অষ্টম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি -14 লসাগু ও গসাগু

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 4a^2b^2 = 2 \times 2 \times a \times a \times b \times b$

দ্বিতীয় রাশি $= 20ab^2 = 2 \times 2 \times 5 \times a \times b \times b$

সাধারণ উৎপাদকগুলি হলো: $2, 2, a, b, b$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 2 \times 2 \times a \times b \times b = 4ab^2$

উত্তর: $4ab^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 5p^2q^2 = 5 \times p^2 \times q^2$

দ্বিতীয় রাশি $= 10p^2q^2 = 2 \times 5 \times p^2 \times q^2$

তৃতীয় রাশি $= 25p^4q^3 = 5 \times 5 \times p^4 \times q^3$

সাংখ্যমানগুলির গ.সা.গু. (5, 10, 25) $= 5$

$p$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= p^2$

$q$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= q^2$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 5p^2q^2$

উত্তর: $5p^2q^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 7y^3z^6 = 7 \times y^3 \times z^6$

দ্বিতীয় রাশি $= 21y^2 = 3 \times 7 \times y^2$

তৃতীয় রাশি $= 14z^2 = 2 \times 7 \times z^2$

সাংখ্যমানগুলির গ.সা.গু. (7, 21, 14) $= 7$

চলরাশিগুলির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই (কারণ তিনটি রাশিতে একসাথে কোনো চলরাশি উপস্থিত নেই)।

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 7$

উত্তর: $7$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 3a^2b^2c = 3 \times a^2 \times b^2 \times c$

দ্বিতীয় রাশি $= 12a^2b^4c^2 = 2 \times 2 \times 3 \times a^2 \times b^4 \times c^2$

তৃতীয় রাশি $= 9a^5b^4 = 3 \times 3 \times a^5 \times b^4$

সাংখ্যমানগুলির গ.সা.গু. (3, 12, 9) $= 3$

$a$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= a^2$

$b$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= b^2$

($c$ চলরাশিটি তিনটি রাশিতে সাধারণ নয়)

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 3a^2b^2$

উত্তর: $3a^2b^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 2x^2y^3$

দ্বিতীয় রাশি $= 10x^3y = 2 \times 5 \times x^3y$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (2, 10) $= 10$

$x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= x^3$

$y$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= y^3$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 10x^3y^3$

উত্তর: $10x^3y^3$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 7p^2q^3$

দ্বিতীয় রাশি $= 35p^3q = 5 \times 7 \times p^3q$

তৃতীয় রাশি $= 42pq^4 = 2 \times 3 \times 7 \times pq^4$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (7, 35, 42) $= 210$

$p$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= p^3$

$q$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= q^4$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 210p^3q^4$

উত্তর: $210p^3q^4$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 5a^5b$

দ্বিতীয় রাশি $= 15ab^2c = 3 \times 5 \times ab^2c$

তৃতীয় রাশি $= 25a^2b^2c^2 = 5 \times 5 \times a^2b^2c^2$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (5, 15, 25) $= 75$

$a$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= a^5$

$b$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= b^2$

$c$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= c^2$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 75a^5b^2c^2$

উত্তর: $75a^5b^2c^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 11a^2bc^2$

দ্বিতীয় রাশি $= 33a^2b^2c = 3 \times 11 \times a^2b^2c$

তৃতীয় রাশি $= 55a^2bc^2 = 5 \times 11 \times a^2bc^2$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (11, 33, 55) $= 165$

$a$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= a^2$

$b$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= b^2$

$c$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= c^2$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 165a^2b^2c^2$

উত্তর: $165a^2b^2c^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 5x(x+y)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^3-xy^2$

$= x(x^2-y^2)$

$= x(x+y)(x-y)$

উভয় রাশিতে সাধারণ উৎপাদক হলো: $x$ এবং $(x+y)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x(x+y)$

উত্তর: $x(x+y)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^3-3x^2y$

$= x^2(x-3y)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^2-9y^2$

$= (x)^2-(3y)^2$

$= (x+3y)(x-3y)$

উভয় রাশিতে সাধারণ উৎপাদক হলো: $(x-3y)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x-3y)$

