নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 18 বৃত্তের ক্ষেত্রফল
কষে দেখি – ১৮ (বৃত্তের ক্ষেত্রফল)
1. আমিনাবিবি আজ 2.1 মিটার লম্বা একটি দড়ি দিয়ে তাঁর গোরুটিকে ফাঁকা মাঠে খুঁটির সঙ্গে বাঁধলেন। হিসাব করে দেখি গোরুটি সবথেকে বেশি কতটা জমির ঘাস খেতে পারবে।
সমাধান:
এখানে দড়ির দৈর্ঘ্যই হলো বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ ($r$)।
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 মিটার।
গোরুটি সবথেকে বেশি যে পরিমাণ জমির ঘাস খেতে পারবে, তা হলো ওই দড়ির দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল।
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
মান বসিয়ে পাই,
= $\frac{22}{7} \times (2.1)^2$ বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1$ বর্গ মিটার
= $22 \times 0.3 \times 2.1$ বর্গ মিটার
= $6.6 \times 2.1$ বর্গ মিটার
= $13.86$ বর্গ মিটার।
উত্তর: গোরুটি সবথেকে বেশি 13.86 বর্গ মিটার জমির ঘাস খেতে পারবে।
2. সুহানা একটি বৃত্ত আঁকবে যার পরিধি হবে 35.2 সেমি। হিসাব করে দেখি সুহানা যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত নেবে এবং বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে, পরিধি $2\pi r = 35.2$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 35.2$
বা, $r = \frac{35.2 \times 7}{2 \times 22}$
বা, $r = \frac{35.2 \times 7}{44}$
বা, $r = 0.8 \times 7$
সুতরাং, $r = 5.6$ সেমি।
এখন, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times (5.6)^2$ বর্গ সেমি
= $\frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6$ বর্গ সেমি
= $22 \times 0.8 \times 5.6$ বর্গ সেমি
= $17.6 \times 5.6$ বর্গ সেমি
= $98.56$ বর্গ সেমি।
উত্তর: সুহানা বৃত্তের ব্যাসার্ধ নেবে 5.6 সেমি এবং বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে 98.56 বর্গ সেমি।
3. রেখার দিদিমা একটি গোলাকার টেবিলের ঢাকনা তৈরি করেছেন যার ক্ষেত্রফল 5544 বর্গ সেমি। তিনি এই টেবিলের ঢাকনার চারিদিকে রঙিন ফিতে লাগাতে চান। হিসাব করে দেখি দিদিমাকে কত দৈর্ঘ্যের রঙিন ফিতে কিনতে হবে।
সমাধান:
ঢাকনার চারিদিকে ফিতে লাগাতে হবে, অর্থাৎ বৃত্তাকার ঢাকনার পরিধি নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, ঢাকনার ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = 5544$
বা, $\frac{22}{7} \times r^2 = 5544$
বা, $r^2 = \frac{5544 \times 7}{22}$
বা, $r^2 = 252 \times 7$
বা, $r^2 = 1764$
বা, $r = \sqrt{1764}$
সুতরাং, $r = 42$ সেমি।
প্রয়োজনীয় ফিতের দৈর্ঘ্য (পরিধি) = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 42$ সেমি
= $2 \times 22 \times 6$ সেমি
= $44 \times 6$ সেমি
= $264$ সেমি।
উত্তর: দিদিমাকে 264 সেমি বা 2.64 মিটার দৈর্ঘ্যের রঙিন ফিতে কিনতে হবে।
4. আমাদের পাড়ার বৃত্তাকার খেলার মাঠটি বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 21 টাকা হিসাবে 924 টাকা খরচ হয়েছে। মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঢেকে দেওয়ার জন্য কত বর্গ মিটার ত্রিপল কিনতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বেড়া দেওয়া হয় মাঠের পরিধি বরাবর। মোট খরচকে প্রতি মিটারের খরচ দিয়ে ভাগ করলে পরিধি পাওয়া যাবে।
বৃত্তাকার মাঠের পরিধি = $\frac{924}{21}$ মিটার = 44 মিটার।
ধরি, মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
$2\pi r = 44$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$
বা, $\frac{44}{7} \times r = 44$
বা, $r = \frac{44 \times 7}{44}$
সুতরাং, $r = 7$ মিটার।
মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঢাকার জন্য মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
মাঠের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times (7)^2$ বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7} \times 7 \times 7$ বর্গ মিটার
= $22 \times 7$ বর্গ মিটার
= $154$ বর্গ মিটার।
উত্তর: মাঠটি ঢাকার জন্য 154 বর্গ মিটার ত্রিপল কিনতে হবে।
5. ফারুক একটি বৃত্ত আঁকবে যার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে 616 বর্গ সেমি। হিসাব করে দেখি ফারুক যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত নেবে এবং বৃত্তটির পরিধি কত পাবে।
সমাধান:
ধরি, ফারুকের আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = 616$
বা, $\frac{22}{7} \times r^2 = 616$
বা, $r^2 = \frac{616 \times 7}{22}$
বা, $r^2 = 28 \times 7$
বা, $r^2 = 196$
বা, $r = \sqrt{196}$
সুতরাং, $r = 14$ সেমি।
ফারুক ব্যাসার্ধ নেবে 14 সেমি।
এখন, বৃত্তটির পরিধি = $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 14$ সেমি
= $2 \times 22 \times 2$ সেমি
= $88$ সেমি।
