নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 5.4 তুলনামূলক পদ্ধতি

1. $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 8$ সমীকরণের x-কে y চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

2. $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$ সমীকরণের y-কে x চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

$2(x – y) = 3 \dots \dots (1)$

$5x + 8y = 14 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$2x – 2y = 3$

বা, $2x = 3 + 2y$

বা, $x = \frac{3 + 2y}{2} \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$5x = 14 – 8y$

বা, $x = \frac{14 – 8y}{5} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{3 + 2y}{2} = \frac{14 – 8y}{5}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$5(3 + 2y) = 2(14 – 8y)$

বা, $15 + 10y = 28 – 16y$

বা, $10y + 16y = 28 – 15$

বা, $26y = 13$

বা, $y = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{3 + 2(\frac{1}{2})}{2}$

বা, $x = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = \frac{1}{2}$

যাচাই:

১ম সমীকরণের বামপক্ষ $= 2(2 – \frac{1}{2}) = 2(\frac{3}{2}) = 3 =$ ডানপক্ষ।

২য় সমীকরণের বামপক্ষ $= 5(2) + 8(\frac{1}{2}) = 10 + 4 = 14 =$ ডানপক্ষ।

$\therefore$ সমাধানটি সঠিক।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

$2x + \frac{3}{y} = 5 \dots \dots (1)$

$5x – \frac{2}{y} = 3 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$2x = 5 – \frac{3}{y}$

বা, $x = \frac{1}{2}(5 – \frac{3}{y}) \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$5x = 3 + \frac{2}{y}$

বা, $x = \frac{1}{5}(3 + \frac{2}{y}) \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{1}{2}(5 – \frac{3}{y}) = \frac{1}{5}(3 + \frac{2}{y})$

বা, $\frac{5y – 3}{2y} = \frac{3y + 2}{5y}$

উভয়পক্ষ থেকে হরের $y$ বর্জন করে পাই (যেহেতু $y \neq 0$):

$\frac{5y – 3}{2} = \frac{3y + 2}{5}$

বা, $5(5y – 3) = 2(3y + 2)$

বা, $25y – 15 = 6y + 4$

বা, $25y – 6y = 4 + 15$

বা, $19y = 19$

বা, $y = 1$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = 1$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{1}{2}(5 – \frac{3}{1}) = \frac{1}{2}(2) = 1$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = 1$

যাচাই:

১ম সমীকরণ: $2(1) + \frac{3}{1} = 2 + 3 = 5$ (মিলেছে)।

২য় সমীকরণ: $5(1) – \frac{2}{1} = 5 – 2 = 3$ (মিলেছে)।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \dots \dots (1)$

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$\frac{x}{2} = 1 – \frac{y}{3}$

বা, $\frac{x}{2} = \frac{3 – y}{3}$

বা, $x = \frac{2(3 – y)}{3} \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$\frac{x}{3} = 1 – \frac{y}{2}$

বা, $\frac{x}{3} = \frac{2 – y}{2}$

বা, $x = \frac{3(2 – y)}{2} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{2(3 – y)}{3} = \frac{3(2 – y)}{2}$

বা, $4(3 – y) = 9(2 – y)$

বা, $12 – 4y = 18 – 9y$

বা, $9y – 4y = 18 – 12$

বা, $5y = 6$

বা, $y = \frac{6}{5}$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = \frac{6}{5}$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{2(3 – \frac{6}{5})}{3} = \frac{2(\frac{15 – 6}{5})}{3}$

$= \frac{2 \times \frac{9}{5}}{3} = \frac{18}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{5}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}$

যাচাই:

১ম সমীকরণ: $\frac{6/5}{2} + \frac{6/5}{3} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (মিলেছে)।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি সাজিয়ে পাই:

$4x – 3y = 18 \dots \dots (1)$

$-5x + 4y = -7 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$4x = 18 + 3y$

বা, $x = \frac{18 + 3y}{4} \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$-5x = -7 – 4y$

বা, $5x = 7 + 4y$

বা, $x = \frac{7 + 4y}{5} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{18 + 3y}{4} = \frac{7 + 4y}{5}$

বা, $5(18 + 3y) = 4(7 + 4y)$

বা, $90 + 15y = 28 + 16y$

বা, $90 – 28 = 16y – 15y$

বা, $62 = y$

$\therefore y = 62$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = 62$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{18 + 3(62)}{4} = \frac{18 + 186}{4}$

$= \frac{204}{4} = 51$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 51, y = 62$

যাচাই:

১ম সমীকরণ: $4(51) – 3(62) = 204 – 186 = 18$ (মিলেছে)।

২য় সমীকরণ: $4(62) – 5(51) = 248 – 255 = -7$ (মিলেছে)।

১. তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

$2x + y = 8 \dots \dots (1)$

$2y – 3x = -5 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $y$-কে $x$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই:

$y = 8 – 2x \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে $y$-কে $x$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই:

$2y = 3x – 5$

বা, $y = \frac{3x – 5}{2} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$8 – 2x = \frac{3x – 5}{2}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$2(8 – 2x) = 3x – 5$

