নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 5.2
কষে দেখি – 5.2 : রৈখিক সহসমীকরণের লেখচিত্র
1. নীচের সহসমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমাধানযোগ্য হলে সমাধানটি বা অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে ৩টি সমাধান লিখি।
(a) $2x + 3y – 7 = 0$ ; $3x + 2y – 8 = 0$
সমাধান:
প্রথম সমীকরণ: $2x + 3y = 7$
বা, $3y = 7 – 2x$
$\therefore y = \frac{7 – 2x}{3}$
লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 2 | -1 | 5 |
| $y$ | 1 | 3 | -1 |
দ্বিতীয় সমীকরণ: $3x + 2y = 8$
বা, $2y = 8 – 3x$
$\therefore y = \frac{8 – 3x}{2}$
লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 2 | 0 | 4 |
| $y$ | 1 | 4 | -2 |
পর্যবেক্ষণ ও সিদ্ধান্ত:
ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করলে দেখা যাবে যে, সরলরেখা দুটি পরস্পরকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $(2, 1)$-এ ছেদ করছে।
- সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য।
- নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = 1$
(b) $4x – y = 11$ ; $-8x + 2y = -22$
সমাধান:
প্রথম সমীকরণ: $4x – y = 11 \Rightarrow y = 4x – 11$
বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 3 | 2 | 4 |
| $y$ | 1 | -3 | 5 |
দ্বিতীয় সমীকরণ: $-8x + 2y = -22$
উভয়পক্ষকে -2 দিয়ে ভাগ করে পাই: $4x – y = 11$
বা, $y = 4x – 11$
দেখা যাচ্ছে যে, দ্বিতীয় সমীকরণটি হুবহু প্রথম সমীকরণের মতোই। তাই এর বিন্দুগুলিও একই হবে।
পর্যবেক্ষণ ও সিদ্ধান্ত:
ছক কাগজে সরলরেখা দুটি একে অপরের ওপর সমাপতিত (Coincident) হবে।
- সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য এবং এদের অসংখ্য সমাধান আছে।
- ৩টি সমাধান হলো: $(3, 1), (2, -3), (4, 5)$
(c) $7x + 3y = 42$ ; $21x + 9y = 42$
সমাধান:
প্রথম সমীকরণ: $7x + 3y = 42 \Rightarrow 3y = 42 – 7x \Rightarrow y = \frac{42 – 7x}{3}$
বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 0 | 6 | 3 |
| $y$ | 14 | 0 | 7 |
দ্বিতীয় সমীকরণ: $21x + 9y = 42$
বা, $3(7x + 3y) = 42$
বা, $7x + 3y = 14 \Rightarrow 3y = 14 – 7x \Rightarrow y = \frac{14 – 7x}{3}$
বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 2 | -1 | 5 |
| $y$ | 0 | 7 | -7 |
পর্যবেক্ষণ ও সিদ্ধান্ত:
ছক কাগজে স্থাপন করলে দেখা যাবে যে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল (Parallel)। তারা কখনোই একে অপরকে ছেদ করবে না।
- সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য নয় (No Solution)।
(d) $5x + y = 13$ ; $5x + 5y = 12$
সমাধান:
প্রথম সমীকরণ: $5x + y = 13 \Rightarrow y = 13 – 5x$
বিন্দুগুলি হলো:
| $x$ | 2 | 3 | 1 |
| $y$ | 3 | -2 | 8 |
দ্বিতীয় সমীকরণ: $5x + 5y = 12$
বা, $5y = 12 – 5x \Rightarrow y = \frac{12 – 5x}{5}$
যেহেতু সরলরেখা দুটির প্রবণতা বা ঢাল (slope) আলাদা ($m_1 = -5$ এবং $m_2 = -1$), তাই তারা পরস্পর সমান্তরাল নয় এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করবে।
পর্যবেক্ষণ ও সিদ্ধান্ত:
ছক কাগজে আঁকলে সরলরেখা দুটি পরস্পরকে ছেদ করবে।
- সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য।
- (গণনা করে পাই ছেদবিন্দুটি হলো: $x = \frac{53}{20} = 2.65$ এবং $y = -0.25$)
- নির্ণেয় সমাধান: $x = 2.65, y = -0.25$
2. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র এঁকে যাচাই করি।
নিয়ম: দুটি সমীকরণ $a_1x + b_1y = c_1$ এবং $a_2x + b_2y = c_2$ এর ক্ষেত্রে:
- যদি $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ হয়, তবে ১টি মাত্র সমাধান থাকবে (সমাধানযোগ্য)।
- যদি $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ হয়, তবে অসংখ্য সমাধান থাকবে (সমাধানযোগ্য)।
