অষ্টম শ্রেণী গণিত: ঘনফল নির্ণয় কষে দেখি – 5.1

সমাধান:

বড়ো ঘনকটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $5$ সেমি.

$\therefore$ বড়ো ঘনকটির আয়তন = $(\text{বাহু})^3 = (5)^3$ ঘনসেমি. = $125$ ঘনসেমি.

ছোটো ঘনকটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $1$ সেমি.

$\therefore$ ছোটো ঘনকটির আয়তন = $(1)^3$ ঘনসেমি. = $1$ ঘনসেমি.

বড়ো ঘনকটি তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ছোটো ঘনকের সংখ্যা হবে বড়ো ঘনকের আয়তন ও ছোটো ঘনকের আয়তনের অনুপাত।

নির্ণেয় ঘনক সংখ্যা = $\frac{\text{বড়ো ঘনকের আয়তন}}{\text{ছোটো ঘনকের আয়তন}}$

$= \frac{125}{1}$ টি

$= 125$ টি

উত্তর: 125 টি ঘনক লাগবে।

সমাধান:

ছোটো ঘনকগুলি দিয়ে একটি বড়ো নিরেট ঘনক তৈরি করতে হলে, ছোটো ঘনকের মোট সংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণঘন সংখ্যা (Perfect Cube) হতে হবে। আমরা প্রতিটি সংখ্যা যাচাই করে দেখি:

• (i) 100: $100 = 10^2$। এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিন্তু পূর্ণঘন সংখ্যা নয় (কারণ $4^3 = 64$ এবং $5^3 = 125$)। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে না।
• (ii) 1000: $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$। এটি একটি পূর্ণঘন সংখ্যা। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে।
• (iii) 1331: $1331 = 11 \times 11 \times 11 = 11^3$। এটি একটি পূর্ণঘন সংখ্যা। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে।
• (iv) 1210: এই সংখ্যাটির শেষে একটি শূন্য আছে, যা পূর্ণঘন সংখ্যার ধর্ম নয় (পূর্ণঘন সংখ্যার শেষে শূন্য থাকলে তা তিনটি বা তিনের গুণিতক সংখ্যক হতে হয়)। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে না।
• (v) 3375: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
  $3375 = 5 \times 675 = 5 \times 25 \times 27 = 5 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3$
  $= 5^3 \times 3^3 = (15)^3$। এটি একটি পূর্ণঘন সংখ্যা। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে।
• (vi) 2700: $2700 = 27 \times 100 = 3^3 \times 10^2$। এটি পূর্ণঘন নয়। তাই এটি দিয়ে ঘনক হবে না।

উত্তর: (ii) 1000, (iii) 1331 এবং (v) 3375 সংখ্যক ঘনকের ক্ষেত্রে মনামী বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে।

সমাধান:

আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে যাচাই করব। পূর্ণঘন হতে হলে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত 3 বা 3-এর গুণিতক হতে হবে।

• (i) 216:

  $216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 = (6)^3$

  এটি একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।

• (ii) 343:

  $343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^3$

  এটি একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।

• (iii) 1024:

  $1024 = 2^{10}$

  এখানে সূচক 10, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই এটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

• (iv) 324:

  $324 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^4$

  এখানে 2 এবং 3-এর সূচক 3-এর গুণিতক নয়। তাই এটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

• (v) 1744:

  $1744 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 109 = 2^4 \times 109$

  এটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

• (vi) 1372:

  $1372 = 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7 = 2^2 \times 7^3$

  এখানে 2-এর সূচক 2, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাই এটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

উত্তর: পূর্ণঘন সংখ্যা নয় এমন সংখ্যাগুলি হলো: 1024, 324, 1744 এবং 1372।

সমাধান:

প্রদত্ত আয়তঘনের মাত্রাগুলি হলো: $4$ সেমি., $3$ সেমি. এবং $3$ সেমি.।

এই আয়তঘনগুলি জুড়ে সবচেয়ে ছোট যে ঘনকটি তৈরি করা যাবে, তার বাহুর দৈর্ঘ্য হবে আয়তঘনের মাত্রাগুলির ল.সা.গু. (LCM)।

এখন, $4, 3, 3$-এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি:

$4 = 2 \times 2$

$3 = 3$

$\therefore$ ল.সা.গু. $= 4 \times 3 = 12$

অর্থাৎ, নির্ণেয় ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $12$ সেমি.।

এখন,

নতুন ঘনকটির আয়তন = $(12)^3$ ঘনসেমি. = $12 \times 12 \times 12$ ঘনসেমি.

একটি আয়তঘনের আয়তন = $4 \times 3 \times 3$ ঘনসেমি.

$\therefore$ প্রয়োজনীয় আয়তঘনের সংখ্যা = $\frac{\text{ঘনকের আয়তন}}{\text{একটি আয়তঘনের আয়তন}}$

$= \frac{12 \times 12 \times 12}{4 \times 3 \times 3}$

$= \frac{12}{4} \times \frac{12}{3} \times \frac{12}{3}$

$= 3 \times 4 \times 4$

$= 48$

উত্তর: দেবনাথ 48 টি আয়তঘন জুড়ে ঘনক তৈরি করতে পারবে।

সমাধান:

আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দেখব কোন উৎপাদকটি তিনটির দলে (triplets) নেই। পূর্ণঘন হতে হলে প্রতিটি উৎপাদক তিনবার থাকতে হবে।

(i) 675:

$675 = 5 \times 135 = 5 \times 5 \times 27 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3$

$= (3 \times 3 \times 3) \times (5 \times 5)$

এখানে $3$-এর দল পূর্ণ আছে কিন্তু $5$ আছে দুটি। পূর্ণঘন হতে হলে আরও একটি $5$ প্রয়োজন।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $5$।

