নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি -5.3 অপনয়ন
কষে দেখি – ৫.৩ (অপনয়ন পদ্ধতি)
1. নীচের দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সহসমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি:
(a) $8x + 5y – 11 = 0$ ; $3x – 4y – 10 = 0$
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো:
$8x + 5y = 11 \dots \dots (i)$
$3x – 4y = 10 \dots \dots (ii)$
$y$-কে অপনয়ন করার জন্য $(i)$ নং সমীকরণকে 4 দিয়ে এবং $(ii)$ নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে পাই:
$32x + 20y = 44$
$15x – 20y = 50$
——————- (যোগ করে)
$47x = 94$
বা, $x = \frac{94}{47}$
$\therefore x = 2$
$(i)$ নং সমীকরণে $x = 2$ বসিয়ে পাই:
$8(2) + 5y = 11$
বা, $16 + 5y = 11$
বা, $5y = 11 – 16$
বা, $5y = -5$
বা, $y = -1$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = -1$
লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:
১ম সমীকরণ থেকে পাই: $5y = 11 – 8x \Rightarrow y = \frac{11 – 8x}{5}$
লেখচিত্রের বিন্দুগুলি: $(2, -1), (-3, 7), (7, -9)$
২য় সমীকরণ থেকে পাই: $4y = 3x – 10 \Rightarrow y = \frac{3x – 10}{4}$
লেখচিত্রের বিন্দুগুলি: $(2, -1), (6, 2), (-2, -4)$
ছক কাগজে বিন্দুগুলি স্থাপন করলে দেখা যাবে যে, সরলরেখা দুটি পরস্পরকে $(2, -1)$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ, নির্ণেয় সমাধান সঠিক।
(b) $2x + 3y – 7 = 0$ ; $3x + 2y – 8 = 0$
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো:
$2x + 3y = 7 \dots \dots (i)$
$3x + 2y = 8 \dots \dots (ii)$
$x$-কে অপনয়ন করার জন্য $(i)$ নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং $(ii)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$6x + 9y = 21$
$6x + 4y = 16$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
——————-
$5y = 5$
বা, $y = 1$
$(i)$ নং সমীকরণে $y = 1$ বসিয়ে পাই:
$2x + 3(1) = 7$
বা, $2x + 3 = 7$
বা, $2x = 7 – 3$
বা, $2x = 4$
বা, $x = 2$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = 1$
লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:
১ম সমীকরণ থেকে পাই: $y = \frac{7 – 2x}{3}$
লেখচিত্রের বিন্দুগুলি: $(2, 1), (-1, 3), (5, -1)$
২য় সমীকরণ থেকে পাই: $y = \frac{8 – 3x}{2}$
লেখচিত্রের বিন্দুগুলি: $(2, 1), (0, 4), (4, -2)$
ছক কাগজে সরলরেখা দুটি পরস্পরকে $(2, 1)$ বিন্দুতে ছেদ করে, যা আমাদের সমাধানের সাথে মিলে যায়।
2. $7x – 5y + 2 = 0$ সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করে $2x + 15y + 3 = 0$ সমীকরণের সঙ্গে যোগ করব যাতে $y$ চলটিকে অপনীত করতে পারি।
সমাধান:
১ম সমীকরণ: $7x – 5y + 2 = 0$
২য় সমীকরণ: $2x + 15y + 3 = 0$
এখানে ২য় সমীকরণে $y$-এর সহগ হলো $+15$।
১ম সমীকরণে $y$-এর সহগ হলো $-5$।
$y$-কে অপনীত করতে হলে, দুটি সমীকরণে $y$-এর সহগ সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হতে হবে।
যদি আমরা ১ম সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করি, তবে $y$-এর সহগ হবে $3 \times (-5) = -15$।
তখন, $-15y$ এবং ২য় সমীকরণের $+15y$ যোগ করলে $y$ অপনীত হবে।
উত্তর: সমীকরণটিকে 3 দিয়ে গুণ করতে হবে।
3. $4x – 3y = 16$ ও $6x + 5y = 62$ উভয় সমীকরণকে সবথেকে ছোটো কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের $x$-এর সহগ সমান হবে তা লিখি।
সমাধান:
১ম সমীকরণ: $4x – 3y = 16$ (এখানে $x$-এর সহগ 4)
২য় সমীকরণ: $6x + 5y = 62$ (এখানে $x$-এর সহগ 6)
$x$-এর সহগ সমান করতে হলে আমাদের 4 এবং 6-এর ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয় করতে হবে।
4 ও 6-এর ল.সা.গু. = 12
১ম সমীকরণের $x$-এর সহগ 4 কে 12 করতে হলে গুণ করতে হবে: $\frac{12}{4} = 3$ দিয়ে।
