 2(y)}{1 + 2} \Rightarrow 6 = -4 + 2y \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$
সুতরাং, মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2, 5)।
সঠিক উত্তর: (b) (-2, 5)
কষে দেখি – ২০ (সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন)
(i) ABC ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 1), (1, 1) এবং (1, 0); ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু সংযোগে গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র এবং মূল ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু হয়।
এখানে মধ্যবিন্দুগুলি হলো $(0, 1), (1, 1)$ এবং $(1, 0)$।
সুতরাং, মূল ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = মধ্যবিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।
ভরকেন্দ্রের ভুজ ($x$) = $\frac{0 + 1 + 1}{3} = \frac{2}{3}$
ভরকেন্দ্রের কোটি ($y$) = $\frac{1 + 1 + 0}{3} = \frac{2}{3}$
উত্তর: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$।
(ii) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (6, 9) এবং দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (15, 0) এবং (0, 10); তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।
প্রদত্ত দুটি শীর্ষবিন্দু $(15, 0)$ ও $(0, 10)$ এবং ভরকেন্দ্র $(6, 9)$।
শর্তানুসারে,
$\frac{15 + 0 + x}{3} = 6$
বা, $15 + x = 18$
বা, $x = 18 – 15 = 3$
এবং,
$\frac{0 + 10 + y}{3} = 9$
বা, $10 + y = 27$
বা, $y = 27 – 10 = 17$
উত্তর: তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 17)।
(iii) (a, 0), (0, b) এবং (1, 1) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে দেখাই যে, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
সমাধান:
বিন্দু তিনটি সমরেখ হওয়ায়, এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
বিন্দুগুলি: $(a, 0), (0, b)$ এবং $(1, 1)$।
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} |a(b – 1) + 0(1 – 0) + 1(0 – b)| = 0$
বা, $|ab – a + 0 – b| = 0$
বা, $ab – a – b = 0$
বা, $ab = a + b$
উভয়পক্ষকে $ab$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{ab}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}$
বা, $1 = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$
বা, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
(প্রমাণিত)
(iv) (1, 4), (-1, 2) এবং (-4, 1) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
এখানে, $(x_1, y_1) = (1, 4), (x_2, y_2) = (-1, 2)$ এবং $(x_3, y_3) = (-4, 1)$।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{2} |1(2 – 1) + (-1)(1 – 4) + (-4)(4 – 2)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |1(1) – 1(-3) – 4(2)|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |1 + 3 – 8|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |4 – 8|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} |-4|$ বর্গ একক
$= \frac{1}{2} \times 4$ বর্গ একক
$= 2$ বর্গ একক।
উত্তর: ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক।
(v) $(x-y, y-z), (-x, -y)$ এবং $(y, z)$ বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান:
ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র: $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$।
১. ভুজ নির্ণয়:
$= \frac{(x – y) + (-x) + y}{3}$
$= \frac{x – y – x + y}{3}$
$= \frac{0}{3} = 0$
২. কোটি নির্ণয়:
$= \frac{(y – z) + (-y) + z}{3}$
$= \frac{y – z – y + z}{3}$
$= \frac{0}{3} = 0$
সুতরাং, ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, 0)$।
উত্তর: ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0)।
শেয়ার