নবম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 8.4 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= x^3 + y^3 + 64 – 12xy$

$= (x)^3 + (y)^3 + (4)^3 – 3 \cdot x \cdot y \cdot 4$

এটি $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$ আকারের, যেখানে $a=x, b=y, c=4$।

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= (x + y + 4)\{(x)^2 + (y)^2 + (4)^2 – x \cdot y – y \cdot 4 – 4 \cdot x\}$

$= (x + y + 4)(x^2 + y^2 + 16 – xy – 4y – 4x)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (x + y + 4)(x^2 + y^2 – xy – 4x – 4y + 16)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x + y + 4)(x^2 + y^2 – xy – 4x – 4y + 16)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (2x)^3 + (-y)^3 + (1)^3 – 3 \cdot (2x) \cdot (-y) \cdot 1$

এটি $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$ আকারের, যেখানে $a=2x, b=-y, c=1$।

সূত্র অনুযায়ী:

$= (2x – y + 1)\{(2x)^2 + (-y)^2 + (1)^2 – (2x)(-y) – (-y)(1) – (1)(2x)\}$

$= (2x – y + 1)(4x^2 + y^2 + 1 + 2xy + y – 2x)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (2x – y + 1)(4x^2 + y^2 + 2xy – 2x + y + 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2x – y + 1)(4x^2 + y^2 + 2xy – 2x + y + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= (2a)^3 + (-3b)^3 + (-1)^3 – 3 \cdot (2a) \cdot (-3b) \cdot (-1)$

এখানে $a=2a, b=-3b, c=-1$।

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= (2a – 3b – 1)\{(2a)^2 + (-3b)^2 + (-1)^2 – (2a)(-3b) – (-3b)(-1) – (-1)(2a)\}$

$= (2a – 3b – 1)(4a^2 + 9b^2 + 1 + 6ab – 3b + 2a)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (2a – 3b – 1)(4a^2 + 9b^2 + 6ab + 2a – 3b + 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(2a – 3b – 1)(4a^2 + 9b^2 + 6ab + 2a – 3b + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,
$= 1 + 8x^3 – 27y^3 + 18xy$

$= (1)^3 + (2x)^3 + (-3y)^3 – 3 \cdot 1 \cdot (2x) \cdot (-3y)$

এখানে $a=1, b=2x, c=-3y$।

সূত্র অনুযায়ী:

$= (1 + 2x – 3y)\{(1)^2 + (2x)^2 + (-3y)^2 – 1(2x) – (2x)(-3y) – (-3y)(1)\}$

$= (1 + 2x – 3y)(1 + 4x^2 + 9y^2 – 2x + 6xy + 3y)$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= (1 + 2x – 3y)(1 – 2x + 3y + 4x^2 + 6xy + 9y^2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(1 + 2x – 3y)(1 – 2x + 3y + 4x^2 + 6xy + 9y^2)$

সমাধান:

ধরি, $x = 3a – 2b$, $y = 2b – 5c$, এবং $z = 5c – 3a$।

এখন, $x + y + z$ এর মান নির্ণয় করি:

$x + y + z = (3a – 2b) + (2b – 5c) + (5c – 3a)$

$= 3a – 2b + 2b – 5c + 5c – 3a$

$= 0$

আমরা জানি, যদি $x + y + z = 0$ হয়, তবে $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ হবে।

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি হবে:

$= 3(3a – 2b)(2b – 5c)(5c – 3a)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $3(3a – 2b)(2b – 5c)(5c – 3a)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিকে সাজিয়ে লিখি:

$(2x – y)^3 + \{-(x + y)\}^3 + (2y – x)^3$

ধরি, $a = 2x – y$

$b = -(x + y) = -x – y$

$c = 2y – x$

এখন, $a + b + c$ এর মান নির্ণয় করি:

$a + b + c = (2x – y) + (-x – y) + (2y – x)$

$= 2x – y – x – y + 2y – x$

$= (2x – 2x) + (-2y + 2y)$

$= 0$

আমরা জানি, যদি $a + b + c = 0$ হয়, তবে $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$।

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $= 3(2x – y)\{-(x + y)\}(2y – x)$

$= -3(2x – y)(x + y)(2y – x)$

$= 3(2x – y)(x + y)(x – 2y)$ [শেষ পদ থেকে মাইনাস কমন নিয়ে গুণ করে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $3(2x – y)(x + y)(x – 2y)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $a^6 + 32a^3 – 64$

রাশিটিকে $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ আকারে সাজানোর চেষ্টা করি।