২য় সমীকরণের $x$-এর সহগ 6 কে 12 করতে হলে গুণ করতে হবে: $\frac{12}{6} = 2$ দিয়ে।
উত্তর: ১ম সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং ২য় সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করতে হবে।
4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সহসমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি:
(i) $3x + 2y = 6$ ; $2x + 3y = 17$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$3x + 2y = 6 \dots \dots (1)$
$2x + 3y = 17 \dots \dots (2)$
$(1)$ নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$9x + 6y = 18$
$4x + 6y = 34$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
——————-
$5x = -16$
বা, $x = -\frac{16}{5}$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $x = -\frac{16}{5}$ বসিয়ে পাই:
$3(-\frac{16}{5}) + 2y = 6$
বা, $-\frac{48}{5} + 2y = 6$
বা, $2y = 6 + \frac{48}{5}$
বা, $2y = \frac{30 + 48}{5}$
বা, $2y = \frac{78}{5}$
বা, $y = \frac{78}{10} = \frac{39}{5}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = -\frac{16}{5}, y = \frac{39}{5}$ (বা $x = -3.2, y = 7.8$)
(ii) $2x + 3y = 32$ ; $11y – 9x = 3$
সমাধান:
সমীকরণ দুটি সাজিয়ে পাই:
$2x + 3y = 32 \dots \dots (1)$
$-9x + 11y = 3 \dots \dots (2)$
$x$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 9 দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$18x + 27y = 288$
$-18x + 22y = 6$
——————- (যোগ করে)
$49y = 294$
বা, $y = \frac{294}{49}$
বা, $y = 6$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $y = 6$ বসিয়ে পাই:
$2x + 3(6) = 32$
বা, $2x + 18 = 32$
বা, $2x = 32 – 18$
বা, $2x = 14$
বা, $x = 7$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, y = 6$
(iii) $x + y = 48$ ; $x + 4 = \frac{5}{2}(y + 4)$
সমাধান:
১ম সমীকরণ: $x + y = 48 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণকে সরল করে পাই:
$2(x + 4) = 5(y + 4)$
বা, $2x + 8 = 5y + 20$
বা, $2x – 5y = 20 – 8$
বা, $2x – 5y = 12 \dots \dots (2)$
$x$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণের সাথে বিয়োগ করি:
$2x + 2y = 96$
$2x – 5y = 12$
(-) (+) (-)
——————-
$7y = 84$
বা, $y = \frac{84}{7}$
বা, $y = 12$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $y = 12$ বসিয়ে পাই:
$x + 12 = 48$
বা, $x = 48 – 12$
বা, $x = 36$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 36, y = 12$
(iv) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 8$ ; $\frac{5x}{4} – 3y = -3$
সমাধান:
১ম সমীকরণকে সরল করি:
$\frac{3x + 2y}{6} = 8$
বা, $3x + 2y = 48 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণকে সরল করি:
$\frac{5x – 12y}{4} = -3$
বা, $5x – 12y = -12 \dots \dots (2)$
$y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 6 দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণের সাথে যোগ করি:
$18x + 12y = 288$
$5x – 12y = -12$
——————-
$23x = 276$
বা, $x = \frac{276}{23}$
বা, $x = 12$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $x = 12$ বসিয়ে পাই:
$3(12) + 2y = 48$
বা, $36 + 2y = 48$
বা, $2y = 48 – 36$
বা, $2y = 12$
বা, $y = 6$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 12, y = 6$
(v) $3x – \frac{2}{y} = 5$ ; $x + \frac{4}{y} = 4$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$3x – \frac{2}{y} = 5 \dots \dots (1)$
$x + \frac{4}{y} = 4 \dots \dots (2)$
এখানে $y$ চলরাশিটি হরে আছে। আমরা সরাসরি অপনয়ন করতে পারি।