- যদি $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ হয়, তবে কোনো সমাধান নেই (সমাধানযোগ্য নয়)।
(a) $x + 5y = 7$ ; $x + 5y = 20$
অনুপাত নির্ণয়:
এখানে, $a_1 = 1, b_1 = 5, c_1 = 7$
এবং $a_2 = 1, b_2 = 5, c_2 = 20$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$ ; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{5} = 1$ ; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{20}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
সিদ্ধান্ত: সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য নয়।
লেখচিত্র অঙ্কন ও যাচাই:
১ম সমীকরণ: $x = 7 – 5y$
| $x$ | 2 | -3 | 7 |
| $y$ | 1 | 2 | 0 |
২য় সমীকরণ: $x = 20 – 5y$
| $x$ | 5 | 0 | 10 |
| $y$ | 3 | 4 | 2 |
যাচাই: লেখচিত্র আঁকলে দেখা যাবে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল, অর্থাৎ এদের কোনো সাধারণ ছেদবিন্দু নেই।
(b) $2x + y = 8$ ; $2y – 3x = -5$
অনুপাত নির্ণয়:
সমীকরণ দুটি সাজিয়ে পাই: $2x + y = 8$ এবং $-3x + 2y = -5$
এখানে, $a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 8$
এবং $a_2 = -3, b_2 = 2, c_2 = -5$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$ ; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
সিদ্ধান্ত: সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য এবং একটি মাত্র সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন ও যাচাই:
১ম সমীকরণ: $y = 8 – 2x$
| $x$ | 4 | 2 | 3 |
| $y$ | 0 | 4 | 2 |
২য় সমীকরণ: $2y = 3x – 5 \Rightarrow y = \frac{3x – 5}{2}$
| $x$ | 1 | 3 | 5 |
| $y$ | -1 | 2 | 5 |
যাচাই: লেখচিত্রে সরলরেখা দুটি পরস্পরকে $(3, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) $5x + 8y = 14$ ; $15x + 24y = 42$
অনুপাত নির্ণয়:
এখানে, $a_1 = 5, b_1 = 8, c_1 = 14$
এবং $a_2 = 15, b_2 = 24, c_2 = 42$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ ; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ ; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
সিদ্ধান্ত: সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য এবং অসংখ্য সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন ও যাচাই:
১ম সমীকরণ: $8y = 14 – 5x \Rightarrow y = \frac{14 – 5x}{8}$
| $x$ | -2 | 6 | 2.8 |
| $y$ | 3 | -2 | 0 |
২য় সমীকরণ: $24y = 42 – 15x \Rightarrow y = \frac{42 – 15x}{24}$
(উভয় লব ও হরকে 3 দিয়ে ভাগ করলে এটি ১ম সমীকরণের রূপ পায়, তাই বিন্দুগুলি একই হবে।)
যাচাই: লেখচিত্রে দুটি সরলরেখা একে অপরের ওপর সমাপতিত (Coincident) হবে।
(d) $3x + 2y = 6$ ; $12x + 8y = 24$
অনুপাত নির্ণয়:
এখানে, $a_1 = 3, b_1 = 2, c_1 = 6$
এবং $a_2 = 12, b_2 = 8, c_2 = 24$
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
সিদ্ধান্ত: সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য এবং অসংখ্য সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন ও যাচাই:
১ম সমীকরণ: $2y = 6 – 3x \Rightarrow y = \frac{6 – 3x}{2}$
| $x$ | 0 | 2 | 4 |
| $y$ | 3 | 0 | -3 |
২য় সমীকরণ: $12x + 8y = 24$
(একে 4 দিয়ে ভাগ করলে পাই $3x + 2y = 6$, যা ১ম সমীকরণের অনুরূপ।)
যাচাই: লেখচিত্রে দুটি সরলরেখা একে অপরের ওপর সমাপতিত (Coincident) হবে।
3. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণগুলির লেখচিত্রগুলি সমান্তরাল বা পরস্পরচ্ছেদী বা সমাপতিত হবে কিনা লিখি।
সূত্র: দুটি সমীকরণ $a_1x + b_1y = c_1$ এবং $a_2x + b_2y = c_2$ এর লেখচিত্রের প্রকৃতি:
- পরস্পরচ্ছেদী (Intersecting): যখন $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
- সমান্তরাল (Parallel): যখন $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
