অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 8

সমাধান:

ধরি, দুটি সমান্তরাল সরলরেখা $AB$ ও $CD$-কে একটি ছেদক $EF$ যথাক্রমে $G$ ও $H$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

• অনুরূপ কোণ (4 জোড়া):
  1. $\angle AGE$ ও $\angle GHC$
  2. $\angle EGB$ ও $\angle GHD$
  3. $\angle AGH$ ও $\angle CHF$
  4. $\angle BGH$ ও $\angle DHF$
• একান্তর কোণ (2 জোড়া):
  1. $\angle AGH$ ও $\angle GHD$
  2. $\angle BGH$ ও $\angle GHC$
• একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ (2 জোড়া):
  1. $\angle AGH$ ও $\angle GHC$ (এদের সমষ্টি $180^{\circ}$)
  2. $\angle BGH$ ও $\angle GHD$ (এদের সমষ্টি $180^{\circ}$)

(মন্তব্য: চাঁদার সাহায্যে মাপলে দেখা যাবে অনুরূপ কোণগুলি সমান, একান্তর কোণগুলি সমান এবং অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$।)

(a) সমাধান:

প্রদত্ত: $\angle 1 = 35^{\circ}$

• $\angle 3 = 35^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle 2 = 180^{\circ} – 35^{\circ} = 145^{\circ}$ (সরলরেখার ওপর অবস্থিত কোণ)
• $\angle 4 = 145^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)

উত্তর: $\angle 2 = 145^{\circ}, \angle 3 = 35^{\circ}, \angle 4 = 145^{\circ}$

(b) সমাধান:

প্রদত্ত: $\angle ROQ = 60^{\circ}$ এবং $\angle TOS = 20^{\circ}$

• $\angle POS = \angle ROQ = 60^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle POT = \angle POS – \angle TOS = 60^{\circ} – 20^{\circ} = 40^{\circ}$
• $\angle ROP = 180^{\circ} – \angle ROQ = 180^{\circ} – 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (রৈখিক যুগল)
• $\angle QOS = \angle ROP = 120^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)

উত্তর: $\angle POT = 40^{\circ}, \angle ROP = 120^{\circ}, \angle QOS = 120^{\circ}$

(a) সমাধান:

• $x$ ও $55^{\circ}$ একই সরলরেখায় অবস্থিত সন্নিহিত কোণ।
  $\therefore x = 180^{\circ} – 55^{\circ} = 125^{\circ}$
• $y$ ও $55^{\circ}$ পরস্পর অনুরূপ কোণ (Corresponding Angles)।
  $\therefore y = 55^{\circ}$

উত্তর: $x = 125^{\circ}, y = 55^{\circ}$

(b) সমাধান:

• $x$ ও $68^{\circ}$ ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ (Consecutive Interior Angles)।
• আমরা জানি, সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$।
• $\therefore x + 68^{\circ} = 180^{\circ}$
• বা, $x = 180^{\circ} – 68^{\circ} = 112^{\circ}$

উত্তর: $x = 112^{\circ}$

(c) সমাধান:

• $x$ ও $100^{\circ}$ পরস্পর একান্তর কোণ (Alternate Interior Angles)।
• সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে একান্তর কোণগুলি সমান হয়।
• $\therefore x = 100^{\circ}$

উত্তর: $x = 100^{\circ}$

সমাধান:

প্রদত্ত কোণ $= 50^{\circ}$ (ধরি এটি $\angle A$)

• $\angle 1$ ও $50^{\circ}$ রৈখিক যুগল। $\therefore \angle 1 = 180^{\circ} – 50^{\circ} = 130^{\circ}$
• $\angle 2$ ও $50^{\circ}$ বিপ্রতীপ কোণের অনুরূপ অবস্থানে নেই, কিন্তু $\angle 2$ হলো $\angle 1$-এর রৈখিক যুগল অথবা $50^{\circ}$ কোণের বিপ্রতীপ কোণের রৈখিক যুগল। সহজভাবে, $\angle 2$ ও $50^{\circ}$ পরস্পর একান্তর বহিঃস্থ কোণ বা অনুরূপ সম্পর্কের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়।
  এখানে, $\angle 2$ ও $50^{\circ}$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণের অনুরূপ (Vertically Opposite)।
  $\therefore \angle 2 = 50^{\circ}$
• $\angle 3$ ও $\angle 1$ বিপ্রতীপ কোণ। $\therefore \angle 3 = 130^{\circ}$
• $\angle 4$ ও $\angle 1$ অনুরূপ কোণ। $\therefore \angle 4 = 130^{\circ}$
• $\angle 5$ ও $\angle 2$ অনুরূপ কোণ। $\therefore \angle 5 = 50^{\circ}$
• $\angle 6$ ও $\angle 3$ অনুরূপ কোণ। $\therefore \angle 6 = 130^{\circ}$
• $\angle 7$ ও $50^{\circ}$ একান্তর কোণ (Alternate Interior)। $\therefore \angle 7 = 50^{\circ}$