$y$-যুক্ত পদটি অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণের সাথে যোগ করি:
$6x – \frac{4}{y} = 10$
$x + \frac{4}{y} = 4$
——————- (যোগ করে)
$7x = 14$
বা, $x = \frac{14}{7}$
বা, $x = 2$
এখন $(2)$ নং সমীকরণে $x = 2$ বসিয়ে পাই:
$2 + \frac{4}{y} = 4$
বা, $\frac{4}{y} = 4 – 2$
বা, $\frac{4}{y} = 2$
বা, $2y = 4$
বা, $y = 2$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 2, y = 2$
(vi) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ ; $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$
সমাধান:
১ম সমীকরণকে সরল করে পাই (ল.সা.গু 6):
$\frac{3x + 2y}{6} = 1 \Rightarrow 3x + 2y = 6 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণকে সরল করে পাই (ল.সা.গু 6):
$\frac{2x + 3y}{6} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 6 \dots \dots (2)$
$y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$9x + 6y = 18$
$4x + 6y = 12$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
——————-
$5x = 6$
বা, $x = \frac{6}{5}$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $x = \frac{6}{5}$ বসিয়ে পাই:
$3(\frac{6}{5}) + 2y = 6$
বা, $\frac{18}{5} + 2y = 6$
বা, $2y = 6 – \frac{18}{5}$
বা, $2y = \frac{30 – 18}{5}$
বা, $2y = \frac{12}{5}$
বা, $y = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}$ (বা $x = 1.2, y = 1.2$)
(vii) $\frac{x+y}{2} + \frac{3x-5y}{4} = 2$ ; $\frac{x}{14} + \frac{y}{18} = 1$
সমাধান:
১ম সমীকরণকে সরল করি:
উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে গুণ করে পাই,
$2(x + y) + (3x – 5y) = 8$
বা, $2x + 2y + 3x – 5y = 8$
বা, $5x – 3y = 8 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণকে সরল করি:
14 এবং 18 এর ল.সা.গু 126 দিয়ে গুণ করে পাই,
$\frac{x}{14} \times 126 + \frac{y}{18} \times 126 = 1 \times 126$
বা, $9x + 7y = 126 \dots \dots (2)$
$y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 7 দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই:
$35x – 21y = 56$
$27x + 21y = 378$
——————- (যোগ করে)
$62x = 434$
বা, $x = \frac{434}{62}$
বা, $x = 7$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $x = 7$ বসিয়ে পাই:
$5(7) – 3y = 8$
বা, $35 – 3y = 8$
বা, $-3y = 8 – 35$
বা, $-3y = -27$
বা, $y = \frac{-27}{-3}$
বা, $y = 9$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 7, y = 9$
(viii) $\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5}$ ; $\frac{xy}{x-y} = \frac{1}{9}$
সমাধান:
সমীকরণ দুটিকে উল্টে পাই (Reciprocal):
১ম সমীকরণ থেকে: $\frac{x+y}{xy} = 5 \Rightarrow \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 5 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণ থেকে: $\frac{x-y}{xy} = 9 \Rightarrow \frac{x}{xy} – \frac{y}{xy} = 9 \Rightarrow \frac{1}{y} – \frac{1}{x} = 9 \dots \dots (2)$
এখন $(1)$ ও $(2)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}) + (\frac{1}{y} – \frac{1}{x}) = 5 + 9$
বা, $\frac{2}{y} = 14$
বা, $14y = 2$
বা, $y = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
আবার $(1)$ নং সমীকরণ থেকে $(2)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}) – (\frac{1}{y} – \frac{1}{x}) = 5 – 9$
বা, $\frac{2}{x} = -4$
বা, $-4x = 2$
বা, $x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = -\frac{1}{2}, y = \frac{1}{7}$
(ix) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 3$ ; $\frac{2}{x-1} + \frac{3}{y-2} = 5$
সমাধান:
ধরি, $\frac{1}{x-1} = u$ এবং $\frac{1}{y-2} = v$