- সমাপতিত (Coincident): যখন $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
(a) $5x + 3y = 11$ ; $2x – 7y = -12$
সমাধান:
এখানে সমীকরণ দুটি হলো:
$5x + 3y = 11 \dots (i)$
$2x – 7y = -12 \dots (ii)$
এখানে,
$a_1 = 5, b_1 = 3, c_1 = 11$
$a_2 = 2, b_2 = -7, c_2 = -12$
অনুপাত নির্ণয়:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
উত্তর: লেখচিত্র দুটি পরস্পরচ্ছেদী (Intersecting) হবে।
(b) $6x – 8y = 2$ ; $3x – 4y = 1$
সমাধান:
এখানে সমীকরণ দুটি হলো:
$6x – 8y = 2 \dots (i)$
$3x – 4y = 1 \dots (ii)$
এখানে,
$a_1 = 6, b_1 = -8, c_1 = 2$
$a_2 = 3, b_2 = -4, c_2 = 1$
অনুপাত নির্ণয়:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{3} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-8}{-4} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{1} = 2$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
উত্তর: লেখচিত্র দুটি সমাপতিত (Coincident) হবে।
(c) $8x – 7y = 0$ ; $8x – 7y = 56$
সমাধান:
এখানে সমীকরণ দুটি হলো:
$8x – 7y = 0 \dots (i)$
$8x – 7y = 56 \dots (ii)$
এখানে,
$a_1 = 8, b_1 = -7, c_1 = 0$
$a_2 = 8, b_2 = -7, c_2 = 56$
অনুপাত নির্ণয়:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{8} = 1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-7} = 1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{0}{56} = 0$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
উত্তর: লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল (Parallel) হবে।
(d) $4x – 3y = 6$ ; $4y – 5x = -7$
সমাধান:
সমীকরণ দুটি সাজিয়ে লিখি (x ও y এর অবস্থান একই রাখতে হবে):
$4x – 3y = 6 \dots (i)$
$-5x + 4y = -7 \dots (ii)$
এখানে,
$a_1 = 4, b_1 = -3, c_1 = 6$
$a_2 = -5, b_2 = 4, c_2 = -7$
অনুপাত নির্ণয়:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$
সম্পর্ক: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
উত্তর: লেখচিত্র দুটি পরস্পরচ্ছেদী (Intersecting) হবে।
4. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির মধ্যে যেগুলি সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র এঁকে সমাধান করি এবং অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে ৩টি সমাধান লিখি।
শর্ত:
- $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ হলে, ১টি সমাধান (সমাধানযোগ্য)।
- $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ হলে, অসংখ্য সমাধান (সমাধানযোগ্য)।
- $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ হলে, কোনো সমাধান নেই (সমাধানযোগ্য নয়)।
(a) $4x + 3y = 20$ ; $8x + 6y = 40$
যাচাই: এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য এবং অসংখ্য সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন:
১ম সমীকরণ: $4x + 3y = 20 \Rightarrow x = \frac{20 – 3y}{4}$
| $x$ | 5 | 2 | 8 |
| $y$ | 0 | 4 | -4 |
২য় সমীকরণটি ১ম সমীকরণের অনুরূপ (উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করলে), তাই একই বিন্দু পাওয়া যাবে। লেখচিত্রটি সমাপতিত হবে।
উত্তর: অসংখ্য সমাধান আছে। ৩টি সমাধান হলো: $(5, 0), (2, 4), (8, -4)$।
(b) $4x + 3y = 20$ ; $12x + 9y = 20$
যাচাই: এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{20}{20} = 1$।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য নয়।
উত্তর: কোনো সমাধান নেই (লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল হবে)।
(c) $4x + 3y = 20$ ; $\frac{3x}{4} – \frac{y}{8} = 1$
সরলীকরণ ও যাচাই:
২য় সমীকরণ: $\frac{3x}{4} – \frac{y}{8} = 1 \Rightarrow \frac{6x – y}{8} = 1 \Rightarrow 6x – y = 8$
এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1} = -3$।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, তাই ১টি মাত্র সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন:
১ম সমীকরণ ($4x + 3y = 20$): বিন্দুগুলি $(5, 0), (2, 4), (-1, 8)$।
২য় সমীকরণ ($y = 6x – 8$):
| $x$ | 0 | 2 | 3 |
| $y$ | -8 | 4 | 10 |
লেখচিত্রে দেখা যাবে সরলরেখা দুটি $(2, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করছে।
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 2, y = 4$।
(d) $p – q = 3$ ; $\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6$
সরলীকরণ ও যাচাই:
২য় সমীকরণ: $\frac{2p + 3q}{6} = 6 \Rightarrow 2p + 3q = 36$
এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3}$।
যেহেতু অনুপাত অসমান, তাই ১টি মাত্র সমাধান আছে।
লেখচিত্র অঙ্কন:
১ম সমীকরণ ($p = 3 + q$):
| $p$ | 3 | 6 | 9 |
| $q$ | 0 | 3 | 6 |
২য় সমীকরণ ($p = \frac{36 – 3q}{2}$):
| $p$ | 18 | 12 | 9 |
| $q$ | 0 | 4 | 6 |
লেখচিত্রে দেখা যাবে সরলরেখা দুটি $(9, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করছে।
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $p = 9, q = 6$।
(e) $p – q = 3$ ; $\frac{p}{5} – \frac{q}{5} = 3$
যাচাই:
২য় সমীকরণ: $\frac{p-q}{5} = 3 \Rightarrow p – q = 15$
এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য নয়।
উত্তর: কোনো সমাধান নেই।
(f) $p – q = 3$ ; $8p – 8q = 5$
যাচাই:
২য় সমীকরণ থেকে পাই $8(p – q) = 5 \Rightarrow p – q = \frac{5}{8}$
এখানে $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{8}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, তাই সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য নয়।
উত্তর: কোনো সমাধান নেই।
5. তথাগত একটি দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ $x + y = 5$ লিখেছে। আমি আর একটি দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ লিখি যাতে দুটি সমীকরণের লেখচিত্র:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x + y = 5$
তুলনা করে পাই: $a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 5$
ধরি, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে: $a_2x + b_2y = c_2$
(a) পরস্পর সমান্তরাল হবে
শর্ত: লেখচিত্র দুটি সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
এখানে $a_1 = 1, b_1 = 1$। তাই আমরা $a_2 = 1, b_2 = 1$ নিতে পারি।
কিন্তু $c_2$ এমন নিতে হবে যেন $\frac{5}{c_2} \neq 1$ হয় (অর্থাৎ $c_2 \neq 5$)।
ধরি, $a_2 = 2, b_2 = 2$ এবং $c_2 = 7$ (যেকোনো সংখ্যা যা 10 নয়)।
তাহলে সমীকরণটি হবে: $2x + 2y = 7$
উদাহরণ উত্তর: $2x + 2y = 7$ বা $x + y = 2$ (এরকম অসংখ্য উত্তর হতে পারে)।
(b) পরস্পরচ্ছেদী হবে
শর্ত: লেখচিত্র দুটি পরস্পরচ্ছেদী হওয়ার শর্ত হলো: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
আমাদের এমন সহগ নিতে হবে যাতে x ও y-এর সহগের অনুপাত সমান না হয়।
ধরি, $a_2 = 2$ এবং $b_2 = 3$। তাহলে $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}$।
ধ্রুবক পদ ($c_2$) যেকোনো কিছু নেওয়া যেতে পারে, যেমন 12।
সমীকরণটি হতে পারে: $2x + 3y = 12$
উদাহরণ উত্তর: $2x + 3y = 12$ বা $x – y = 5$ (এরকম অসংখ্য উত্তর হতে পারে)।
(c) পরস্পর সমাপতিত হবে
শর্ত: লেখচিত্র দুটি সমাপতিত হওয়ার শর্ত হলো: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
অর্থাৎ, দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথম সমীকরণের একটি গুণিতক হবে।
মূল সমীকরণ $x + y = 5$ কে যেকোনো সংখ্যা (যেমন 3) দিয়ে গুণ করে পাই:
$3(x + y) = 3 \times 5 \Rightarrow 3x + 3y = 15$
উদাহরণ উত্তর: $3x + 3y = 15$ বা $2x + 2y = 10$ (এরকম অসংখ্য উত্তর হতে পারে)।
শেয়ার