অষ্টম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি – 13.2 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 2a^2+5a+2$

$= 2a^2+(4+1)a+2$

$= 2a^2+4a+a+2$

$= 2a(a+2)+1(a+2)$

$= (a+2)(2a+1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a+2)(2a+1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 3x^2+14x+8$

$= 3x^2+(12+2)x+8$

$= 3x^2+12x+2x+8$

$= 3x(x+4)+2(x+4)$

$= (x+4)(3x+2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x+4)(3x+2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 2m^2+7m+6$

$= 2m^2+(4+3)m+6$

$= 2m^2+4m+3m+6$

$= 2m(m+2)+3(m+2)$

$= (m+2)(2m+3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(m+2)(2m+3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6x^2-x-15$

$= 6x^2-(10-9)x-15$

$= 6x^2-10x+9x-15$

$= 2x(3x-5)+3(3x-5)$

$= (3x-5)(2x+3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3x-5)(2x+3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 9r^2+r-8$

$= 9r^2+(9-8)r-8$

$= 9r^2+9r-8r-8$

$= 9r(r+1)-8(r+1)$

$= (r+1)(9r-8)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(r+1)(9r-8)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6m^2 – 11mn – 10n^2$

$= 6m^2 – (15 – 4)mn – 10n^2$

$= 6m^2 – 15mn + 4mn – 10n^2$

$= 3m(2m – 5n) + 2n(2m – 5n)$

$= (2m – 5n)(3m + 2n)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(2m – 5n)(3m + 2n)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 7x^2 + 48xy – 7y^2$

$= 7x^2 + (49 – 1)xy – 7y^2$

$= 7x^2 + 49xy – xy – 7y^2$

$= 7x(x + 7y) – y(x + 7y)$

$= (x + 7y)(7x – y)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 7y)(7x – y)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 12 + x – 6x^2$

$= 12 + (9 – 8)x – 6x^2$

$= 12 + 9x – 8x – 6x^2$

$= 3(4 + 3x) – 2x(4 + 3x)$

$= (4 + 3x)(3 – 2x)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(4 + 3x)(3 – 2x)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6 + 5a – 6a^2$

$= 6 + (9 – 4)a – 6a^2$

$= 6 + 9a – 4a – 6a^2$

$= 3(2 + 3a) – 2a(2 + 3a)$

$= (2 + 3a)(3 – 2a)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(2 + 3a)(3 – 2a)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6x^2 – 13x + 6$

$= 6x^2 – (9 + 4)x + 6$

$= 6x^2 – 9x – 4x + 6$

$= 3x(2x – 3) – 2(2x – 3)$

$= (2x – 3)(3x – 2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(2x – 3)(3x – 2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 99a^2 – 202ab + 99b^2$

এখানে $99 \times 99 = 9801$

যেহেতু $121 + 81 = 202$ এবং $121 \times 81 = 9801$

$= 99a^2 – (121 + 81)ab + 99b^2$

$= 99a^2 – 121ab – 81ab + 99b^2$

$= 11a(9a – 11b) – 9b(9a – 11b)$

$= (9a – 11b)(11a – 9b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(9a – 11b)(11a – 9b)$

সমাধান:

ধরি, $a^3 = x$

প্রদত্ত রাশিমালা $= 2x^2 – 13x – 24$

$= 2x^2 – (16 – 3)x – 24$

$= 2x^2 – 16x + 3x – 24$

$= 2x(x – 8) + 3(x – 8)$

$= (x – 8)(2x + 3)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (a^3 – 8)(2a^3 + 3)$

$= (a^3 – 2^3)(2a^3 + 3)$

$= (a – 2)(a^2 + 2a + 4)(2a^3 + 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a – 2)(a^2 + 2a + 4)(2a^3 + 3)$

সমাধান:

ধরি, $a^2 = x$

প্রদত্ত রাশিমালা $= 8x^2 + 2x – 45$

$= 8x^2 + (20 – 18)x – 45$

$= 8x^2 + 20x – 18x – 45$

$= 4x(2x + 5) – 9(2x + 5)$

$= (2x + 5)(4x – 9)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (2a^2 + 5)(4a^2 – 9)$

$= (2a^2 + 5)((2a)^2 – 3^2)$

$= (2a^2 + 5)(2a + 3)(2a – 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(2a^2 + 5)(2a + 3)(2a – 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6(x – y)^2 – 1(x – y) – 15$

ধরি, $x – y = a$

$= 6a^2 – a – 15$

$= 6a^2 – (10 – 9)a – 15$

$= 6a^2 – 10a + 9a – 15$

$= 2a(3a – 5) + 3(3a – 5)$

$= (3a – 5)(2a + 3)$

এখন $a$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= \{3(x – y) – 5\}\{2(x – y) + 3\}$

$= (3x – 3y – 5)(2x – 2y + 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3x – 3y – 5)(2x – 2y + 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 3(a + b)^2 – 2(a + b) – 8$

ধরি, $a + b = x$

$= 3x^2 – 2x – 8$

$= 3x^2 – (6 – 4)x – 8$

$= 3x^2 – 6x + 4x – 8$

$= 3x(x – 2) + 4(x – 2)$

$= (x – 2)(3x + 4)$

এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= (a + b – 2)\{3(a + b) + 4\}$

