নবম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 8.1 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – 3x + 2$

এখন $x = 1$ বসালে পাই,
$f(1) = (1)^3 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0$
যেহেতু $f(1) = 0$, তাই $(x – 1)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$x^3 – 3x + 2$
$= x^3 – x^2 + x^2 – x – 2x + 2$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(x – 1) + x(x – 1) – 2(x – 1)$
$= (x – 1)(x^2 + x – 2)$

এখন দ্বিতীয় অংশ $x^2 + x – 2$-কে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ (Middle Term Factor) করে পাই:

$(x – 1)(x^2 + 2x – x – 2)$
$= (x – 1)\{x(x + 2) – 1(x + 2)\}$
$= (x – 1)(x + 2)(x – 1)$
$= (x – 1)^2(x + 2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 1)(x – 1)(x + 2)$ বা $(x – 1)^2(x + 2)$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 + 2x + 3$

এখন $x = -1$ বসালে পাই,
$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 – 2 + 3 = -3 + 3 = 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই $(x + 1)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$x^3 + 2x + 3$
$= x^3 + x^2 – x^2 – x + 3x + 3$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(x + 1) – x(x + 1) + 3(x + 1)$
$= (x + 1)(x^2 – x + 3)$

(এখানে $x^2 – x + 3$ রাশিটিকে আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + 1)(x^2 – x + 3)$

সমাধান:

ধরি, $f(a) = a^3 – 12a – 16$

এখন $a = -2$ বসালে পাই,
$f(-2) = (-2)^3 – 12(-2) – 16 = -8 + 24 – 16 = 24 – 24 = 0$
যেহেতু $f(-2) = 0$, তাই $(a + 2)$ হলো $f(a)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$a^3 – 12a – 16$
$= a^3 + 2a^2 – 2a^2 – 4a – 8a – 16$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= a^2(a + 2) – 2a(a + 2) – 8(a + 2)$
$= (a + 2)(a^2 – 2a – 8)$

এখন দ্বিতীয় অংশ $a^2 – 2a – 8$-কে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ করে পাই:

$(a + 2)(a^2 – 4a + 2a – 8)$
$= (a + 2)\{a(a – 4) + 2(a – 4)\}$
$= (a + 2)(a – 4)(a + 2)$
$= (a + 2)^2(a – 4)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + 2)(a + 2)(a – 4)$ বা $(a + 2)^2(a – 4)$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – 6x + 4$

এখন $x = 2$ বসালে পাই,
$f(2) = (2)^3 – 6(2) + 4 = 8 – 12 + 4 = 12 – 12 = 0$
যেহেতু $f(2) = 0$, তাই $(x – 2)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$x^3 – 6x + 4$
$= x^3 – 2x^2 + 2x^2 – 4x – 2x + 4$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(x – 2) + 2x(x – 2) – 2(x – 2)$
$= (x – 2)(x^2 + 2x – 2)$

(এখানে $x^2 + 2x – 2$ রাশিটিকে পূর্ণসংখ্যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 2)(x^2 + 2x – 2)$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – 19x – 30$

এখন $x = -2$ বসালে পাই,
$f(-2) = (-2)^3 – 19(-2) – 30 = -8 + 38 – 30 = 38 – 38 = 0$
যেহেতু $f(-2) = 0$, তাই $(x + 2)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$x^3 – 19x – 30$
$= x^3 + 2x^2 – 2x^2 – 4x – 15x – 30$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(x + 2) – 2x(x + 2) – 15(x + 2)$
$= (x + 2)(x^2 – 2x – 15)$

এখন দ্বিতীয় অংশ $x^2 – 2x – 15$-কে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ (Middle Term Factor) করে পাই:

$(x + 2)(x^2 – 5x + 3x – 15)$
$= (x + 2)\{x(x – 5) + 3(x – 5)\}$
$= (x + 2)(x – 5)(x + 3)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + 2)(x + 3)(x – 5)$

সমাধান:

ধরি, $f(a) = 4a^3 – 9a^2 + 3a + 2$

এখন $a = 1$ বসালে পাই,
$f(1) = 4(1)^3 – 9(1)^2 + 3(1) + 2 = 4 – 9 + 3 + 2 = 9 – 9 = 0$
যেহেতু $f(1) = 0$, তাই $(a – 1)$ হলো $f(a)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$4a^3 – 9a^2 + 3a + 2$
$= 4a^3 – 4a^2 – 5a^2 + 5a – 2a + 2$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= 4a^2(a – 1) – 5a(a – 1) – 2(a – 1)$
$= (a – 1)(4a^2 – 5a – 2)$