উত্তর: ফারুক ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি নেবে এবং বৃত্তটির পরিধি 88 সেমি পাবে।
6. পলাশ ও পিয়ালী দুটি বৃত্ত এঁকেছে যাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5; হিসাব করে দুজনের আঁকা বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
ধরি, পলাশের আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ $4r$ একক এবং পিয়ালীর আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ $5r$ একক।
পলাশের বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (4r)^2 = 16\pi r^2$ বর্গ একক।
পিয়ালীর বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (5r)^2 = 25\pi r^2$ বর্গ একক।
বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
= $16\pi r^2 : 25\pi r^2$
= $16 : 25$
উত্তর: বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:25।
7. সুমিত ও রেবা একই দৈর্ঘ্যের দুটি তামার তার এনেছে। সুমিত ওই তারটি বেঁকিয়ে আয়তাকার চিত্র তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং প্রস্থ 40 সেমি.। কিন্তু রেবা একই দৈর্ঘ্যের তামার তারটি বেঁকিয়ে বৃত্ত তৈরি করল। হিসাব করে দেখি সুমিতের তৈরি আয়তাকার চিত্র এবং রেবার তৈরি বৃত্তের মধ্যে কোনটি বেশি জায়গা জুড়ে থাকবে।
সমাধান:
সুমিতের আয়তাকার চিত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
= $2 \times (48 + 40)$ সেমি
= $2 \times 88$ সেমি
= $176$ সেমি।
যেহেতু তারটির দৈর্ঘ্য একই, তাই রেবার তৈরি বৃত্তের পরিধিও হবে 176 সেমি।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
শর্তানুসারে,
$2\pi r = 176$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 176$
বা, $r = \frac{176 \times 7}{44}$
বা, $r = 4 \times 7 = 28$ সেমি।
এখন দুটির ক্ষেত্রফল তুলনা করি:
সুমিতের আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $48 \times 40$ = $1920$ বর্গ সেমি।
রেবার বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28 \times 28$
= $22 \times 4 \times 28$
= $88 \times 28$
= $2464$ বর্গ সেমি।
দেখা যাচ্ছে, $2464 > 1920$।
উত্তর: রেবার তৈরি বৃত্তটি বেশি জায়গা জুড়ে থাকবে।
8. পাইওনিয়ার অ্যাথলেটিক ক্লাবের আয়তাকার মাঠের মাঝখানে একটি বৃত্তাকার জলাশয় আছে যার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 মিটার। আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 60 মিটার ও 42 মিটার। জলাশয় বাদে আয়তাকার মাঠের বাকি জায়গায় ঘাস লাগাতে প্রতি বর্গমিটার 75 টাকা হিসাবে কত খরচ হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
= $60 \times 42$ বর্গ মিটার
= $2520$ বর্গ মিটার।
মাঝখানের বৃত্তাকার জলাশয়ের ব্যাসার্ধ ($r$) = 14 মিটার।
জলাশয়ের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times 14 \times 14$ বর্গ মিটার
= $22 \times 2 \times 14$ বর্গ মিটার
= $616$ বর্গ মিটার।
জলাশয় বাদে মাঠের বাকি অংশের ক্ষেত্রফল
= $2520 – 616$ বর্গ মিটার
= $1904$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গমিটার 75 টাকা হিসাবে ঘাস লাগানোর মোট খরচ
= $1904 \times 75$ টাকা
= $142800$ টাকা।
উত্তর: ঘাস লাগাতে মোট 1,42,800 টাকা খরচ হবে।
9. ইটালগাছা ফ্রেন্ডস এসোসিয়েশন ক্লাবের বৃত্তাকার পার্কের বাইরের দিকে পরিধি বরাবর একটি 7 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। বৃত্তাকার পার্কের পরিধি 352 মিটার হলে, রাস্তাটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গমিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তাটি বাঁধাতে কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
শর্তানুসারে, পরিধি $2\pi r = 352$
বা, $2 \times \frac{22}{7} \times r = 352$
বা, $r = \frac{352 \times 7}{44}$
বা, $r = 8 \times 7 = 56$ মিটার।
রাস্তাটি 7 মিটার চওড়া।
অতএব, রাস্তাসমেত পার্কের ব্যাসার্ধ ($R$) = $56 + 7 = 63$ মিটার।
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসমেত পার্কের ক্ষেত্রফল) – (পার্কের ক্ষেত্রফল)
= $\pi R^2 – \pi r^2$
= $\pi (R^2 – r^2)$
= $\frac{22}{7} (63^2 – 56^2)$
= $\frac{22}{7} (63 + 56)(63 – 56)$ [$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ সূত্র প্রয়োগ করে]
= $\frac{22}{7} \times 119 \times 7$
= $22 \times 119$
= $2618$ বর্গ মিটার।
এখন, প্রতি বর্গমিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তাটি বাঁধাতে খরচ হবে:
= $2618 \times 20$ টাকা
= $52360$ টাকা।
উত্তর: রাস্তাটির ক্ষেত্রফল 2618 বর্গ মিটার এবং রাস্তাটি বাঁধাতে 52,360 টাকা খরচ হবে।
10. আনোয়ারাবিবি তার অর্ধবৃত্তাকার জমির চারদিকে প্রতি মিটার 18.50 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে 2664 টাকা খরচ করেছেন। তিনি যদি তার ওই অর্ধবৃত্তাকার জমি প্রতি বর্গ মিটার 32 টাকা হিসাবে চাষ করান তাহলে মোট কত টাকা খরচ করবেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বেড়া দেওয়া হয়েছে জমির পরিসীমা বরাবর।
