অষ্টম শ্রেণি গনিত: পূর্বপাঠের পুনরালোচনা কষে দেখি – 1.2

সমাধান:

(i) আয়তক্ষেত্রের মতো সজ্জা:

১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $6$ টি।

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $11$ টি।

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $16$ টি।

প্যাটার্নটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিবার $5$ টি করে কাঠি বাড়ছে।

• $n=1$: $5 \times 1 + 1 = 6$
• $n=2$: $5 \times 2 + 1 = 11$
• $n=3$: $5 \times 3 + 1 = 16$

সুতরাং, $n$-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = $(5n + 1)$।

(ii) ঘরের চালের মতো সজ্জা:

১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $5$ টি।

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $9$ টি।

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = $13$ টি।

প্যাটার্নটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিবার $4$ টি করে কাঠি বাড়ছে।

• $n=1$: $4 \times 1 + 1 = 5$
• $n=2$: $4 \times 2 + 1 = 9$
• $n=3$: $4 \times 3 + 1 = 13$

সুতরাং, $n$-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = $(4n + 1)$।

উত্তর: (i) 5n + 1, (ii) 4n + 1

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = $(4y + 2)$ সেমি.।

সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

সুতরাং, পরিসীমা = $3 \times$ (বাহুর দৈর্ঘ্য)

$= 3 \times (4y + 2)$ সেমি.

$= (12y + 6)$ সেমি.।

উত্তর: ত্রিভুজটির পরিসীমা (12y + 6) সেমি.।

সমাধান:

আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $(8x + 3y)$ সেমি.।

আয়তাকারক্ষেত্রের প্রস্থ = $(8x – 3y)$ সেমি.।

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

$= (8x + 3y) \times (8x – 3y)$ বর্গসেমি.

আমরা জানি, $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$।

এখানে $a = 8x$ এবং $b = 3y$।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $((8x)^2 – (3y)^2)$ বর্গসেমি.

$= (64x^2 – 9y^2)$ বর্গসেমি.।

উত্তর: ক্ষেত্রফল $(64x^2 – 9y^2)$ বর্গসেমি.।

সমাধান:

বর্গাকারক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $(3m – 4)$ মিটার।

১ম অংশ: ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ক্ষেত্রফল = $(\text{বাহু})^2 = (3m – 4)^2$ বর্গমিটার।

$(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= (3m)^2 – 2(3m)(4) + (4)^2$

$= (9m^2 – 24m + 16)$ বর্গমিটার।

২য় অংশ: $m$-এর মান নির্ণয়

বর্গাকারক্ষেত্রের পরিসীমা = $8$ মিটার।

আমরা জানি, পরিসীমা = $4 \times$ বাহু।

প্রশ্নানুসারে,

$4(3m – 4) = 8$

বা, $3m – 4 = \frac{8}{4}$

বা, $3m – 4 = 2$

বা, $3m = 2 + 4$

বা, $3m = 6$

বা, $m = \frac{6}{3}$

বা, $m = 2$

উত্তর: ক্ষেত্রফল $(9m^2 – 24m + 16)$ বর্গমিটার এবং $m$-এর মান 2 হলে পরিসীমা 8 মিটার হবে।

সমাধান:

ছকের (a) অংশটি বইতে করে দেওয়া আছে। আমরা (b) এবং (c) অংশের সমাধান নিচে দিলাম।

(b) অংশের জন্য:

প্রদত্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি হলো:

• (i) $6a^2 + 2$
• (ii) $-3a^2 + 3a$
• (iii) $-2a + 3$

১. যোগ করি $(i) + (ii) + (iii)$:

$= (6a^2 + 2) + (-3a^2 + 3a) + (-2a + 3)$

সদৃশ পদগুলিকে সাজিয়ে পাই,

$= (6a^2 – 3a^2) + (3a – 2a) + (2 + 3)$

$= 3a^2 + a + 5$

২. বিয়োগ করি $(ii) – (i)$:

$= (-3a^2 + 3a) – (6a^2 + 2)$

$= -3a^2 + 3a – 6a^2 – 2$

$= (-3a^2 – 6a^2) + 3a – 2$

$= -9a^2 + 3a – 2$

(c) অংশের জন্য:

প্রদত্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি হলো:

• (i) $9m^2 – 2mn + n^2$
• (ii) $m^2 + n^2$
• (iii) $m^2 – 3mn – 2n^2$

১. যোগ করি $(i) + (ii) + (iii)$:

$= (9m^2 – 2mn + n^2) + (m^2 + n^2) + (m^2 – 3mn – 2n^2)$

সদৃশ পদগুলিকে সাজিয়ে পাই,

$= (9m^2 + m^2 + m^2) + (-2mn – 3mn) + (n^2 + n^2 – 2n^2)$

$= 11m^2 – 5mn + 0$

$= 11m^2 – 5mn$

২. বিয়োগ করি:

(ছকের নির্দেশ অনুযায়ী সম্ভাব্য বিয়োগফলগুলি নিচে দেওয়া হলো)

যদি $(i) – (ii)$ নির্ণয় করতে হয়:

$= (9m^2 – 2mn + n^2) – (m^2 + n^2)$

$= 9m^2 – 2mn + n^2 – m^2 – n^2$

$= (9m^2 – m^2) – 2mn + (n^2 – n^2)$

$= 8m^2 – 2mn$

যদি $(ii) – (iii)$ নির্ণয় করতে হয়:

$= (m^2 + n^2) – (m^2 – 3mn – 2n^2)$

$= m^2 + n^2 – m^2 + 3mn + 2n^2$

$= (m^2 – m^2) + 3mn + (n^2 + 2n^2)$

$= 3mn + 3n^2$

উত্তর (সংক্ষেপে):
(b) যোগফল: $3a^2 + a + 5$, বিয়োগফল: $-9a^2 + 3a – 2$
(c) যোগফল: $11m^2 – 5mn$, বিয়োগফল (i-ii): $8m^2 – 2mn$

সমাধান:

ছক অনুযায়ী প্রতিটি সারির (i) ও (ii) নং বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ (যেখানে ভাগ সম্ভব) নিচে করে দেখানো হলো:

(a)

(i) $9a^3b^2 – 15a^2b^3$

(ii) $3ab$

গুণ করি $(i) \times (ii)$:

$= (9a^3b^2 – 15a^2b^3) \times 3ab$

$= 9a^3b^2 \times 3ab – 15a^2b^3 \times 3ab$

$= 27a^4b^3 – 45a^3b^4$

ভাগ করি $(i) \div (ii)$:

$= \frac{9a^3b^2 – 15a^2b^3}{3ab}$

$= \frac{9a^3b^2}{3ab} – \frac{15a^2b^3}{3ab}$

$= 3a^{3-1}b^{2-1} – 5a^{2-1}b^{3-1}$

$= 3a^2b – 5ab^2$

(b)

(i) $x^4 – 4x^3 + 6x^2$

(ii) $x^2$

গুণ করি $(i) \times (ii)$:

$= (x^4 – 4x^3 + 6x^2) \times x^2$

$= x^6 – 4x^5 + 6x^4$

ভাগ করি $(i) \div (ii)$:

$= \frac{x^4 – 4x^3 + 6x^2}{x^2}$

$= \frac{x^4}{x^2} – \frac{4x^3}{x^2} + \frac{6x^2}{x^2}$

$= x^2 – 4x + 6$

(c) [বইয়ের ক্রম অনুযায়ী পরবর্তী সারি]

(i) $3m^2n^3 + 40m^3n^4 – 5m^4n^5$

(ii) $10m^2n^2$

গুণ করি $(i) \times (ii)$:

$= (3m^2n^3 + 40m^3n^4 – 5m^4n^5) \times 10m^2n^2$

$= 30m^4n^5 + 400m^5n^6 – 50m^6n^7$

ভাগ করি $(i) \div (ii)$:

$= \frac{3m^2n^3 + 40m^3n^4 – 5m^4n^5}{10m^2n^2}$

$= \frac{3m^2n^3}{10m^2n^2} + \frac{40m^3n^4}{10m^2n^2} – \frac{5m^4n^5}{10m^2n^2}$

$= \frac{3}{10}n + 4mn^2 – \frac{1}{2}m^2n^3$

(d)

(i) $49l^2 – 100m^2$

(ii) $7l + 10m$

গুণ করি $(i) \times (ii)$:

$= (49l^2 – 100m^2)(7l + 10m)$

$= 49l^2(7l) + 49l^2(10m) – 100m^2(7l) – 100m^2(10m)$

$= 343l^3 + 490l^2m – 700lm^2 – 1000m^3$

ভাগ করি $(i) \div (ii)$:

$= \frac{49l^2 – 100m^2}{7l + 10m}$

লবকে $a^2 – b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(7l)^2 – (10m)^2}{7l + 10m}$

$= \frac{(7l + 10m)(7l – 10m)}{7l + 10m}$

$= 7l – 10m$

(e)

(i) $625a^4 – 81b^4$

(ii) $5a + 3b$

গুণ করি $(i) \times (ii)$:

$= (625a^4 – 81b^4)(5a + 3b)$

$= 625a^4(5a) + 625a^4(3b) – 81b^4(5a) – 81b^4(3b)$

$= 3125a^5 + 1875a^4b – 405ab^4 – 243b^5$

ভাগ করি $(i) \div (ii)$:

$= \frac{625a^4 – 81b^4}{5a + 3b}$

লবকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$625a^4 – 81b^4 = (25a^2)^2 – (9b^2)^2$