$= (a + b – 2)(3a + 3b + 4)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + b – 2)(3a + 3b + 4)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 6(a + b)^2 + 5(a + b)(a – b) – 6(a – b)^2$

ধরি, $a + b = x$ এবং $a – b = y$

$= 6x^2 + 5xy – 6y^2$

$= 6x^2 + (9 – 4)xy – 6y^2$

$= 6x^2 + 9xy – 4xy – 6y^2$

$= 3x(2x + 3y) – 2y(2x + 3y)$

$= (2x + 3y)(3x – 2y)$

এখন $x$ ও $y$-এর মান বসিয়ে পাই,

$= \{2(a + b) + 3(a – b)\}\{3(a + b) – 2(a – b)\}$

$= (2a + 2b + 3a – 3b)(3a + 3b – 2a + 2b)$

$= (5a – b)(a + 5b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(5a – b)(a + 5b)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2 – 2x – 3$

$= x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 – 1^2 – 3$ [পূর্ণবর্গাকারে সাজানোর জন্য]

$= (x – 1)^2 – 1 – 3$

$= (x – 1)^2 – 4$

$= (x – 1)^2 – (2)^2$ [দুটি বর্গের অন্তররূপ]

$= (x – 1 + 2)(x – 1 – 2)$ [সূত্র: $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$]

$= (x + 1)(x – 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 1)(x – 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2 + 5x + 6$

$= x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6$

$= \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{25}{4} + 6$

$= \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{25 – 24}{4}\right)$

$= \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{1}{4}$

$= \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2$ [দুটি বর্গের অন্তররূপ]

$= \left(x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{5}{2} – \frac{1}{2}\right)$

$= \left(x + \frac{6}{2}\right) \left(x + \frac{4}{2}\right)$

$= (x + 3)(x + 2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 3)(x + 2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 3(x^2 – \frac{7}{3}x – 2)$

$= 3 \left\{ (x)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{7}{6} + \left(\frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{7}{6}\right)^2 – 2 \right\}$

$= 3 \left\{ \left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \frac{49}{36} – 2 \right\}$

$= 3 \left\{ \left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{49 + 72}{36}\right) \right\}$

$= 3 \left\{ \left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \frac{121}{36} \right\}$

$= 3 \left\{ \left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{11}{6}\right)^2 \right\}$ [দুটি বর্গের অন্তররূপ]

$= 3 \left(x – \frac{7}{6} + \frac{11}{6}\right) \left(x – \frac{7}{6} – \frac{11}{6}\right)$

$= 3 \left(x + \frac{4}{6}\right) \left(x – \frac{18}{6}\right)$

$= 3 \left(x + \frac{2}{3}\right) (x – 3)$

$= \left(3x + 3 \cdot \frac{2}{3}\right) (x – 3)$

$= (3x + 2)(x – 3)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3x + 2)(x – 3)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= 3(a^2 – \frac{2}{3}a – \frac{5}{3})$

$= 3 \left\{ (a)^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \frac{5}{3} \right\}$

$= 3 \left\{ \left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \frac{1}{9} – \frac{5}{3} \right\}$

$= 3 \left\{ \left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{1 + 15}{9}\right) \right\}$

$= 3 \left\{ \left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \frac{16}{9} \right\}$

$= 3 \left\{ \left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{4}{3}\right)^2 \right\}$ [দুটি বর্গের অন্তররূপ]

$= 3 \left(a – \frac{1}{3} + \frac{4}{3}\right) \left(a – \frac{1}{3} – \frac{4}{3}\right)$

$= 3 \left(a + \frac{3}{3}\right) \left(a – \frac{5}{3}\right)$

$= 3 (a + 1) \left(a – \frac{5}{3}\right)$

$= (a + 1) (3a – 5)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + 1)(3a – 5)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= ax^2 + a^2x + x + a$

$= ax(x + a) + 1(x + a)$

$= (x + a)(ax + 1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + a)(ax + 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= x^2 + 2ax + (a^2 – b^2)$

$= (x^2 + 2ax + a^2) – b^2$

$= (x + a)^2 – b^2$

$= (x + a + b)(x + a – b)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + a + b)(x + a – b)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= ax^2 – a^2x – x + a$

$= ax(x – a) – 1(x – a)$

$= (x – a)(ax – 1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x – a)(ax – 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= ax^2 + a^2x – x – a$

$= ax(x + a) – 1(x + a)$

$= (x + a)(ax – 1)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + a)(ax – 1)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= ax^2 – a^2x + 2x – 2a$

$= ax(x – a) + 2(x – a)$

$= (x – a)(ax + 2)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x – a)(ax + 2)$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা $= a^2 + (3 – 2) – \frac{6}{a^2}$

$= a^2 + 3 – 2 – \frac{6}{a^2}$

$= a^2 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} – \frac{6}{a^2}$
[এখানে $1 = a \cdot \frac{1}{a}$ ধরা হয়েছে]

$= a\left(a + \frac{3}{a}\right) – \frac{2}{a}\left(a + \frac{3}{a}\right)$

$= \left(a + \frac{3}{a}\right)\left(a – \frac{2}{a}\right)$

নির্ণেয় উৎপাদক: $\left(a + \frac{3}{a}\right)\left(a – \frac{2}{a}\right)$