জমির পরিসীমা = $\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি মিটারের খরচ}}$
= $\frac{2664}{18.50}$ মিটার
= $144$ মিটার।
ধরি, অর্ধবৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = $\pi r + 2r = r(\pi + 2)$
প্রশ্নানুসারে,
$r(\frac{22}{7} + 2) = 144$
বা, $r(\frac{22 + 14}{7}) = 144$
বা, $r(\frac{36}{7}) = 144$
বা, $r = \frac{144 \times 7}{36}$
বা, $r = 4 \times 7 = 28$ মিটার।
জমিতে চাষ করার জন্য ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
অর্ধবৃত্তাকার জমির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \pi r^2$
= $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$ বর্গ মিটার
= $11 \times 4 \times 28$ বর্গ মিটার
= $1232$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটার 32 টাকা হিসাবে চাষের খরচ:
= $1232 \times 32$ টাকা
= $39424$ টাকা।
উত্তর: জমি চাষ করতে মোট 39,424 টাকা খরচ হবে।
11. আজ আমার বন্ধু রজত একই বেগে দৌড়ে স্কুলের বৃত্তাকার মাঠটি যে সময়ে একবার প্রদক্ষিণ করল একই বেগে মাঠের ব্যাস বরাবর দৌড়তে 30 সেকেন্ড কম সময় নিল। তার গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড হলে, স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
রজতের গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড।
30 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = $9 \times 30 = 270$ মিটার।
প্রশ্ন অনুযায়ী, বৃত্তাকার পথ প্রদক্ষিণ করা (পরিধি) এবং ব্যাস বরাবর যাওয়ার দূরত্বের পার্থক্য হলো ওই 30 সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব।
ধরি, মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
পরিধি = $2\pi r$ এবং ব্যাস = $2r$।
শর্তানুসারে,
$2\pi r – 2r = 270$
বা, $2r (\pi – 1) = 270$
বা, $2r (\frac{22}{7} – 1) = 270$
বা, $2r (\frac{22 – 7}{7}) = 270$
বা, $2r \times \frac{15}{7} = 270$
বা, $r = \frac{270 \times 7}{2 \times 15}$
বা, $r = \frac{270 \times 7}{30}$
বা, $r = 9 \times 7 = 63$ মিটার।
স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times 63 \times 63$ বর্গ মিটার
= $22 \times 9 \times 63$ বর্গ মিটার
= $198 \times 63$ বর্গ মিটার
= $12474$ বর্গ মিটার।
উত্তর: স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল 12,474 বর্গ মিটার।
12. বকুলতলার বৃত্তাকার মাঠের বাইরের চারদিকে একটি সমপরিসরের রাস্তা আছে। রাস্তাটির বাইরের সীমারেখার দৈর্ঘ্য ভিতরের সীমারেখার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 132 মিটার বেশি। পথটির ক্ষেত্রফল 14190 বর্গ মি. হলে, বৃত্তাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার এবং রাস্তাসমেত মাঠের ব্যাসার্ধ $R$ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, বাইরের পরিধি – ভিতরের পরিধি = 132 মিটার।
$2\pi R – 2\pi r = 132$
বা, $2\pi(R – r) = 132$
বা, $2 \times \frac{22}{7} (R – r) = 132$
বা, $R – r = \frac{132 \times 7}{44}$
বা, $R – r = 3 \times 7 = 21$ ……(i)
আবার, পথটির ক্ষেত্রফল = 14190 বর্গ মিটার।
$\pi R^2 – \pi r^2 = 14190$
বা, $\pi(R^2 – r^2) = 14190$
বা, $\frac{22}{7} (R + r)(R – r) = 14190$
(i) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই,
$\frac{22}{7} (R + r) \times 21 = 14190$
বা, $66(R + r) = 14190$
বা, $R + r = \frac{14190}{66}$
বা, $R + r = 215$ ……(ii)
এখন (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
$(R + r) – (R – r) = 215 – 21$
বা, $2r = 194$
বা, $r = 97$
সুতরাং, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ 97 মিটার।
মাঠটির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times 97 \times 97$ বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7} \times 9409$ বর্গ মিটার
= $29571.14$ বর্গ মিটার (প্রায়)।
উত্তর: বৃত্তাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল $29571\frac{1}{7}$ বর্গ মিটার।
13. নীচের ছবির রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান (i):
চিত্রে ABCD একটি বর্গক্ষেত্র এবং এর মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তলিখিত।
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 7 সেমি।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাস = $2 \times 7$ = 14 সেমি।
রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = (বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) – (বৃত্তের ক্ষেত্রফল)
= $(14)^2 – \frac{22}{7} \times 7^2$ বর্গ সেমি
= $196 – \frac{22}{7} \times 49$ বর্গ সেমি