বা, $16 – 4x = 3x – 5$

বা, $-4x – 3x = -5 – 16$

বা, $-7x = -21$

বা, $x = \frac{-21}{-7}$

$\therefore x = 3$

$(3)$ নং সমীকরণে $x = 3$ বসিয়ে পাই:

$y = 8 – 2(3)$

বা, $y = 8 – 6$

বা, $y = 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, y = 2$

২. লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:

১ম সমীকরণ ($y = 8 – 2x$) থেকে পাই বিন্দুগুলি:

২য় সমীকরণ ($y = \frac{3x – 5}{2}$) থেকে পাই বিন্দুগুলি:

সিদ্ধান্ত:

ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করলে দেখা যাবে যে, সরলরেখা দুটি পরস্পরকে $(3, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

তুলনামূলক পদ্ধতিতে প্রাপ্ত সমাধানের সাথে এটি মিলে যাচ্ছে।

(যাচাই করা হলো)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:

$3x – 2y = 2 \dots \dots (1)$

$7x + 3y = 43 \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$3x = 2 + 2y$

বা, $x = \frac{2 + 2y}{3} \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে পাই:

$7x = 43 – 3y$

বা, $x = \frac{43 – 3y}{7} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{2 + 2y}{3} = \frac{43 – 3y}{7}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$7(2 + 2y) = 3(43 – 3y)$

বা, $14 + 14y = 129 – 9y$

বা, $14y + 9y = 129 – 14$

বা, $23y = 115$

বা, $y = \frac{115}{23}$

$\therefore y = 5$

$(3)$ নং সমীকরণে $y = 5$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{2 + 2(5)}{3} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 4, y = 5$

সমাধান:

১ম সমীকরণ:

$2x + 3y = 8 \dots \dots (1)$

২য় সমীকরণ থেকে পাই:

$3(x + y) = 7(x – y)$

বা, $3x + 3y = 7x – 7y$

বা, $3y + 7y = 7x – 3x$

বা, $10y = 4x$

বা, $4x = 10y \dots \dots (2)$

$(1)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:

$2x = 8 – 3y$

বা, $x = \frac{8 – 3y}{2} \dots \dots (3)$

$(2)$ নং সমীকরণ থেকে $x$-এর মান বের করি:

$x = \frac{10y}{4} = \frac{5y}{2} \dots \dots (4)$

$(3)$ ও $(4)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{8 – 3y}{2} = \frac{5y}{2}$

উভয়পক্ষ থেকে হরের 2 বর্জন করে পাই:

$8 – 3y = 5y$

বা, $8 = 5y + 3y$

বা, $8y = 8$

বা, $y = 1$

$(4)$ নং সমীকরণে $y = 1$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{5(1)}{2} = \frac{5}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{5}{2}, y = 1$ (বা $x = 2.5, y = 1$)

সমাধান:

১ম সমীকরণ থেকে পাই:

$4(x – y) = 3(y – 1)$

বা, $4x – 4y = 3y – 3$

বা, $4x = 3y + 4y – 3$

বা, $4x = 7y – 3$

বা, $x = \frac{7y – 3}{4} \dots \dots (1)$

২য় সমীকরণ থেকে পাই:

$4x – 5y = 7(x – 7)$

বা, $4x – 5y = 7x – 49$

বা, $49 – 5y = 7x – 4x$

বা, $3x = 49 – 5y$

বা, $x = \frac{49 – 5y}{3} \dots \dots (2)$

$(1)$ ও $(2)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{7y – 3}{4} = \frac{49 – 5y}{3}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$3(7y – 3) = 4(49 – 5y)$

বা, $21y – 9 = 196 – 20y$

বা, $21y + 20y = 196 + 9$

বা, $41y = 205$

বা, $y = \frac{205}{41}$

$\therefore y = 5$

$(1)$ নং সমীকরণে $y = 5$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{7(5) – 3}{4} = \frac{35 – 3}{4} = \frac{32}{4} = 8$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 8, y = 5$

সমাধান:

১ম সমীকরণ থেকে পাই:

$5(x + 1) = 4(y + 1)$

বা, $5x + 5 = 4y + 4$

বা, $5x = 4y + 4 – 5$

বা, $5x = 4y – 1$

বা, $x = \frac{4y – 1}{5} \dots \dots (1)$

২য় সমীকরণ থেকে পাই:

$2(x – 5) = 1(y – 5)$

বা, $2x – 10 = y – 5$

বা, $2x = y – 5 + 10$

বা, $2x = y + 5$

বা, $x = \frac{y + 5}{2} \dots \dots (2)$

$(1)$ ও $(2)$ নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

$\frac{4y – 1}{5} = \frac{y + 5}{2}$

বজ্রগুণন করে পাই:

$2(4y – 1) = 5(y + 5)$

বা, $8y – 2 = 5y + 25$

বা, $8y – 5y = 25 + 2$

বা, $3y = 27$

বা, $y = \frac{27}{3}$

$\therefore y = 9$

$(2)$ নং সমীকরণে $y = 9$ বসিয়ে পাই:

$x = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, y = 9$