উত্তর:
$\angle 1 = 130^{\circ}, \angle 2 = 50^{\circ}, \angle 3 = 130^{\circ}$
$\angle 4 = 130^{\circ}, \angle 5 = 50^{\circ}, \angle 6 = 130^{\circ}, \angle 7 = 50^{\circ}$

(i) সমাধান:

চিত্রে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির মান $125^{\circ}$ এবং $30^{\circ}$।

আমরা জানি, সরলরেখা সমান্তরাল হলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়।

এখানে, $125^{\circ} + 30^{\circ} = 155^{\circ} \neq 180^{\circ}$।

$\therefore$ সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
(ii) সমাধান:

চিত্রে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির মান $120^{\circ}$ এবং $60^{\circ}$।

এখানে, $120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$।

$\therefore$ সরলরেখা দুটি সমান্তরাল।
(iii) সমাধান:

চিত্রে অনুরূপ অবস্থানে থাকা কোণ দুটির মান $75^{\circ}$ এবং $95^{\circ}$।

আমরা জানি, সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।

যেহেতু $75^{\circ} \neq 95^{\circ}$, তাই সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $\angle EGB = 50^{\circ}$।

• $\angle AGE + \angle EGB = 180^{\circ}$ (রৈখিক যুগল)
  $\therefore \angle AGE = 180^{\circ} – 50^{\circ} = 130^{\circ}$
• $\angle AGH = \angle EGB = 50^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle BGH = \angle AGE = 130^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle GHD = \angle AGH = 50^{\circ}$ (একান্তর কোণ)
• $\angle GHC = \angle BGH = 130^{\circ}$ (একান্তর কোণ)
• $\angle CHF = \angle GHD = 50^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle DHF = \angle GHC = 130^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)

উত্তর:
$\angle AGE = 130^{\circ}, \angle AGH = 50^{\circ}, \angle BGH = 130^{\circ}$
$\angle GHC = 130^{\circ}, \angle GHD = 50^{\circ}, \angle CHF = 50^{\circ}, \angle DHF = 130^{\circ}$

সমাধান:

মনে করি, B বিন্দুটি AP সরলরেখার বর্ধিতাংশের ওপর অবস্থিত এবং C বিন্দুটি AR সরলরেখার বর্ধিতাংশের ওপর অবস্থিত।

১. $\angle APR$ নির্ণয়:

যেহেতু A-P-B একটি সরলরেখা, তাই $\angle APR + \angle BPR = 180^{\circ}$

$\therefore \angle APR = 180^{\circ} – 155^{\circ} = 25^{\circ}$

২. $\angle ARP$ নির্ণয়:

চিত্রানুযায়ী, $\angle BPR = \angle BPQ + \angle QPR$

বা, $155^{\circ} = 40^{\circ} + \angle QPR$

$\therefore \angle QPR = 115^{\circ}$

যেহেতু $PQ || RS$, তাই ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle QPR + \angle PRS = 180^{\circ}$

বা, $115^{\circ} + \angle PRS = 180^{\circ} \Rightarrow \angle PRS = 65^{\circ}$

আবার, $\angle CRS = 70^{\circ}$। যেহেতু A-R-C একটি সরলরেখা, তাই $\angle ARS = 180^{\circ} – 70^{\circ} = 110^{\circ}$।

$\therefore \angle ARP = \angle ARS – \angle PRS = 110^{\circ} – 65^{\circ} = 45^{\circ}$

৩. $\angle PAR$ নির্ণয়:

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle PAR = 180^{\circ} – (\angle APR + \angle ARP)$

$= 180^{\circ} – (25^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} – 70^{\circ} = 110^{\circ}$

উত্তর: $\triangle APR$-এর কোণগুলি হলো $25^{\circ}, 45^{\circ}$ এবং $110^{\circ}$।

সমাধান:

ধরি, AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। P ও R বিন্দু যথাক্রমে AB ও CD-র ওপর অবস্থিত নয়, বরং দুটি মধ্যবর্তী কোণ তৈরি করেছে। Q বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে।

চিত্র অনুযায়ী, উপরের কোণটি $30^{\circ}$ এবং নীচের কোণটি $40^{\circ}$।

অঙ্কন: Q বিন্দু দিয়ে AB ও CD-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা EF অঙ্কন করি।