= $196 – 154$ বর্গ সেমি
= $42$ বর্গ সেমি।
উত্তর (i): রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল 42 বর্গ সেমি।
সমাধান (ii):
চিত্রে চারটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A, B, C, D এবং ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি।
কেন্দ্রগুলি যুক্ত করলে যে বর্গক্ষেত্র (ABCD) পাওয়া যায়, তার বাহুর দৈর্ঘ্য = $3.5 + 3.5$ = 7 সেমি।
বর্গক্ষেত্রের চারটি কোণ $90^\circ$ হওয়ায়, চারটি বৃত্তকলা মিলে একটি পূর্ণ বৃত্ত (ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি) গঠন করে।
রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = (বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) – (4টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল)
= $(7)^2 – \pi (3.5)^2$ বর্গ সেমি
= $49 – \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$ বর্গ সেমি
= $49 – 22 \times 0.5 \times 3.5$ বর্গ সেমি
= $49 – 38.5$ বর্গ সেমি
= $10.5$ বর্গ সেমি।
উত্তর (ii): রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল 10.5 বর্গ সেমি।
15. নীতু একটি বর্গক্ষেত্র ABCD এঁকেছে যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। আমার বোন A, B, C ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের চারটি বৃত্তচাপ এঁকেছে এবং কিছু জায়গায় নকশা এঁকেছে। হিসাব করে নকশা আঁকা ক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহু = 12 সেমি।
চারটি বৃত্তচাপের প্রতিটির ব্যাসার্ধ ($r$) = 6 সেমি।
যেহেতু 6 সেমি ব্যাসার্ধ, তাই দুটি বৃত্তচাপ প্রতিটি বাহুর মাঝখানে স্পর্শ করবে।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
মাঝখানের নকশা করা অংশের ক্ষেত্রফল = (বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) – (4টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল)
এখানে 4টি বৃত্তকলা (প্রতিটি $90^\circ$ কোণযুক্ত) মিলে একটি সম্পূর্ণ বৃত্ত তৈরি করে।
= $(12)^2 – \pi (6)^2$ বর্গ সেমি
= $144 – \frac{22}{7} \times 36$ বর্গ সেমি
= $144 – 113.14$ বর্গ সেমি
= $30.86$ বর্গ সেমি।
পরিসীমা নির্ণয়:
নকশা করা অংশের সীমানা চারটি বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত।
সুতরাং, পরিসীমা = 4টি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = একটি পূর্ণ বৃত্তের পরিধি
= $2\pi r$
= $2 \times \frac{22}{7} \times 6$ সেমি
= $\frac{264}{7}$ সেমি
= $37.71$ সেমি।
উত্তর: নকশা আঁকা ক্ষেত্রের পরিসীমা 37.71 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 30.86 বর্গ সেমি (প্রায়)।
16. একটি বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গ সেমি.। বৃত্তাকার মাঠটির পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি। যদি বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তাকার মাঠের অন্তর্লিখিত হতো, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কত হতো তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, $\pi r^2 = 154$
বা, $\frac{22}{7} \times r^2 = 154$
বা, $r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$
সুতরাং, $r = 7$ সেমি।
১. পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:
বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের ভিতরে থাকবে, তাই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে বৃত্তের ব্যাসের সমান।
বাহু ($a$) = $2r = 2 \times 7 = 14$ সেমি।
পরিসীমা = $4a = 4 \times 14 = 56$ সেমি।
ক্ষেত্রফল = $a^2 = (14)^2 = 196$ বর্গ সেমি।
২. অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:
বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের ভিতরে থাকবে, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণ হবে বৃত্তের ব্যাসের সমান।
কর্ণের দৈর্ঘ্য = $14$ সেমি।
ধরি বাহু = $x$। শর্তানুসারে, $x\sqrt{2} = 14$
বা, $x = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}$ সেমি।
পরিসীমা = $4x = 4 \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$ সেমি।
ক্ষেত্রফল = $x^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98$ বর্গ সেমি।
উত্তর: পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 56 সেমি ও ক্ষেত্রফল 196 বর্গ সেমি এবং অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $28\sqrt{2}$ সেমি ও ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সেমি।
17. নীচের বৃত্তকলাগুলির রেখাঙ্কিত অঞ্চলের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধান (i):
প্রদত্ত চিত্রে, ব্যাসার্ধ ($r$) = 12 সেমি এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ($\theta$) = $90^{\circ}$।
১. বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ($S$) = $\frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
= $\frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 12$
= $\frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 12$
= $\frac{132}{7}$ = $18.86$ সেমি (প্রায়)।
পরিসীমা = বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য + $2 \times$ ব্যাসার্ধ
= $18.86 + 2(12)$
= $18.86 + 24$
= $42.86$ সেমি (প্রায়)।
২. ক্ষেত্রফল = $\frac{\theta}{360} \times \pi r^2$
= $\frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times (12)^2$
= $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 144$
= $\frac{22}{7} \times 36$
= $\frac{792}{7}$ = $113.14$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
উত্তর (i): পরিসীমা 42.86 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 113.14 বর্গ সেমি।
সমাধান (ii):
প্রদত্ত চিত্রে, ব্যাসার্ধ ($r$) = 42 সেমি এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ($\theta$) = $60^{\circ}$।
১. বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ($S$) = $\frac{60}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 42$
= $\frac{1}{6} \times 44 \times 6$
= $44$ সেমি।
পরিসীমা = $S + 2r$
= $44 + 2(42)$
= $44 + 84$
= $128$ সেমি।
২. ক্ষেত্রফল = $\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times (42)^2$
= $\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42$
= $22 \times 42$
= $924$ বর্গ সেমি।
উত্তর (ii): পরিসীমা 128 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 924 বর্গ সেমি।
18. লীনা মেলা থেকে একটি বালা কিনে হাতে পরেছে। বালাটিতে 269.5 বর্গ সেমি. ধাতু আছে। বালাটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি. হলে, অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বালাটির বহির্ব্যাস 28 সেমি।
সুতরাং, বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{28}{2}$ = 14 সেমি।
ধরি, বালাটির অন্তর্ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
বালাটিতে ধাতুর পরিমাণ = বালাটির ক্ষেত্রফল (বলয়)
শর্তানুসারে,
$\pi (R^2 – r^2) = 269.5$
বা, $\frac{22}{7} (14^2 – r^2) = 269.5$
বা, $196 – r^2 = \frac{269.5 \times 7}{22}$
বা, $196 – r^2 = \frac{1886.5}{22}$
বা, $196 – r^2 = 85.75$
বা, $r^2 = 196 – 85.75$
বা, $r^2 = 110.25$
বা, $r = \sqrt{110.25}$
বা, $r = 10.5$
সুতরাং, অন্তর্ব্যাসার্ধ 10.5 সেমি।
অন্তর্ব্যাস = $2 \times 10.5$ সেমি = 21 সেমি।
উত্তর: বালাটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি।
19. প্রতুল পাশের ছবির মতো একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। সুমিতা A, B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি বৃত্তচাপ এঁকেছে এবং মাঝের কিছু জায়গা রঙিন করেছে। হিসাব করে রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল লিখি। [$\sqrt{3}=1.732$ (প্রায়)]
সমাধান:
ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যার বাহু = 10 সেমি।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহু})^2$
= $\frac{1.732}{4} \times (10)^2$ বর্গ সেমি
= $\frac{1.732}{4} \times 100$ বর্গ সেমি
= $1.732 \times 25$ বর্গ সেমি
= $43.3$ বর্গ সেমি।
তিনটি বৃত্তচাপের প্রতিটি 5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^{\circ}$।
সুতরাং, 3টি বৃত্তকলা মিলে মোট কোণ = $60^{\circ} \times 3 = 180^{\circ}$।
অর্থাৎ, তিনটি বৃত্তকলা মিলে একটি অর্ধবৃত্ত তৈরি করে।
তিনটি বৃত্তকলার মোট ক্ষেত্রফল = $\frac{180}{360} \times \pi r^2$
= $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (5)^2$ বর্গ সেমি
= $\frac{11}{7} \times 25$ বর্গ সেমি
= $\frac{275}{7}$ বর্গ সেমি
= $39.29$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল = (ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল) – (3টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল)
= $43.3 – 39.29$ বর্গ সেমি
= $4.01$ বর্গ সেমি।
উত্তর: রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল 4.01 বর্গ সেমি (প্রায়)।
20. রাবেয়া একটি বড়ো কাগজে 21 সেমি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ আঁকল। ওই সমবাহু ত্রিভুজের একটি অন্তবৃত্ত অঙ্কন করে বৃত্তাকার জায়গাটি রঙিন করল। আমি রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = 21 সেমি।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$
সুতরাং, $r = \frac{21}{2\sqrt{3}}$
= $\frac{21\sqrt{3}}{2 \times 3}$ (লব ও হরকে $\sqrt{3}$ দিয়ে গুণ করে)
= $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ সেমি।