$= (a^2)^3 + (2a)^3 + (-4)^3 – 3 \cdot (a^2) \cdot (2a) \cdot (-4)$

যাচাই: $a^6 + 8a^3 – 64 + 24a^3 = a^6 + 32a^3 – 64$ (মিলে গেছে)

এখানে $x = a^2, y = 2a, z = -4$।

সূত্র অনুযায়ী:

$= (a^2 + 2a – 4)\{(a^2)^2 + (2a)^2 + (-4)^2 – (a^2)(2a) – (2a)(-4) – (-4)(a^2)\}$

$= (a^2 + 2a – 4)(a^4 + 4a^2 + 16 – 2a^3 + 8a + 4a^2)$

সাজিয়ে এবং সরল করে পাই:

$= (a^2 + 2a – 4)(a^4 – 2a^3 + 8a^2 + 8a + 16)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a^2 + 2a – 4)(a^4 – 2a^3 + 8a^2 + 8a + 16)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $a^6 – 18a^3 + 125$

রাশিটিকে $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ আকারে সাজাই:

$= (a^2)^3 + (3a)^3 + (5)^3 – 3 \cdot (a^2) \cdot (3a) \cdot (5)$

যাচাই: $a^6 + 27a^3 + 125 – 45a^3 = a^6 – 18a^3 + 125$ (মিলে গেছে)

এখানে $x = a^2, y = 3a, z = 5$।

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= (a^2 + 3a + 5)\{(a^2)^2 + (3a)^2 + (5)^2 – (a^2)(3a) – (3a)(5) – (5)(a^2)\}$

$= (a^2 + 3a + 5)(a^4 + 9a^2 + 25 – 3a^3 – 15a – 5a^2)$

সরল করে পাই:

$= (a^2 + 3a + 5)(a^4 – 3a^3 + 4a^2 – 15a + 25)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a^2 + 3a + 5)(a^4 – 3a^3 + 4a^2 – 15a + 25)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:

$\{p(q – r)\}^3 + \{q(r – p)\}^3 + \{r(p – q)\}^3$

ধরি, $A = p(q – r) = pq – pr$

$B = q(r – p) = qr – pq$

$C = r(p – q) = pr – qr$

এখন, $A + B + C = (pq – pr) + (qr – pq) + (pr – qr)$

$= pq – pr + qr – pq + pr – qr = 0$

যেহেতু $A + B + C = 0$, তাই $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$।

$\therefore$ নির্ণেয় উৎপাদক:

$= 3 \cdot p(q – r) \cdot q(r – p) \cdot r(p – q)$

$= 3pqr(q – r)(r – p)(p – q)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $3pqr(p – q)(q – r)(r – p)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $p^3 + \frac{1}{p^3} + \frac{26}{27}$

আমরা $\frac{26}{27}$ কে $1 – \frac{1}{27}$ আকারে লিখতে পারি।

$= p^3 + \frac{1}{p^3} + 1 – \frac{1}{27}$

সাজিয়ে লিখি:

$= (p)^3 + (\frac{1}{p})^3 + (-\frac{1}{3})^3 – 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} \cdot (-\frac{1}{3})$

যাচাই: $1 – (-\frac{1}{3})^3 = 1 – (-\frac{1}{27}) = 1 + \frac{1}{27}$ যা সঠিক নয়।

সঠিক যাচাই: $- 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} \cdot (-\frac{1}{3}) = -3 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{3}) = 1$

এবং $(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$

সুতরাং, $1 – \frac{1}{27} = \frac{26}{27}$। (রাশিটি মিলে গেছে)

এখানে $a = p, b = \frac{1}{p}, c = -\frac{1}{3}$।

সূত্র অনুযায়ী:

$= (p + \frac{1}{p} – \frac{1}{3})\{(p)^2 + (\frac{1}{p})^2 + (-\frac{1}{3})^2 – p(\frac{1}{p}) – (\frac{1}{p})(-\frac{1}{3}) – (-\frac{1}{3})p\}$

$= (p + \frac{1}{p} – \frac{1}{3})(p^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{9} – 1 + \frac{1}{3p} + \frac{p}{3})$

সরল করে পাই:

$= (p + \frac{1}{p} – \frac{1}{3})(p^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{p}{3} + \frac{1}{3p} – \frac{8}{9})$ [যেহেতু $\frac{1}{9} – 1 = -\frac{8}{9}$]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(p + \frac{1}{p} – \frac{1}{3})(p^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{p}{3} + \frac{1}{3p} – \frac{8}{9})$