তাহলে সমীকরণ দুটি দাঁড়ায়:
$u + v = 3 \dots \dots (1)$
$2u + 3v = 5 \dots \dots (2)$
$u$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি:
$2u + 2v = 6$
$2u + 3v = 5$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
——————-
$-v = 1$
বা, $v = -1$
$(1)$ নং সমীকরণে $v = -1$ বসিয়ে পাই:
$u – 1 = 3$
বা, $u = 3 + 1$
বা, $u = 4$
এখন $x$ ও $y$-এর মান নির্ণয় করি:
$\frac{1}{x-1} = 4 \Rightarrow 4x – 4 = 1 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$
$\frac{1}{y-2} = -1 \Rightarrow y – 2 = -1 \Rightarrow y = 2 – 1 \Rightarrow y = 1$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{5}{4}, y = 1$
(x) $\frac{14}{x+y} + \frac{3}{x-y} = 5$ ; $\frac{21}{x+y} – \frac{1}{x-y} = 2$
সমাধান:
ধরি, $\frac{1}{x+y} = u$ এবং $\frac{1}{x-y} = v$
সমীকরণ দুটি:
$14u + 3v = 5 \dots \dots (1)$
$21u – v = 2 \dots \dots (2)$
$v$ অপনয়ন করার জন্য $(2)$ নং সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে $(1)$ নং সমীকরণের সাথে যোগ করি:
$14u + 3v = 5$
$63u – 3v = 6$
——————- (যোগ করে)
$77u = 11$
বা, $u = \frac{11}{77} = \frac{1}{7}$
$(2)$ নং সমীকরণে $u = \frac{1}{7}$ বসিয়ে পাই:
$21(\frac{1}{7}) – v = 2$
বা, $3 – v = 2$
বা, $-v = 2 – 3$
বা, $-v = -1 \Rightarrow v = 1$
এখন $x$ ও $y$-এর জন্য নতুন সমীকরণ গঠন করি:
$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{7} \Rightarrow x + y = 7 \dots \dots (3)$
$\frac{1}{x-y} = 1 \Rightarrow x – y = 1 \dots \dots (4)$
$(3)$ ও $(4)$ যোগ করে পাই:
$2x = 8 \Rightarrow x = 4$
$(3)$ থেকে $(4)$ বিয়োগ করে পাই:
$2y = 6 \Rightarrow y = 3$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 4, y = 3$
(xi) $\frac{x+y}{5} – \frac{x-y}{4} = \frac{7}{20}$ ; $\frac{x+y}{3} – \frac{x-y}{2} + \frac{5}{6} = 0$
সমাধান:
১ম সমীকরণকে সরল করি (20 দিয়ে গুণ করে):
$4(x+y) – 5(x-y) = 7$
বা, $4x + 4y – 5x + 5y = 7$
বা, $-x + 9y = 7 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণকে সরল করি (6 দিয়ে গুণ করে):
$2(x+y) – 3(x-y) + 5 = 0$
বা, $2x + 2y – 3x + 3y = -5$
বা, $-x + 5y = -5 \dots \dots (2)$
$x$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণ থেকে $(2)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করি:
$-x + 9y = 7$
$-x + 5y = -5$
(+) (-) (+)
——————-
$4y = 12$
বা, $y = 3$
$(2)$ নং সমীকরণে $y = 3$ বসিয়ে পাই:
$-x + 5(3) = -5$
বা, $-x + 15 = -5$
বা, $-x = -5 – 15$
বা, $-x = -20$
বা, $x = 20$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 20, y = 3$
(xii) $x + y = a + b$ ; $ax – by = a^2 – b^2$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$x + y = a + b \dots \dots (1)$
$ax – by = a^2 – b^2 \dots \dots (2)$
$y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে $b$ দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণের সাথে যোগ করি:
$bx + by = ab + b^2$ [$(1) \times b$]
$ax – by = a^2 – b^2$
—————————- (যোগ করে)
$ax + bx = a^2 + ab$
বা, $x(a + b) = a(a + b)$
বা, $x = a$ [যেহেতু $a+b \neq 0$]
$(1)$ নং সমীকরণে $x = a$ বসিয়ে পাই:
$a + y = a + b$
বা, $y = a + b – a$
বা, $y = b$
নির্ণেয় সমাধান: $x = a, y = b$
(xiii) $\frac{x+a}{a} = \frac{y+b}{b}$ ; $ax – by = a^2 – b^2$
সমাধান:
১ম সমীকরণকে সরল করি:
$b(x+a) = a(y+b)$
বা, $bx + ab = ay + ab$
বা, $bx – ay = 0 \dots \dots (1)$
২য় সমীকরণ:
$ax – by = a^2 – b^2 \dots \dots (2)$