রঙিন জায়গার (অন্তবৃত্তের) ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
= $\frac{22}{7} \times (\frac{7\sqrt{3}}{2})^2$ বর্গ সেমি
= $\frac{22}{7} \times \frac{49 \times 3}{4}$ বর্গ সেমি
= $\frac{11 \times 7 \times 3}{2}$ বর্গ সেমি
= $\frac{231}{2}$ বর্গ সেমি
= $115.5$ বর্গ সেমি।
উত্তর: রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল 115.5 বর্গ সেমি।
21. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 462 বর্গ সেমি.। ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি।
শর্তানুসারে, পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = 462
$\pi R^2 = 462$
বা, $\frac{22}{7} \times R^2 = 462$
বা, $R^2 = \frac{462 \times 7}{22}$
বা, $R^2 = 21 \times 7$
বা, $R^2 = 147$
আবার আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি $a$ হয়, তবে পরিব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{a}{\sqrt{3}}$।
বা, $R^2 = \frac{a^2}{3}$
এখন $R^2$ এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{a^2}{3} = 147$
বা, $a^2 = 147 \times 3$
বা, $a^2 = 441$
বা, $a = \sqrt{441}$
বা, $a = 21$
উত্তর: ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 21 সেমি।
22. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 32 সেমি. এবং ত্রিভুজটির অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ সেমি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা = 32 সেমি।
সুতরাং, অর্ধ-পরিসীমা ($s$) = $\frac{32}{2}$ = 16 সেমি।
ধরি, ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
দেওয়া আছে, অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল = 38.5 বর্গ সেমি।
শর্তানুসারে,
$\pi r^2 = 38.5$
বা, $\frac{22}{7} \times r^2 = 38.5$
বা, $r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22}$
বা, $r^2 = 1.75 \times 7$
বা, $r^2 = 12.25$
বা, $r = \sqrt{12.25} = 3.5$ সেমি।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = অর্ধ-পরিসীমা $\times$ অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ
= $s \times r$
= $16 \times 3.5$ বর্গ সেমি
= $56$ বর্গ সেমি।
উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সেমি।
23. 20 সেমি, 15 সেমি এবং 25 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের অন্তবৃত্ত ও পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। অন্তবৃত্ত ও পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ত্রিভুজটির বাহুগুলি হলো 20 সেমি, 15 সেমি এবং 25 সেমি।
এখানে, $(20)^2 + (15)^2 = 400 + 225 = 625 = (25)^2$
যেহেতু লম্ব$^2$ + ভূমি$^2$ = অতিভুজ$^2$, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ 25 সেমি।
১. পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($R$) নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ = $\frac{\text{অতিভুজ}}{2}$
= $\frac{25}{2}$ = 12.5 সেমি।
২. অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{\text{লম্ব} + \text{ভূমি} – \text{অতিভুজ}}{2}$
= $\frac{20 + 15 – 25}{2}$
= $\frac{10}{2}$ = 5 সেমি।
৩. পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
= $\pi R^2 = \frac{22}{7} \times (12.5)^2$
= $\frac{22}{7} \times 156.25$
= $491.07$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
৪. অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল:
= $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times (5)^2$
= $\frac{22}{7} \times 25$
= $\frac{550}{7}$
= $78.57$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
উত্তর: অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 12.5 সেমি। অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল 78.57 বর্গ সেমি এবং পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল 491.07 বর্গ সেমি।
24. জয়া একটি বর্গক্ষেত্রের অন্তবৃত্ত অঙ্কন করল। ওই বৃত্তটি আবার একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি। বর্গক্ষেত্রটির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $4\sqrt{3}$ সেমি।
ওই ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{a}{\sqrt{3}}$
= $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 4 সেমি।
প্রশ্নানুসারে, এই পরিবৃত্তটিই হলো বর্গক্ষেত্রের অন্তবৃত্ত।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 4 সেমি।
বর্গক্ষেত্রের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ বর্গক্ষেত্রের বাহুর অর্ধেক।
অতএব, বর্গক্ষেত্রের বাহু = $2 \times r = 2 \times 4 = 8$ সেমি।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বাহু $\times \sqrt{2}$