$= (25a^2 + 9b^2)(25a^2 – 9b^2)$

$= (25a^2 + 9b^2)((5a)^2 – (3b)^2)$

$= (25a^2 + 9b^2)(5a + 3b)(5a – 3b)$

এখন,

$= \frac{(25a^2 + 9b^2)(5a + 3b)(5a – 3b)}{5a + 3b}$

$= (25a^2 + 9b^2)(5a – 3b)$

$= 125a^3 – 75a^2b + 45ab^2 – 27b^3$

উত্তর: ছকের গুণ ও ভাগফলগুলি উপরে করে দেখানো হলো।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= a – b + b – c + c – a$

সদৃশ পদগুলি পাশাপাশি সাজিয়ে পাই,

$= (a – a) + (-b + b) + (-c + c)$

$= 0 + 0 + 0$

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল 0

সমাধান:

আমরা জানি, $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$। এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

প্রদত্ত রাশি $= (a^2 – b^2) + (b^2 – c^2) + (c^2 – a^2)$

$= a^2 – b^2 + b^2 – c^2 + c^2 – a^2$

$= (a^2 – a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2)$

$= 0 + 0 + 0$

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল 0

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= x^2 \times y^2 \times (\frac{x}{y} – \frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$ [পদগুলো সাজিয়ে]

$= x^2y^2 \times [(\frac{x}{y})^2 – (\frac{y}{x})^2]$ [সূত্র: $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$]

$= x^2y^2 \times (\frac{x^2}{y^2} – \frac{y^2}{x^2})$

$= x^2y^2 \times \frac{x^4 – y^4}{x^2y^2}$ [লসাগু $x^2y^2$ করে]

$= x^4 – y^4$ [$x^2y^2$ কেটে গেল]

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল $x^4 – y^4$

সমাধান:

গুণ করে পাই,

প্রদত্ত রাশি $= ab – ac + bc – ba + ca – cb$

$= ab – ac + bc – ab + ac – bc$ [যেহেতু $ba=ab, ca=ac, cb=bc$]

$= (ab – ab) + (-ac + ac) + (bc – bc)$

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল 0

সমাধান:

গুণ করে পাই,

প্রদত্ত রাশি $= x^2y^2 – x^2z^2 + y^2z^2 – y^2x^2 + z^2x^2 – z^2y^2$

$= x^2y^2 – x^2z^2 + y^2z^2 – x^2y^2 + x^2z^2 – y^2z^2$ [পদগুলো সাজিয়ে]

$= (x^2y^2 – x^2y^2) + (-x^2z^2 + x^2z^2) + (y^2z^2 – y^2z^2)$

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল 0

সমাধান:

আমরা জানি, $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$।

এখানে $a$ এবং $b$ যথাক্রমে $x^3, y^3$ ইত্যাদি।

প্রদত্ত রাশি $= [(x^3)^2 – (y^3)^2] + [(y^3)^2 – (z^3)^2] + [(z^3)^2 – (x^3)^2]$

$= (x^6 – y^6) + (y^6 – z^6) + (z^6 – x^6)$

$= x^6 – y^6 + y^6 – z^6 + z^6 – x^6$

$= (x^6 – x^6) + (-y^6 + y^6) + (-z^6 + z^6)$

$= 0$

উত্তর: নির্ণেয় সরলফল 0

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটির বর্গ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ সূত্রটি ব্যবহার করব।

এখানে $a = 5x$ এবং $b = 2y$।

$\therefore (5x – 2y)^2$

$= (5x)^2 – 2(5x)(2y) + (2y)^2$

$= 25x^2 – 20xy + 4y^2$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $25x^2 – 20xy + 4y^2$

সমাধান:

আমরা $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ সূত্রটি ব্যবহার করব।

এখানে $a = 7$ এবং $b = 2m$।

$\therefore (7 + 2m)^2$

$= (7)^2 + 2(7)(2m) + (2m)^2$

$= 49 + 28m + 4m^2$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $49 + 28m + 4m^2$

সমাধান:

রাশিটিকে দুটি অংশে ভাগ করে $(a+b)^2$ সূত্র প্রয়োগ করব।

ধরি, $a = (x+y)$ এবং $b = z$।

$\therefore (x + y + z)^2$

$= \{(x+y) + z\}^2$

$= (x+y)^2 + 2(x+y)(z) + (z)^2$ [সূত্র অনুযায়ী]

$= (x^2 + 2xy + y^2) + 2(xz + yz) + z^2$

$= x^2 + 2xy + y^2 + 2zx + 2yz + z^2$

সাজিয়ে লিখলে পাই,

$= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

সমাধান:

রাশিটিকে সুবিধাজনকভাবে সাজিয়ে $(a-b)^2$ সূত্র প্রয়োগ করব।

ধরি, প্রথম পদ $= (a+b)$ এবং দ্বিতীয় পদ $= (c+d)$।

সুতরাং, $a + b – c – d = (a+b) – (c+d)$

$\therefore (a + b – c – d)^2$

$= \{(a+b) – (c+d)\}^2$

সূত্র $(x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$ প্রয়োগ করে পাই,

$= (a+b)^2 – 2(a+b)(c+d) + (c+d)^2$

এখন, $(a+b)^2$ এবং $(c+d)^2$ কে আবার সূত্রে ভাঙবো এবং মাঝখানের গুণটি সম্পন্ন করব:

$= (a^2 + 2ab + b^2) – 2(ac + ad + bc + bd) + (c^2 + 2cd + d^2)$

$= a^2 + 2ab + b^2 – 2ac – 2ad – 2bc – 2bd + c^2 + 2cd + d^2$

বর্গ রাশিগুলিকে এবং গুণফলগুলিকে সাজিয়ে লিখি:

$= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2cd – 2ac – 2ad – 2bc – 2bd$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2cd – 2ac – 2ad – 2bc – 2bd$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটি সাজিয়ে পাই,

$= (3x)^2 – 2 \cdot (3x) \cdot \left(\frac{3}{5y}\right) + \left(\frac{3}{5y}\right)^2$

এখানে, $a = 3x$ এবং $b = \frac{3}{5y}$ ধরলে রাশিটি $a^2 – 2ab + b^2$ আকারে আছে।

সুতরাং, সূত্র অনুযায়ী,

$= \left(3x – \frac{3}{5y}\right)^2$

উত্তর: নির্ণেয় পূর্ণবর্গাকার রূপ $\left(3x – \frac{3}{5y}\right)^2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,

$= (5m)^2 – 2 \cdot (5m) \cdot (7n) + (7n)^2$

এখানে $a = 5m$ এবং $b = 7n$।

রাশিটি $a^2 – 2ab + b^2$ আকারে আছে।

সুতরাং, সূত্র অনুযায়ী,

$= (5m – 7n)^2$

উত্তর: নির্ণেয় পূর্ণবর্গাকার রূপ $(5m – 7n)^2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,

$= (2a-b)^2 + 2(2a-b)(a+b) + (a+b)^2$ [কারণ, $4a-2b = 2(2a-b)$]

ধরি, $x = 2a-b$ এবং $y = a+b$।

তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়: $x^2 + 2xy + y^2$

যা $(x+y)^2$ এর সূত্র।

এখন $x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \{(2a-b) + (a+b)\}^2$

$= (2a – b + a + b)^2$

$= (3a)^2$

উত্তর: নির্ণেয় পূর্ণবর্গাকার রূপ $(3a)^2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটি সাজিয়ে পাই,

$= \left(\frac{p}{q}\right)^2 – 2 + \left(\frac{q}{p}\right)^2$

$= \left(\frac{p}{q}\right)^2 – 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \left(\frac{q}{p}\right)^2$ [কারণ $\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1$]

এখানে $a = \frac{p}{q}$ এবং $b = \frac{q}{p}$।

রাশিটি $a^2 – 2ab + b^2$ আকারে আছে।

সুতরাং, সূত্র অনুযায়ী,

$= \left(\frac{p}{q} – \frac{q}{p}\right)^2$

উত্তর: নির্ণেয় পূর্ণবর্গাকার রূপ $\left(\frac{p}{q} – \frac{q}{p}\right)^2$

সমাধান:

আমরা জানি, $391 = 400 – 9$ এবং $409 = 400 + 9$।

সুতরাং, রাশিটিকে লিখতে পারি:

$= (400 – 9) \times (400 + 9)$

এটি $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ সূত্রের আকারে আছে।

এখানে $a = 400$ এবং $b = 9$।

$= (400)^2 – (9)^2$

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $(400)^2 – (9)^2$

সমাধান:

আমরা জানি, দুটি রাশির গুণফলকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশের সূত্র হলো:

$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

এখানে $a = 4x + 3y$ এবং $b = 2x – 3y$।

সুতরাং,

$= \left(\frac{(4x+3y) + (2x-3y)}{2}\right)^2 – \left(\frac{(4x+3y) – (2x-3y)}{2}\right)^2$

$= \left(\frac{4x + 3y + 2x – 3y}{2}\right)^2 – \left(\frac{4x + 3y – 2x + 3y}{2}\right)^2$

$= \left(\frac{6x}{2}\right)^2 – \left(\frac{2x + 6y}{2}\right)^2$

$= (3x)^2 – \left(\frac{2(x + 3y)}{2}\right)^2$

$= (3x)^2 – (x + 3y)^2$

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $(3x)^2 – (x + 3y)^2$

সমাধান:

আমরা $x$ কে লিখতে পারি $x \times 1$ হিসেবে।

এখন $ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ সূত্র প্রয়োগ করি।

এখানে $a = x$ এবং $b = 1$।

সুতরাং,

$x = \left(\frac{x+1}{2}\right)^2 – \left(\frac{x-1}{2}\right)^2$

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 – \left(\frac{x-1}{2}\right)^2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি থেকে প্রথমে সাধারণ উৎপাদক $25$ কমন নেওয়া হলো।

$= 25(9m^2 – 4n^2)$

এখন বন্ধনীর ভিতরের অংশকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি,

$= 25\{(3m)^2 – (2n)^2\}$

সূত্র $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ প্রয়োগ করে পাই,

$= 25(3m + 2n)(3m – 2n)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $25(3m + 2n)(3m – 2n)$

সমাধান:

রাশিটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে সাজাই,

$= (5x)^2 – \left(\frac{1}{3}yz\right)^2$

সূত্র $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ প্রয়োগ করে পাই,

$= \left(5x + \frac{1}{3}yz\right)\left(5x – \frac{1}{3}yz\right)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $\left(5x + \frac{yz}{3}\right)\left(5x – \frac{yz}{3}\right)$

সমাধান:

প্রথমে $7a$ কমন নেওয়া হলো,

$= 7a(x^2 + 2x + 1)$

বন্ধনীর ভিতরের অংশটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি,

$= 7a(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$

$= 7a(x + 1)^2$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $7a(x + 1)^2$

সমাধান:

প্রথমে $3$ কমন নেওয়া হলো,

$= 3(x^4 – 2x^2a^2 + a^4)$

বন্ধনীর ভিতরের অংশটিকে পূর্ণবর্গাকারে সাজাই,

$= 3\{(x^2)^2 – 2 \cdot x^2 \cdot a^2 + (a^2)^2\}$

$= 3(x^2 – a^2)^2$

এখন, $(x^2 – a^2)$ কে আবার $a^2-b^2$ সূত্রে ভাঙা যায়,

$= 3\{(x+a)(x-a)\}^2$

$= 3(x+a)^2(x-a)^2$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $3(x+a)^2(x-a)^2$

সমাধান:

রাশিটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে সাজাই,

$= (2bc)^2 – (b^2+c^2-a^2)^2$

সূত্র $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$ প্রয়োগ করি,

$= \{2bc + (b^2+c^2-a^2)\}\{2bc – (b^2+c^2-a^2)\}$

$= (b^2 + 2bc + c^2 – a^2)(2bc – b^2 – c^2 + a^2)$

$= \{(b+c)^2 – a^2\}\{a^2 – (b^2 – 2bc + c^2)\}$ [ঋণাত্মক চিহ্ন কমন নিয়ে সাজিয়ে]

$= \{(b+c)^2 – a^2\}\{a^2 – (b-c)^2\}$

পুনরায় $x^2 – y^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-(b-c))$

$= (a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)$

সমাধান:

প্রথমে $a$ কমন নেওয়া হলো,

$= a\{64x^2 – 49(x-2y)^2\}$

বন্ধনীর ভিতরে দুটি বর্গের অন্তররূপে সাজাই,

$= a\{(8x)^2 – [7(x-2y)]^2\}$

$= a\{(8x)^2 – (7x – 14y)^2\}$

সূত্র $A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)$ প্রয়োগ করি,

$= a\{8x + (7x – 14y)\}\{8x – (7x – 14y)\}$

$= a(8x + 7x – 14y)(8x – 7x + 14y)$

$= a(15x – 14y)(x + 14y)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $a(15x – 14y)(x + 14y)$

সমাধান:

রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে সাজানোর জন্য পদগুলো পুনর্বিন্যাস করি,

$= x^2 – 4xy + 4y^2 – 9$

$= (x)^2 – 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 – (3)^2$

$= (x – 2y)^2 – (3)^2$

সূত্র $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ প্রয়োগ করে পাই,

$= (x – 2y + 3)(x – 2y – 3)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x – 2y + 3)(x – 2y – 3)$

সমাধান:

বর্গ রাশিগুলো এবং রৈখিক রাশিগুলোকে আলাদা করে সাজাই,

$= x^2 – y^2 – 2x + 2y$

$= (x+y)(x-y) – 2(x-y)$ [প্রথম অংশে $a^2-b^2$ সূত্র এবং দ্বিতীয় অংশে $2$ কমন নিয়ে]

উভয় পদ থেকে $(x-y)$ কমন নিয়ে পাই,

$= (x-y)(x + y – 2)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x-y)(x + y – 2)$

সমাধান:

মধ্যপদ বিশ্লেষণের (Middle Term Factor) মাধ্যমে সমাধান করি। এখানে $3 \times 1 = 3$ এবং $3 – 1 = 2$।

$= 3 + 3a – a – a^2$

$= 3(1 + a) – a(1 + a)$ [প্রথম দুটি পদ থেকে $3$ এবং পরের দুটি পদ থেকে $-a$ কমন নিয়ে]