$y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে $b$ দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে $a$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$b^2x – aby = 0$
$a^2x – aby = a(a^2 – b^2)$
(-) (+) (-) (বিয়োগ করে)
————————-
$(b^2 – a^2)x = -a(a^2 – b^2)$
বা, $-(a^2 – b^2)x = -a(a^2 – b^2)$
বা, $x = a$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $x = a$ বসিয়ে পাই:
$b(a) – ay = 0$
বা, $ab = ay$
বা, $y = b$
নির্ণেয় সমাধান: $x = a, y = b$
(xiv) $ax + by = c$ ; $a^2x + b^2y = c^2$
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
$ax + by = c \dots \dots (1)$
$a^2x + b^2y = c^2 \dots \dots (2)$
$x$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে $a$ দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি:
$a^2x + aby = ac$
$a^2x + b^2y = c^2$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
————————-
$aby – b^2y = ac – c^2$
বা, $y(ab – b^2) = c(a – c)$
বা, $y \cdot b(a – b) = c(a – c)$
বা, $y = \frac{c(a – c)}{b(a – b)}$
আবার, $y$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে $b$ দিয়ে গুণ করে $(2)$ নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি:
$abx + b^2y = bc$
$a^2x + b^2y = c^2$
(-) (-) (-) (বিয়োগ করে)
————————-
$abx – a^2x = bc – c^2$
বা, $x(ab – a^2) = c(b – c)$
বা, $x \cdot a(b – a) = c(b – c)$
বা, $-x \cdot a(a – b) = -c(c – b)$
বা, $x = \frac{c(c – b)}{a(a – b)}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{c(c-b)}{a(a-b)}, y = \frac{c(a-c)}{b(a-b)}$
(xv) $ax + by = 1$ ; $bx + ay = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} – 1$
সমাধান:
২য় সমীকরণের ডানপক্ষ সরল করি:
$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} – 1 = \frac{a^2 + 2ab + b^2 – (a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{2ab}{a^2 + b^2}$
সুতরাং সমীকরণ দুটি:
$ax + by = 1 \dots \dots (1)$
$bx + ay = \frac{2ab}{a^2 + b^2} \dots \dots (2)$
$x$ অপনয়ন করার জন্য $(1)$ নং সমীকরণকে $b$ দিয়ে এবং $(2)$ নং সমীকরণকে $a$ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করি:
$abx + b^2y = b$
$abx + a^2y = \frac{2a^2b}{a^2 + b^2}$
(-) (-) (-)
————————-
$(b^2 – a^2)y = b – \frac{2a^2b}{a^2 + b^2}$
বা, $-(a^2 – b^2)y = \frac{a^2b + b^3 – 2a^2b}{a^2 + b^2}$
বা, $-(a^2 – b^2)y = \frac{b^3 – a^2b}{a^2 + b^2} = \frac{-b(a^2 – b^2)}{a^2 + b^2}$
বা, $y = \frac{b}{a^2 + b^2}$
এখন $(1)$ নং সমীকরণে $y$-এর মান বসাই:
$ax + b(\frac{b}{a^2 + b^2}) = 1$
বা, $ax = 1 – \frac{b^2}{a^2 + b^2}$
বা, $ax = \frac{a^2 + b^2 – b^2}{a^2 + b^2}$
বা, $ax = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$
বা, $x = \frac{a}{a^2 + b^2}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{a}{a^2 + b^2}, y = \frac{b}{a^2 + b^2}$
(xvi) $(7x – y – 6)^2 + (14x + 2y – 16)^2 = 0$
সমাধান:
আমরা জানি, বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি পৃথকভাবে শূন্য হবে।
$\therefore 7x – y – 6 = 0 \Rightarrow 7x – y = 6 \dots \dots (1)$
এবং $14x + 2y – 16 = 0 \Rightarrow 14x + 2y = 16$
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে 2 কমন নিয়ে পাই:
$7x + y = 8 \dots \dots (2)$
এখন $(1)$ ও $(2)$ নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$7x – y = 6$
$7x + y = 8$
——————-
$14x = 14$
বা, $x = 1$
$(2)$ নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই:
$7(1) + y = 8$
বা, $7 + y = 8$
বা, $y = 8 – 7$
বা, $y = 1$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, y = 1$
শেয়ার