(ii) 200:

$200 = 2 \times 100 = 2 \times 10 \times 10 = 2 \times (2 \times 5) \times (2 \times 5)$

$= (2 \times 2 \times 2) \times (5 \times 5)$

এখানে $2$-এর দল পূর্ণ আছে কিন্তু $5$ আছে দুটি। পূর্ণঘন হতে হলে আরও একটি $5$ প্রয়োজন।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $5$।

(iii) 108:

$108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

$= (3 \times 3 \times 3) \times (2 \times 2)$

এখানে $3$-এর দল পূর্ণ আছে কিন্তু $2$ আছে দুটি। পূর্ণঘন হতে হলে আরও একটি $2$ প্রয়োজন।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $2$।

(iv) 121:

$121 = 11 \times 11$

এখানে $11$ আছে দুটি। পূর্ণঘন হতে হলে আরও একটি $11$ প্রয়োজন।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $11$।

(v) 1225:

$1225 = 5 \times 245 = 5 \times 5 \times 49 = 5 \times 5 \times 7 \times 7$

এখানে দুটি $5$ এবং দুটি $7$ আছে। পূর্ণঘন হতে হলে আরও একটি $5$ এবং একটি $7$ প্রয়োজন।

সুতরাং, গুণ করতে হবে $= 5 \times 7 = 35$ দিয়ে।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $35$।

উত্তর: (i) 5, (ii) 5, (iii) 2, (iv) 11, (v) 35

সমাধান:

এখানে আমরা দেখব কোন উৎপাদকগুলি তিনটির দলে (triplets) নেই। সেই অতিরিক্ত উৎপাদকগুলি দিয়ে ভাগ করলেই ভাগফল পূর্ণঘন হবে।

(i) 7000:

$7000 = 7 \times 1000 = 7 \times 10^3$

$= 7 \times (10 \times 10 \times 10)$

এখানে $10$ তিনবার আছে, কিন্তু $7$ অতিরিক্ত একটি উৎপাদক।

$\therefore$ $7$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(ii) 2662:

$2662 = 2 \times 1331$

আমরা জানি, $1331 = 11 \times 11 \times 11$

$\therefore 2662 = 2 \times (11 \times 11 \times 11)$

এখানে $2$ অতিরিক্ত উৎপাদক।

$\therefore$ $2$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(iii) 4394:

$4394 = 2 \times 2197$

আমরা জানি, $2197 = 13 \times 13 \times 13$

$\therefore 4394 = 2 \times (13 \times 13 \times 13)$

এখানে $2$ অতিরিক্ত উৎপাদক।

$\therefore$ $2$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(iv) 6750:

$6750 = 10 \times 675 = (2 \times 5) \times (25 \times 27) = 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3$

$= 2 \times (5 \times 5 \times 5) \times (3 \times 3 \times 3)$

এখানে $5$ এবং $3$ উভয়েই তিনবার করে আছে, কিন্তু $2$ একটি অতিরিক্ত উৎপাদক।

$\therefore$ $2$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(v) 675:

$675 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3$

$= (3 \times 3 \times 3) \times (5 \times 5)$

এখানে $3$ তিনবার আছে, কিন্তু দুটি $5$ ($5 \times 5 = 25$) অতিরিক্ত।

$\therefore$ $25$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

উত্তর: (i) 7, (ii) 2, (iii) 2, (iv) 2, (v) 25

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$512 = 2 \times 256$

$= 2 \times 2 \times 128$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 64$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 32$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 16$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 8$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

তিনটি করে একই উৎপাদকের দল গঠন করে পাই:

$= (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)$

$= 2^3 \times 2^3 \times 2^3$

$= (2 \times 2 \times 2)^3$

$= 8^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $\sqrt[3]{512} = 8$

উত্তর: ঘনমূল 8

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$1728 = 2 \times 864$

$= 2 \times 2 \times 432$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 216$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 108$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 54$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 27$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

তিনটি করে একই উৎপাদকের দল গঠন করে পাই:

$= (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3)$

$= 2^3 \times 2^3 \times 3^3$

$= (2 \times 2 \times 3)^3$

$= 12^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $\sqrt[3]{1728} = 12$

উত্তর: ঘনমূল 12

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$5832 = 2 \times 2916$

$= 2 \times 2 \times 1458$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 729$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 243$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 81$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 27$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

তিনটি করে একই উৎপাদকের দল গঠন করে পাই:

$= (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3)$

$= 2^3 \times 3^3 \times 3^3$

$= (2 \times 3 \times 3)^3$

$= 18^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $\sqrt[3]{5832} = 18$

উত্তর: ঘনমূল 18

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$15625 = 5 \times 3125$

$= 5 \times 5 \times 625$

$= 5 \times 5 \times 5 \times 125$

$= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 25$

$= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$

তিনটি করে একই উৎপাদকের দল গঠন করে পাই:

$= (5 \times 5 \times 5) \times (5 \times 5 \times 5)$

$= 5^3 \times 5^3$

$= (5 \times 5)^3$

$= 25^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $\sqrt[3]{15625} = 25$

উত্তর: ঘনমূল 25

সমাধান:

মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

$10648 = 2 \times 5324$

$= 2 \times 2 \times 2662$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 1331$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 121$

$= 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11$

তিনটি করে একই উৎপাদকের দল গঠন করে পাই:

$= (2 \times 2 \times 2) \times (11 \times 11 \times 11)$

$= 2^3 \times 11^3$

$= (2 \times 11)^3$

$= 22^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $\sqrt[3]{10648} = 22$

উত্তর: ঘনমূল 22