$= (1 + a)(3 – a)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(1 + a)(3 – a)$

সমাধান:

রাশিটিকে বর্গের অন্তররূপে সাজাই,

$= (x^2)^2 – (1)^2$

$= (x^2 + 1)(x^2 – 1)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

দ্বিতীয় অংশটি পুনরায় সূত্রে পড়ে,

$= (x^2 + 1)\{(x)^2 – (1)^2\}$

$= (x^2 + 1)(x + 1)(x – 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x^2 + 1)(x + 1)(x – 1)$

সমাধান:

শেষের তিনটি পদ নিয়ে একটি পূর্ণবর্গ সূত্র তৈরি করি,

$= a^2 – (b^2 – 2bc + c^2)$ [মাইনাস চিহ্ন কমন নিয়ে]

$= a^2 – (b – c)^2$

সূত্র $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$ প্রয়োগ করি,

$= \{a + (b – c)\}\{a – (b – c)\}$

$= (a + b – c)(a – b + c)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + b – c)(a – b + c)$

সমাধান:

প্রথম দুটি পদ থেকে $c$ এবং পরের দুটি পদ থেকে $1$ কমন নেওয়া হলো,

$= c(a + b) + 1(a + b)$

$= (a + b)(c + 1)$

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(a + b)(c + 1)$

সমাধান:

রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে আনার চেষ্টা করি,

$= (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 – x^2y^2$ [মাঝখানে $2x^2y^2$ এনে বিয়োগ $x^2y^2$ করলাম]

$= (x^2 + y^2)^2 – (xy)^2$

সূত্র $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$ প্রয়োগ করে পাই,

$= (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 – xy)$

$= (x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় উৎপাদক $(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$

সমাধান:

আমরা জানি, $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$।

এখানে $a = xy$ এবং $b = pq$।

সুতরাং,

$= (xy)^2 – (pq)^2$

$= x^2y^2 – p^2q^2$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $x^2y^2 – p^2q^2$

সমাধান:

সংখ্যা দুটিকে সূত্রের আকারে সাজাই:

$49 = 50 – 1$ এবং $51 = 50 + 1$

$\therefore 49 \times 51 = (50 – 1)(50 + 1)$

সূত্র $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ প্রয়োগ করে পাই,

$= (50)^2 – (1)^2$

$= 2500 – 1$

$= 2499$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল 2499

সমাধান:

রাশি দুটিকে সূত্রের আকারে সাজানোর জন্য পদগুলো পুনর্বিন্যাস করি:

$= \{(2x+3z) – y\} \{(2x+3z) + y\}$

এখানে $a = (2x+3z)$ এবং $b = y$।

সূত্র $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$ প্রয়োগ করে পাই,

$= (2x+3z)^2 – (y)^2$

এখন $(2x+3z)^2$ কে $(a+b)^2$ সূত্রে ভাঙি,

$= \{(2x)^2 + 2(2x)(3z) + (3z)^2\} – y^2$

$= 4x^2 + 12xz + 9z^2 – y^2$

$= 4x^2 – y^2 + 9z^2 + 12xz$ [সাজিয়ে]

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $4x^2 – y^2 + 9z^2 + 12xz$

সমাধান:

সংখ্যা দুটিকে $1500$ এর সাপেক্ষে লিখি:

$1511 = 1500 + 11$

$1489 = 1500 – 11$

$\therefore 1511 \times 1489 = (1500 + 11)(1500 – 11)$

সূত্র $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$ প্রয়োগ করি,

$= (1500)^2 – (11)^2$

$= 2250000 – 121$

$= 2249879$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল 2249879

সমাধান:

প্রথমে প্রথম দুটি পদের গুণফল বের করি:

$(a-2)(a+2) = a^2 – 2^2 = a^2 – 4$

এখন প্রাপ্ত ফলের সাথে তৃতীয় পদ গুণ করি:

$= (a^2 – 4)(a^2 + 4)$

পুনরায় সূত্র $(x-y)(x+y) = x^2 – y^2$ প্রয়োগ করি (এখানে $x=a^2, y=4$),

$= (a^2)^2 – (4)^2$

$= a^4 – 16$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $a^4 – 16$

সমাধান:

রাশি দুটিকে সূত্রের আকারে সাজাই:

১ম রাশি: $a+b-c = b + (a-c)$

২য় রাশি: $b+c-a = b – (a-c)$

$\therefore (a+b-c)(b+c-a) = \{b + (a-c)\}\{b – (a-c)\}$

সূত্র $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$ প্রয়োগ করি,

$= b^2 – (a-c)^2$

$= b^2 – (a^2 – 2ac + c^2)$

$= b^2 – a^2 + 2ac – c^2$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $b^2 – a^2 – c^2 + 2ac$

সমাধান:

প্রদত্ত, $x + \frac{1}{x} = 4$

১ম অংশ:

$x^2 + \frac{1}{x^2}$

$= (x)^2 + (\frac{1}{x})^2$

আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$। এখানে $a=x, b=\frac{1}{x}$।

$= (x + \frac{1}{x})^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (4)^2 – 2$ [মান বসিয়ে]

$= 16 – 2$

$= 14$ (প্রমাণিত)

২য় অংশ:

$x^4 + \frac{1}{x^4}$

$= (x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2$

$= (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 – 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$

$= (14)^2 – 2$ [১ম অংশ থেকে $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$ বসিয়ে]

$= 196 – 2$

$= 194$ (প্রমাণিত)

উত্তর: প্রমাণিত।

সমাধান:

বামপক্ষ $= m^2 + \frac{1}{m^2}$

$= (m + \frac{1}{m})^2 – 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$ [সূত্র: $a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab$]

$= (-5)^2 – 2$ [মান বসিয়ে]

$= 25 – 2$

$= 23$

$=$ ডানপক্ষ

উত্তর: প্রমাণিত।

সমাধান:

প্রদত্ত, $p – \frac{1}{p} = m$

(i) নং প্রমাণ:

বামপক্ষ $= p^2 + \frac{1}{p^2}$

$= (p – \frac{1}{p})^2 + 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p}$ [সূত্র: $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$]

$= (m)^2 + 2$

$= m^2 + 2$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(ii) নং প্রমাণ:

বামপক্ষ $= (p + \frac{1}{p})^2$

আমরা জানি, $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$

$= (p – \frac{1}{p})^2 + 4 \cdot p \cdot \frac{1}{p}$

$= (m)^2 + 4$

$= m^2 + 4$

$=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

উত্তর: প্রমাণিত।

সমাধান:

বামপক্ষ $= 8ab(a^2 + b^2)$

$= 4ab \cdot 2(a^2 + b^2)$ [রাশিটিকে দুটি সূত্রের গুণফল আকারে সাজিয়ে]

আমরা জানি,

$4ab = (a+b)^2 – (a-b)^2$

$= (5)^2 – (1)^2 = 25 – 1 = 24$

এবং $2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$

$= (5)^2 + (1)^2 = 25 + 1 = 26$

এখন মান বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ $= 24 \times 26$

$= 624$

$=$ ডানপক্ষ

উত্তর: প্রমাণিত।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= x^2 + y^2$

আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$

সুতরাং, $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$

$= (3)^2 + 2 \cdot 28$ [মান বসিয়ে]

$= 9 + 56$

$= 65$

উত্তর: নির্ণেয় মান 65

সমাধান:

আমরা জানি, $2(a^2 + b^2)$ এর সূত্র হলো:

$2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$

এখানে রাশিটি সরাসরি সূত্র আকারেই আছে, যা দুটি বর্গের সমষ্টি।

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $(a+b)^2 + (a-b)^2$

সমাধান:

প্রথমে রাশিটি থেকে $2$ কমন নেওয়া হলো:

$= 2(25x^2 + 9y^2)$

বন্ধনীর ভিতরের অংশকে বর্গের আকারে সাজাই:

$= 2\{(5x)^2 + (3y)^2\}$

এখন $2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$ সূত্র প্রয়োগ করি।

এখানে $a = 5x$ এবং $b = 3y$।

সুতরাং,

$= (5x + 3y)^2 + (5x – 3y)^2$

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $(5x + 3y)^2 + (5x – 3y)^2$

সমাধান:

প্রথমে $2(ac – bd)$ গুণ করে বন্ধনী তুলে দিই:

$= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ac – 2bd$

এখন পদগুলোকে সাজিয়ে দুটি পূর্ণবর্গ রাশি তৈরির চেষ্টা করি:

$= (a^2 + 2ac + c^2) + (b^2 – 2bd + d^2)$

প্রথম অংশটি $(a+c)^2$ এবং দ্বিতীয় অংশটি $(b-d)^2$ এর সূত্র।

সুতরাং,

$= (a+c)^2 + (b-d)^2$

উত্তর: নির্ণেয় রূপ $(a+c)^2 + (b-d)^2$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $x^2 – tx + \frac{1}{4}$

রাশিটিকে বর্গের আকারে সাজানোর চেষ্টা করি,

$= (x)^2 – tx + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশি হতে হলে মধ্যপদটি $\pm 2ab$ হতে হবে।

এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{2}$।

সুতরাং, শর্তানুসারে,

$-tx = \pm 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$

বা, $-tx = \pm x$

উভয়পক্ষ থেকে $x$ বাদ দিয়ে পাই (যেহেতু $x \neq 0$),

$-t = \pm 1$

বা, $t = \pm 1$

উত্তর: $t$-এর মান $1$ বা $-1$ হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি: $a^2 + 4$