= $8\sqrt{2}$ সেমি।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রটির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $8\sqrt{2}$ সেমি।
25. সুমিত একটি তারকে দুটি সমান অংশে কাটল। একটি অংশকে বর্গাকারে ও অপর অংশটিকে বৃত্তাকারে বাঁকাল। বৃত্তাকার তারটি বর্গাকার তারটির থেকে 33 বর্গ সেমি বেশি জায়গা নিলে তারটির প্রকৃত দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, তারটির সমান দুটি অংশের প্রতিটির দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি।
সুতরাং, তারটির মোট দৈর্ঘ্য = $2x$ সেমি।
১ম অংশ (বর্গক্ষেত্র):
পরিসীমা = $x$।
বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{x}{4}$ সেমি।
ক্ষেত্রফল = $(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ বর্গ সেমি।
২য় অংশ (বৃত্ত):
পরিধি = $x$।
ধরি ব্যাসার্ধ $r$।
$2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi}$।
ক্ষেত্রফল = $\pi r^2 = \pi (\frac{x}{2\pi})^2 = \pi \frac{x^2}{4\pi^2} = \frac{x^2}{4\pi}$ বর্গ সেমি।
প্রশ্নানুসারে:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল – বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 33
$\frac{x^2}{4\pi} – \frac{x^2}{16} = 33$
বা, $x^2 (\frac{1}{4 \times \frac{22}{7}} – \frac{1}{16}) = 33$
বা, $x^2 (\frac{7}{88} – \frac{1}{16}) = 33$
বা, $x^2 (\frac{14 – 11}{176}) = 33$ [88 ও 16-এর ল.সা.গু 176]
বা, $x^2 (\frac{3}{176}) = 33$
বা, $x^2 = \frac{33 \times 176}{3}$
বা, $x^2 = 11 \times 176 = 1936$
বা, $x = \sqrt{1936} = 44$
প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য 44 সেমি।
তারটির প্রকৃত (মোট) দৈর্ঘ্য = $2 \times 44$ = 88 সেমি।
উত্তর: তারটির প্রকৃত দৈর্ঘ্য 88 সেমি।
কষে দেখি – ১৮ (M.C.Q.)
(i) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x বর্গ একক, পরিধি y একক ও ব্যাসের দৈর্ঘ্য z একক হলে, $\frac{x}{yz}$ এর মান–
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
প্রশ্নানুসারে,
ক্ষেত্রফল ($x$) = $\pi r^2$
পরিধি ($y$) = $2\pi r$
ব্যাস ($z$) = $2r$
এখন, $\frac{x}{yz}$ এর মান নির্ণয় করি:
= $\frac{\pi r^2}{(2\pi r) \times (2r)}$
= $\frac{\pi r^2}{4\pi r^2}$
= $\frac{1}{4}$
সঠিক উত্তর: (b) $\frac{1}{4}$
(ii) একটি বৃত্তের পরিলিখিত ও অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত–
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
১. পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাস = $2r$ একক।
ক্ষেত্রফল = $(2r)^2 = 4r^2$ বর্গ একক।
২. অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = $2r$ একক।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{কর্ণ})^2$
= $\frac{1}{2} \times (2r)^2$
= $\frac{1}{2} \times 4r^2 = 2r^2$ বর্গ একক।
অনুপাত = $4r^2 : 2r^2$ = $2 : 1$
সঠিক উত্তর: (c) 2:1
(iii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি ও ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। ওই বৃত্তের পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য–
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
প্রশ্নানুসারে, পরিধি = ক্ষেত্রফল (সাংখ্যমান)
$2\pi r = \pi r^2$
বা, $r = 2$ একক।
বৃত্তের পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাস = $2 \times 2$ = 4 একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বাহু $\times \sqrt{2}$
= $4\sqrt{2}$ একক।
সঠিক উত্তর: (c) $4\sqrt{2}$ একক
(iv) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিলিখিত ও অন্তর্লিখিত বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত–
সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু = $a$ একক।
পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{a}{\sqrt{3}}$
অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\pi R^2 : \pi r^2$
= $R^2 : r^2$
= $(\frac{a}{\sqrt{3}})^2 : (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2$
= $\frac{a^2}{3} : \frac{a^2}{12}$
= $\frac{1}{3} : \frac{1}{12}$
(উভয়পক্ষকে 12 দিয়ে গুণ করে পাই)
= $4 : 1$
সঠিক উত্তর: (a) 4:1
(v) একটি বলয়াকৃতি লোহার পাতের অন্তর্ব্যাস 20 সেমি. এবং বহির্ব্যাস 22 সেমি.। বলয়টিতে লোহার পাত আছে–
সমাধান:
বহির্ব্যাস = 22 সেমি, সুতরাং বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = 11 সেমি।
অন্তর্ব্যাস = 20 সেমি, সুতরাং অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) = 10 সেমি।
লোহার পাতের পরিমাণ = বলয়ের ক্ষেত্রফল
= $\pi (R^2 – r^2)$
= $\frac{22}{7} (11^2 – 10^2)$
= $\frac{22}{7} (121 – 100)$
= $\frac{22}{7} \times 21$
= $22 \times 3$
= 66 বর্গ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) 66 বর্গ সেমি.
