নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি -7.3 বহুপদী সংখ্যামালা

সমাধান:

ভাজক বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয় করি।
$x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

এখন, প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x)$-এ $x = 2$ বসিয়ে পাই:

$f(2) = (2)^3 – 3(2)^2 + 2(2) + 5$
$= 8 – 3(4) + 4 + 5$
$= 8 – 12 + 4 + 5$
$= 17 – 12$
$= 5$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 5

সমাধান:

ভাজক বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয় করি।
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

এখন, প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x)$-এ $x = -2$ বসিয়ে পাই:

$f(-2) = (-2)^3 – 3(-2)^2 + 2(-2) + 5$
$= -8 – 3(4) – 4 + 5$
$= -8 – 12 – 4 + 5$
$= -24 + 5$
$= -19$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ -19

সমাধান:

ভাজক বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয় করি।
$2x – 1 = 0$
বা, $2x = 1$
বা, $x = \frac{1}{2}$

এখন, $f(x)$-এ $x = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 – 3(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 5$
$= \frac{1}{8} – 3(\frac{1}{4}) + 1 + 5$
$= \frac{1}{8} – \frac{3}{4} + 6$
$= \frac{1 – 6 + 48}{8}$ [ ল.সা.গু. 8 ]
$= \frac{49 – 6}{8}$
$= \frac{43}{8}$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ $\frac{43}{8}$ বা $5\frac{3}{8}$

সমাধান:

ভাজক বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয় করি।
$2x + 1 = 0$
বা, $2x = -1$
বা, $x = -\frac{1}{2}$

এখন, $f(x)$-এ $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:

$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 – 3(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 5$
$= -\frac{1}{8} – 3(\frac{1}{4}) – 1 + 5$
$= -\frac{1}{8} – \frac{3}{4} + 4$
$= \frac{-1 – 6 + 32}{8}$ [ ল.সা.গু. 8 ]
$= \frac{32 – 7}{8}$
$= \frac{25}{8}$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ $\frac{25}{8}$ বা $3\frac{1}{8}$

সমাধান:

প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x) = x^3 – 6x^2 + 13x + 60$।

এখন, $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$f(1) = (1)^3 – 6(1)^2 + 13(1) + 60$
$= 1 – 6(1) + 13 + 60$
$= 1 – 6 + 13 + 60$
$= 74 – 6$
$= 68$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 68

সমাধান:

প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x + 50$।

এখন, $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$f(1) = (1)^3 – 3(1)^2 + 4(1) + 50$
$= 1 – 3(1) + 4 + 50$
$= 1 – 3 + 4 + 50$
$= 55 – 3$
$= 52$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 52

সমাধান:

প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x) = 4x^3 + 4x^2 – x – 1$।

এখন, $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$f(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 – 1 – 1$
$= 4(1) + 4(1) – 1 – 1$
$= 4 + 4 – 2$
$= 8 – 2$
$= 6$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 6

সমাধান:

প্রদত্ত বহুপদী সংখ্যামালা $f(x) = 11x^3 – 12x^2 – x + 7$।

এখন, $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$f(1) = 11(1)^3 – 12(1)^2 – 1 + 7$
$= 11(1) – 12(1) – 1 + 7$
$= 11 – 12 – 1 + 7$
$= 18 – 13$
$= 5$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 5

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 8$

ভাজক $(x – 3)$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

এখন, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী ভাগশেষ হবে $f(3)$।

$f(3) = (3)^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 8$
$= 27 – 6(9) + 27 – 8$
$= 27 – 54 + 27 – 8$
$= 54 – 54 – 8$
$= 0 – 8$
$= -8$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ -8

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – ax^2 + 2x – a$

ভাজক $(x – a)$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$x – a = 0 \Rightarrow x = a$

এখন, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী ভাগশেষ হবে $f(a)$।

$f(a) = (a)^3 – a(a)^2 + 2(a) – a$
$= a^3 – a^3 + 2a – a$
$= 0 + a$
$= a$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ a

সমাধান:

যদি $p(x)$ বহুপদী সংখ্যামালাটি $(2x + 1)$-এর গুণিতক হয়, তবে $(2x + 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে।

ভাজক $(2x + 1)$-এর শূন্য নির্ণয় করি:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

এখন, $p(x)$-এ $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি:

$p(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 – (-\frac{1}{2}) – 1$
$= 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} – 1$
$= -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} – 1$
$= (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (1 – 1)$
$= 0 + 0$
$= 0$

যেহেতু ভাগশেষ শূন্য হয়েছে, তাই $p(x)$ রাশিটি $(2x + 1)$ দ্বারা বিভাজ্য।

উত্তর: হ্যাঁ, $p(x)$ বহুপদী সংখ্যামালাটি $(2x+1)$-এর গুণিতক।

সমাধান:

ধরি, $f(x) = ax^3 + 3x^2 – 3$ এবং $g(x) = 2x^3 – 5x + a$।

ভাজক $(x – 4)$-এর শূন্য হলো $x = 4$।

১ম ক্ষেত্রে ভাগশেষ:

$R_1 = f(4) = a(4)^3 + 3(4)^2 – 3$
$= 64a + 3(16) – 3$
$= 64a + 48 – 3$
$= 64a + 45$

২য় ক্ষেত্রে ভাগশেষ:

$R_2 = g(4) = 2(4)^3 – 5(4) + a$
$= 2(64) – 20 + a$
$= 128 – 20 + a$
$= 108 + a$

প্রশ্নানুসারে, উভয় ভাগশেষ সমান ($R_1 = R_2$):

$64a + 45 = 108 + a$
বা, $64a – a = 108 – 45$
বা, $63a = 63$
বা, $a = \frac{63}{63}$
$\therefore a = 1$

উত্তর: a-এর নির্ণেয় মান 1

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 + 2x^2 – px – 7$ এবং $g(x) = x^3 + px^2 – 12x + 6$।

১ম ক্ষেত্রে: ভাজক $(x + 1)$-এর শূন্য হলো $x = -1$।
ভাগশেষ $R_1 = f(-1)$
$= (-1)^3 + 2(-1)^2 – p(-1) – 7$
$= -1 + 2 + p – 7$
$= p – 6$

২য় ক্ষেত্রে: ভাজক $(x – 2)$-এর শূন্য হলো $x = 2$।
ভাগশেষ $R_2 = g(2)$
$= (2)^3 + p(2)^2 – 12(2) + 6$
$= 8 + 4p – 24 + 6$
$= 4p – 10$

শর্তানুসারে:
$2R_1 + R_2 = 6$
বা, $2(p – 6) + (4p – 10) = 6$
বা, $2p – 12 + 4p – 10 = 6$
বা, $6p – 22 = 6$
বা, $6p = 6 + 22$
বা, $6p = 28$
বা, $p = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$

উত্তর: $p$-এর নির্ণেয় মান $\frac{14}{3}$ বা $4\frac{2}{3}$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – ax + b$

১ম শর্তানুসারে: $(x – 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 5।
$\therefore f(1) = 5$
বা, $(1)^4 – 2(1)^3 + 3(1)^2 – a(1) + b = 5$
বা, $1 – 2 + 3 – a + b = 5$
বা, $2 – a + b = 5$
বা, $-a + b = 3 \dots \dots (i)$

২য় শর্তানুসারে: $(x + 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 19।
$\therefore f(-1) = 19$
বা, $(-1)^4 – 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – a(-1) + b = 19$
বা, $1 + 2 + 3 + a + b = 19$
বা, $6 + a + b = 19$
বা, $a + b = 13 \dots \dots (ii)$

সমীকরণ সমাধান:
$(i) + (ii)$ করে পাই:
$(-a + b) + (a + b) = 3 + 13$
বা, $2b = 16 \Rightarrow b = 8$

$(ii)$ নং সমীকরণে $b = 8$ বসিয়ে পাই:
$a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5$

$\therefore$ বহুপদী সংখ্যামালাটি হলো: $f(x) = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 5x + 8$

নির্ণেয় ভাগশেষ: $(x + 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(-2)$।
$f(-2) = (-2)^4 – 2(-2)^3 + 3(-2)^2 – 5(-2) + 8$
$= 16 – 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$= 16 + 16 + 12 + 10 + 8$
$= 62$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ 62

সমাধান:

প্রদত্ত, $f(x) = \frac{a(x-b)}{a-b} + \frac{b(x-a)}{b-a}$

ধাপ ১: $f(a)$ ও $f(b)$ নির্ণয়
$f(a) = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{b(a-a)}{b-a} = a + 0 = a$
$f(b) = \frac{a(b-b)}{a-b} + \frac{b(b-a)}{b-a} = 0 + b = b$

$\therefore$ বামপক্ষ $= f(a) + f(b) = a + b$

ধাপ ২: $f(a+b)$ নির্ণয়
$f(a+b) = \frac{a(a+b-b)}{a-b} + \frac{b(a+b-a)}{b-a}$
$= \frac{a(a)}{a-b} + \frac{b(b)}{b-a}$
$= \frac{a^2}{a-b} + \frac{b^2}{-(a-b)}$ [যেহেতু $b-a = -(a-b)$]
$= \frac{a^2}{a-b} – \frac{b^2}{a-b}$
$= \frac{a^2 – b^2}{a-b}$
$= \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$
$= a + b$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

সমাধান:

প্রদত্ত, $f(x) = ax + b$

১) $f(0) = 3$
$\therefore a(0) + b = 3$
বা, $0 + b = 3$
$\therefore b = 3$

২) $f(2) = 5$
$\therefore a(2) + b = 5$
বা, $2a + 3 = 5$ [ $b$-এর মান বসিয়ে ]
বা, $2a = 5 – 3$
বা, $2a = 2$
$\therefore a = 1$

উত্তর: $a = 1$ এবং $b = 3$

সমাধান:

প্রদত্ত, $f(x) = ax^2 + bx + c$

১ম শর্ত: $f(0) = 2$
$a(0)^2 + b(0) + c = 2$
$\therefore c = 2$

২য় শর্ত: $f(1) = 1$
$a(1)^2 + b(1) + c = 1$
বা, $a + b + 2 = 1$ [ $c$-এর মান বসিয়ে ]
বা, $a + b = -1 \dots \dots (i)$