$= (a)^2 + (2)^2$

আমরা জানি, $a^2 + b^2$ এর সাথে $\pm 2ab$ যোগ করলে তা পূর্ণবর্গ হয়।

এখানে $a = a$ এবং $b = 2$।

সুতরাং যোগ করতে হবে $= \pm 2 \cdot a \cdot 2$

$= \pm 4a$

যদি $4a$ যোগ করি তবে পাব $(a+2)^2$, আর যদি $-4a$ যোগ করি তবে পাব $(a-2)^2$।

উত্তর: $4a$ বা $-4a$ যোগ করতে হবে।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: $a^2 – b^2 = 9 \times 11$

বা, $(a+b)(a-b) = 11 \times 9$ [বড় সংখ্যাটিকে প্রথমে লিখলাম]

যেহেতু $a$ ও $b$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $(a+b)$ এর মান সর্বদা $(a-b)$ এর চেয়ে বড় হবে।

তুলনা করে পাই,

$a + b = 11$ …… (i)

$a – b = 9$ ……. (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$2a = 20 \Rightarrow a = 10$

(i) নং সমীকরণে $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$10 + b = 11 \Rightarrow b = 1$

উত্তর: $a$-এর মান 10 এবং $b$-এর মান 1।

সমাধান:

বামপক্ষ $= (x+y)^2 – (x-y)^2$

$= (x^2 + 2xy + y^2) – (x^2 – 2xy + y^2)$

$= x^2 + 2xy + y^2 – x^2 + 2xy – y^2$

$= 4xy$

$=$ ডানপক্ষ

যেহেতু $x$ ও $y$-এর যেকোনো মানের জন্য বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সর্বদা সমান হয়, তাই এটি একটি অভেদ (Identity)।

সমীকরণ সাধারণত চলরাশির নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য হয়, কিন্তু অভেদ সকল মানের জন্য সত্য।

উত্তর: এটি একটি অভেদ, কারণ চলরাশির যেকোনো মানের জন্য এটি সত্য।

সমাধান:

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) এর বর্গ সর্বদা ধনাত্মক হয়।

যেহেতু $x \neq 0$ এবং $y \neq 0$, তাই $x^2 > 0$ এবং $y^2 > 0$।

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল সর্বদা ধনাত্মক হয়।

উত্তর: ধনাত্মক

সমাধান:

$6x = 72$

বা, $x = \frac{72}{6}$

বা, $x = 12$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 12$

সমাধান:

$9x + 2 = 20$

বা, $9x = 20 – 2$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $9x = 18$

বা, $x = \frac{18}{9}$

বা, $x = 2$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 2$

সমাধান:

$4x – 2x + 3 = 9 – 4x$

বা, $2x + 3 = 9 – 4x$

বা, $2x + 4x = 9 – 3$ [$x$ যুক্ত পদগুলিকে বামদিকে এনে]

বা, $6x = 6$

বা, $x = \frac{6}{6}$

বা, $x = 1$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 1$

সমাধান:

$\frac{x}{4} – \frac{x}{2} = \frac{7}{2} – \frac{x}{3}$ [$3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$]

বা, $\frac{x}{4} – \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{7}{2}$ [$x$ যুক্ত পদগুলিকে বামদিকে এনে]

বা, $\frac{3x – 6x + 4x}{12} = \frac{7}{2}$ [$4, 2, 3$ এর ল.সা.গু. $12$]

বা, $\frac{x}{12} = \frac{7}{2}$

বা, $2x = 12 \times 7$

বা, $2x = 84$

বা, $x = \frac{84}{2}$

বা, $x = 42$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 42$

সমাধান:

$2x – 5\{7 – x + 6 + 3x\} – 28 = 39$ [প্রথম বন্ধনী তুলে]

বা, $2x – 5\{13 + 2x\} – 28 = 39$ [দ্বিতীয় বন্ধনীর ভিতরের কাজ করে]

বা, $2x – 65 – 10x – 28 = 39$ [$-5$ দিয়ে গুণ করে]

বা, $-8x – 93 = 39$

বা, $-8x = 39 + 93$

বা, $-8x = 132$

বা, $x = \frac{132}{-8}$

বা, $x = -\frac{33}{2}$

বা, $x = -16.5$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = -16.5$

সমাধান:

সমীকরণের উভয়দিকে $3, 4, 5$ এর ল.সা.গু. $60$ দিয়ে গুণ করে পাই,

$60 \times \frac{1}{3}(x – 2) + 60 \times \frac{1}{4}(x + 3) = 60 \times \frac{1}{5}(x + 4) + 60 \times 15$

বা, $20(x – 2) + 15(x + 3) = 12(x + 4) + 900$

বা, $20x – 40 + 15x + 45 = 12x + 48 + 900$

বা, $35x + 5 = 12x + 948$

বা, $35x – 12x = 948 – 5$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $23x = 943$

বা, $x = \frac{943}{23}$

বা, $x = 41$

উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 41$