কষে দেখি – ১৮ (সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন)
(i) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$ বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ 10% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে:
= $r + r \times \frac{10}{100} = r + 0.1r = 1.1r$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল = $\pi (1.1r)^2$ বর্গ একক
= $\pi \times 1.21r^2$ বর্গ একক
= $1.21\pi r^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $1.21\pi r^2 – \pi r^2 = 0.21\pi r^2$ বর্গ একক।
শতকরা বৃদ্ধি = $\frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100$
= $\frac{0.21\pi r^2}{\pi r^2} \times 100$
= $0.21 \times 100 = 21$
উত্তর: বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।
(ii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা 50% হ্রাস করলে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পায় হিসাব করি।
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের পরিসীমা ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক। তাই পরিসীমা 50% হ্রাস পেলে ব্যাসার্ধও 50% হ্রাস পাবে।
ধরি, প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = $r$ একক।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$ বর্গ একক।
নতুন ব্যাসার্ধ = $r – r \times \frac{50}{100} = r – 0.5r = 0.5r$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল = $\pi (0.5r)^2$ বর্গ একক
= $\pi \times 0.25r^2$ বর্গ একক
= $0.25\pi r^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল হ্রাস = $\pi r^2 – 0.25\pi r^2 = 0.75\pi r^2$ বর্গ একক।
শতকরা হ্রাস = $\frac{0.75\pi r^2}{\pi r^2} \times 100$
= $0.75 \times 100 = 75$
উত্তর: বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75% হ্রাস পাবে।
(iii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r$ মিটার। অন্য একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত হলে, তার ক্ষেত্রফল প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফলের $x$ গুণ হবে তা হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$ বর্গ মিটার।
ধরি, দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $R$ মিটার।
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi R^2$ বর্গ মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $x \times$ প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল
$\pi R^2 = x \cdot \pi r^2$
বা, $R^2 = x r^2$ (উভয়পক্ষ থেকে $\pi$ বাদ দিয়ে)
বা, $R = \sqrt{x r^2}$
বা, $R = r\sqrt{x}$
উত্তর: অন্য বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য $r\sqrt{x}$ মিটার হতে হবে।
(iv) 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি।
সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলি হলো 3 সেমি, 4 সেমি এবং 5 সেমি।
এখানে, $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
সুতরাং, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ 5 সেমি।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত।
তাই, পরিব্যাসার্ধ ($R$) = $\frac{\text{অতিভুজ}}{2}$
= $\frac{5}{2} = 2.5$ সেমি।
পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi R^2$
= $\frac{22}{7} \times (2.5)^2$ বর্গ সেমি
= $\frac{22}{7} \times 6.25$ বর্গ সেমি
= $\frac{137.5}{7}$ বর্গ সেমি
= $19.64$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
উত্তর: পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল $19.64$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
(v) সমবেধবিশিষ্ট একটি টিনের পাত থেকে তিনটি বৃত্তাকার চাকতি কেটে নেওয়া হলো। বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:5:7 হলে, তাদের ওজনের অনুপাত কত হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
চাকতিগুলি সমবেধবিশিষ্ট (একই বেধ বা thickness), তাই তাদের ওজন তাদের ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক হবে।
আবার, বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের (বা ব্যাসের বর্গের) সমানুপাতিক।
দেওয়া আছে, ব্যাসের অনুপাত = $3:5:7$
সুতরাং, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $(3)^2 : (5)^2 : (7)^2$
= $9 : 25 : 49$
যেহেতু ওজন ক্ষেত্রফলের সাথে সমানুপাতিক, তাই ওজনের অনুপাতও একই হবে।
উত্তর: চাকতি তিনটির ওজনের অনুপাত 9:25:49।
শেয়ার