৩য় শর্ত: $f(4) = 6$
$a(4)^2 + b(4) + c = 6$
বা, $16a + 4b + 2 = 6$
বা, $16a + 4b = 4$
বা, $4a + b = 1 \dots \dots (ii)$ [ 4 দ্বারা ভাগ করে ]

সমীকরণ সমাধান:
$(ii)$ নং থেকে $(i)$ নং বিয়োগ করে পাই:
$(4a + b) – (a + b) = 1 – (-1)$
বা, $3a = 2$
$\therefore a = \frac{2}{3}$

$(i)$ নং সমীকরণে $a$-এর মান বসিয়ে পাই:
$\frac{2}{3} + b = -1$
বা, $b = -1 – \frac{2}{3}$
বা, $b = \frac{-3-2}{3}$
$\therefore b = -\frac{5}{3}$

উত্তর: $a = \frac{2}{3}, b = -\frac{5}{3}, c = 2$

সঠিক উত্তর: (c) $\sqrt{2}x^2 – \sqrt{3}x + 6$

ব্যাখ্যা:
(a) $x + 2x^{-1} + 3$: এখানে চলের সূচক ঋণাত্মক (-1), তাই এটি বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(b) এখানে চলের সূচক ভগ্নাংশ ($\frac{1}{2}$), তাই এটিও বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(c) এখানে চলের সূচকগুলি (2, 1, 0) অখণ্ড সংখ্যা এবং একটিই চলরাশি ($x$) আছে।
(d) এখানে দুটি চলরাশি ($x, y$) আছে।

উত্তর: (c)

সঠিক উত্তর: (a) $x – 1$

ব্যাখ্যা:
(a) $x – 1$: এখানে চলের সূচক 1 ও 0 (অখণ্ড সংখ্যা)। এটি বহুপদী সংখ্যামালা।
(b) এটি একটি মূলদ বীজগাণিতিক সংখ্যামালা, বহুপদী নয়।
(c) $x^2 – 2x^{-2} + 5$: চলের সূচক ঋণাত্মক।
(d) সরল করলে $|x|$ আসে, যা বহুপদী নয়।

উত্তর: (a)

সঠিক উত্তর: (b) $x + 1$

ব্যাখ্যা:
রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা 1 হতে হয়।
(a) মাত্রা 2 (দ্বিঘাত)।
(b) $x^1 + 1$: মাত্রা 1 (রৈখিক)।
(c) মাত্রা 2 (দ্বিঘাত)।
(d) বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

উত্তর: (b)

সঠিক উত্তর: (d) $x^2 + 5x + 6$

ব্যাখ্যা:
দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালার সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা 2 হতে হয়।
(a) বহুপদী নয়।
(b) ত্রিঘাত (মাত্রা 3)।
(c) ত্রিঘাত (মাত্রা 3)।
(d) মাত্রা 2, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

উত্তর: (d)

সঠিক উত্তর: (d) 0

ব্যাখ্যা:
$\sqrt{3}$ একটি অশূন্য ধ্রুবক বহুপদী সংখ্যামালা (Non-zero constant polynomial)।
একে $\sqrt{3} \cdot x^0$ আকারে লেখা যায়।
তাই এর মাত্রা 0।

উত্তর: (d)

সমাধান:

বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য নির্ণয়ের জন্য আমরা পাই:

$p(x) = 0$

বা, $2x – 3 = 0$

বা, $2x = 3$

$\therefore x = \frac{3}{2}$

উত্তর: বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য হলো $\frac{3}{2}$

সমাধান:

প্রদত্ত, $p(x) = x + 4$

সুতরাং, $p(-x) = (-x) + 4 = -x + 4$

এখন, $p(x) + p(-x)$

$= (x + 4) + (-x + 4)$

$= x + 4 – x + 4$

$= 8$

উত্তর: নির্ণেয় মান 8

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x – 3$

ভাজক $x$-এর শূন্য হলো $0$ (কারণ $x = 0$)।

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, ভাগশেষ হবে $f(0)$।

এখন, $x = 0$ বসিয়ে পাই:

$f(0) = (0)^3 + 4(0)^2 + 4(0) – 3$

$= 0 + 0 + 0 – 3$

$= -3$

উত্তর: নির্ণেয় ভাগশেষ -3

সমাধান:

প্রদত্ত অভেদটি হলো:

$(3x – 1)^7 = a_7x^7 + a_6x^6 + a_5x^5 + \dots + a_0$

উভয়পক্ষে $x = 1$ বসিয়ে পাই:

$(3 \times 1 – 1)^7 = a_7(1)^7 + a_6(1)^6 + \dots + a_0$

বা, $(3 – 1)^7 = a_7 + a_6 + \dots + a_0$

বা, $(2)^7 = a_7 + a_6 + \dots + a_0$

বা, $128 = a_7 + a_6 + a_5 + \dots + a_0$

$\therefore a_7 + a_6 + a_5 + \dots + a_0 = 128$

উত্তর: নির্ণেয় মান 128