গণনা:

১. উপরের অংশের ক্ষেত্রে: একান্তর কোণ হিসেবে $\angle PQE = 30^{\circ}$।

২. নীচের অংশের ক্ষেত্রে: একান্তর কোণ হিসেবে $\angle RQE = 40^{\circ}$।

$\therefore \angle PQR = \angle PQE + \angle RQE = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ}$।

উত্তর: $\angle PQR = 70^{\circ}$

প্রদত্ত: $AB || CD$। $OP \perp AB$ এবং $OQ \perp CD$।

প্রামাণ্য বিষয়: P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ (Collinear)।

প্রমাণ:

১. O বিন্দু দিয়ে AB-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা EF অঙ্কন করি।

২. যেহেতু $AB || EF$ এবং $OP \perp AB$, তাই $OP \perp EF$।
$\therefore \angle POE = 90^{\circ}$।

৩. আবার, যেহেতু $AB || CD$ এবং $AB || EF$, তাই $CD || EF$।

৪. যেহেতু $CD || EF$ এবং $OQ \perp CD$, তাই $OQ \perp EF$।
$\therefore \angle QOE = 90^{\circ}$।

এখন, $\angle POQ = \angle POE + \angle QOE = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।

যেহেতু $\angle POQ$ এক সরলকোণ, তাই P, O এবং Q বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

(প্রমাণিত)

প্রদত্ত: ধরি, $\angle ABC$ এবং $\angle DEF$ দুটি কোণ। এদের বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল, অর্থাৎ $AB || DE$ এবং $BC || EF$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle ABC = \angle DEF$ অথবা $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$।

প্রমাণ:

ক্ষেত্র ১ (কোণ দুটি সমান):

ধরি, $BC$ এবং $DE$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

১. যেহেতু $AB || DE$, তাই $AB || DP$। $BC$ হলো ছেদক।

$\therefore \angle ABC = \angle DPC$ (অনুরূপ কোণ) … (i)

২. আবার, যেহেতু $BC || EF$, তাই $PC || EF$। $DE$ হলো ছেদক।

$\therefore \angle DPC = \angle DEF$ (অনুরূপ কোণ) … (ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই, $\angle ABC = \angle DEF$।

ক্ষেত্র ২ (কোণ দুটি সম্পূরক):

যদি বাহুগুলি বিপরীত দিকে সমান্তরাল হয়, তবে অনুরূপ কোণ এবং অন্তঃস্থ কোণের ধর্ম প্রয়োগ করে দেখা যায়:

ধরি, $\angle GEP$ কোণটি $\angle DEF$-এর সাথে রৈখিক যুগল গঠন করে ($\angle GEP + \angle DEF = 180^{\circ}$)।

উপরে প্রমাণিত অনুযায়ী, $\angle ABC = \angle GEP$।

$\therefore \angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$।

(প্রমাণিত)

প্রদত্ত: $ABCD$ একটি সামান্তরিক। $AC$ কর্ণ $\angle BAD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore \angle DAC = \angle BAC$ … (i)

প্রামাণ্য বিষয়: $AC$ কর্ণ $\angle BCD$-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ $\angle DCA = \angle BCA$।

প্রমাণ:

১. যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক, তাই $AD || BC$ এবং $AC$ ছেদক।

$\therefore \angle DAC = \angle BCA$ (একান্তর কোণ) … (ii)

২. আবার, $AB || DC$ এবং $AC$ ছেদক।

$\therefore \angle BAC = \angle DCA$ (একান্তর কোণ) … (iii)

৩. (i) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি, $\angle DAC = \angle BAC$।

সুতরাং, (ii) ও (iii) থেকে পাই:

$\angle BCA = \angle DCA$

অর্থাৎ, $AC$ কর্ণ $\angle BCD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

(প্রমাণিত)

প্রদত্ত: $ABCD$ একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ $\angle A = 90^{\circ}$।

প্রামাণ্য বিষয়: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$।

প্রমাণ:

১. যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক, তাই বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল ($AD || BC$)।

২. $AB$ হলো ছেদক। সুতরাং, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^{\circ}$।

$\therefore \angle A + \angle B = 180^{\circ}$

বা, $90^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$ [যেহেতু $\angle A = 90^{\circ}$]

বা, $\angle B = 180^{\circ} – 90^{\circ} = 90^{\circ}$

৩. আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

$\therefore \angle C = \angle A = 90^{\circ}$

এবং $\angle D = \angle B = 90^{\circ}$

সুতরাং, $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$। অর্থাৎ প্রতিটি কোণই সমকোণ।

(প্রমাণিত)