(এখানে $4a^2 – 5a – 2$ রাশিটিকে পূর্ণসংখ্যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a – 1)(4a^2 – 5a – 2)$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = x^3 – 9x^2 + 23x – 15$

এখন $x = 1$ বসালে পাই,
$f(1) = (1)^3 – 9(1)^2 + 23(1) – 15 = 1 – 9 + 23 – 15 = 24 – 24 = 0$
যেহেতু $f(1) = 0$, তাই $(x – 1)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$x^3 – 9x^2 + 23x – 15$
$= x^3 – x^2 – 8x^2 + 8x + 15x – 15$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(x – 1) – 8x(x – 1) + 15(x – 1)$
$= (x – 1)(x^2 – 8x + 15)$

এখন দ্বিতীয় অংশ $x^2 – 8x + 15$-কে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ করে পাই:

$(x – 1)(x^2 – 3x – 5x + 15)$
$= (x – 1)\{x(x – 3) – 5(x – 3)\}$
$= (x – 1)(x – 3)(x – 5)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 1)(x – 3)(x – 5)$

সমাধান:

ধরি, $f(a) = 5a^3 + 11a^2 + 4a – 2$

এখন $a = -1$ বসালে পাই,
$f(-1) = 5(-1)^3 + 11(-1)^2 + 4(-1) – 2 = -5 + 11 – 4 – 2 = 11 – 11 = 0$
যেহেতু $f(-1) = 0$, তাই $(a + 1)$ হলো $f(a)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$5a^3 + 11a^2 + 4a – 2$
$= 5a^3 + 5a^2 + 6a^2 + 6a – 2a – 2$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= 5a^2(a + 1) + 6a(a + 1) – 2(a + 1)$
$= (a + 1)(5a^2 + 6a – 2)$

(এখানে $5a^2 + 6a – 2$ রাশিটিকে পূর্ণসংখ্যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + 1)(5a^2 + 6a – 2)$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = 2x^3 – x^2 + 9x + 5$

এখন $x = -\frac{1}{2}$ বসালে পাই,

$f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 – (-\frac{1}{2})^2 + 9(-\frac{1}{2}) + 5$
$= 2(-\frac{1}{8}) – \frac{1}{4} – \frac{9}{2} + 5$
$= -\frac{1}{4} – \frac{1}{4} – \frac{9}{2} + 5$
$= \frac{-1 – 1 – 18 + 20}{4}$
$= \frac{-20 + 20}{4} = 0$

যেহেতু $f(-\frac{1}{2}) = 0$, তাই $(x + \frac{1}{2})$ বা $(2x + 1)$ হলো $f(x)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$2x^3 – x^2 + 9x + 5$
$= 2x^3 + x^2 – 2x^2 – x + 10x + 5$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= x^2(2x + 1) – x(2x + 1) + 5(2x + 1)$
$= (2x + 1)(x^2 – x + 5)$

(এখানে $x^2 – x + 5$ রাশিটিকে বাস্তব সংখ্যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়)

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2x + 1)(x^2 – x + 5)$

সমাধান:

ধরি, $f(y) = 2y^3 – 5y^2 – 19y + 42$

এখন $y = 2$ বসালে পাই,

$f(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 – 19(2) + 42$
$= 2(8) – 5(4) – 38 + 42$
$= 16 – 20 – 38 + 42$
$= 58 – 58 = 0$

যেহেতু $f(2) = 0$, তাই $(y – 2)$ হলো $f(y)$-এর একটি উৎপাদক।

এখন,

$2y^3 – 5y^2 – 19y + 42$
$= 2y^3 – 4y^2 – y^2 + 2y – 21y + 42$ [অডজাস্ট করে পাই]
$= 2y^2(y – 2) – y(y – 2) – 21(y – 2)$
$= (y – 2)(2y^2 – y – 21)$

এখন দ্বিতীয় অংশ $2y^2 – y – 21$-কে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ করে পাই:

$(y – 2)(2y^2 – 7y + 6y – 21)$
$= (y – 2)\{y(2y – 7) + 3(2y – 7)\}$
$= (y – 2)(2y – 7)(y + 3)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(y – 2)(y + 3)(2y – 7)$