উত্তর: $(x-3y)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 2ax(a-x)^2$

দ্বিতীয় রাশি $= 4a^2x(a-x)^3 = 2^2 \cdot a^2 \cdot x \cdot (a-x)^3$

সাংখ্যমানগুলির গ.সা.গু. (2, 4) $= 2$

$a$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= a$

$x$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= x$

$(a-x)$-এর সর্বনিম্ন ঘাত $= (a-x)^2$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 2ax(a-x)^2$

উত্তর: $2ax(a-x)^2$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2-1 = (x+1)(x-1)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^2-2x+1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$

তৃতীয় রাশি $= x^3+x^2-2x$

$= x(x^2+x-2)$

$= x(x^2+2x-x-2)$

$= x\{x(x+2)-1(x+2)\}$

$= x(x+2)(x-1)$

তিনটি রাশিতেই সাধারণ উৎপাদক হলো: $(x-1)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x-1)$

উত্তর: $(x-1)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= a^2-1 = (a+1)(a-1)$

দ্বিতীয় রাশি $= a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$

তৃতীয় রাশি $= a^2+a-2$

$= a^2+2a-a-2$

$= a(a+2)-1(a+2)$

$= (a+2)(a-1)$

তিনটি রাশিতেই সাধারণ উৎপাদক হলো: $(a-1)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (a-1)$

উত্তর: $(a-1)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2+3x+2$

$= x^2+2x+x+2 = x(x+2)+1(x+2) = (x+2)(x+1)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^2+4x+3$

$= x^2+3x+x+3 = x(x+3)+1(x+3) = (x+3)(x+1)$

তৃতীয় রাশি $= x^2+5x+6$

$= x^2+3x+2x+6 = x(x+3)+2(x+3) = (x+3)(x+2)$

তিনটি রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 1$

উত্তর: $1$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2+xy = x(x+y)$

দ্বিতীয় রাশি $= xz+yz = z(x+y)$

তৃতীয় রাশি $= x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 = (x+y)(x+y)$

তিনটি রাশিতেই সাধারণ উৎপাদক হলো: $(x+y)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x+y)$

উত্তর: $(x+y)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 8(x^2-4)$

$= 2^3(x^2-2^2)$

$= 2^3(x+2)(x-2)$

দ্বিতীয় রাশি $= 12(x^3+8)$

$= (2^2 \times 3)(x^3+2^3)$

$= 2^2 \times 3(x+2)(x^2-2x+4)$

তৃতীয় রাশি $= 36(x^2-3x-10)$

$= (2^2 \times 3^2)(x^2-5x+2x-10)$

$= 2^2 \times 3^2\{x(x-5)+2(x-5)\}$

$= 2^2 \times 3^2(x-5)(x+2)$

সাংখ্যমানগুলির গ.সা.গু. (8, 12, 36) $= 4$

সাধারণ উৎপাদক: $(x+2)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 4(x+2)$

উত্তর: $4(x+2)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= a^2-(b^2-2bc+c^2)$

$= a^2-(b-c)^2$

$= (a+b-c)(a-b+c)$

দ্বিতীয় রাশি $= b^2-(c^2-2ac+a^2)$

$= b^2-(c-a)^2$

$= (b+c-a)(b-c+a)$

তৃতীয় রাশি $= c^2-(a^2-2ab+b^2)$

$= c^2-(a-b)^2$

$= (c+a-b)(c-a+b)$

তিনটি রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 1$

উত্তর: $1$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x(x^2-16)$

$= x(x^2-4^2)$

$= x(x+4)(x-4)$

দ্বিতীয় রাশি $= x(2x^2+9x+4)$

$= x(2x^2+8x+x+4)$

$= x\{2x(x+4)+1(x+4)\}$

$= x(x+4)(2x+1)$

তৃতীয় রাশি $= x(2x^2+x-28)$

$= x(2x^2+8x-7x-28)$

$= x\{2x(x+4)-7(x+4)\}$

$= x(x+4)(2x-7)$

সাধারণ উৎপাদক: $x$ এবং $(x+4)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x(x+4)$

উত্তর: $x(x+4)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= (2x)^2-1^2$

$= (2x+1)(2x-1)$

দ্বিতীয় রাশি $= (2x)^3-1^3$

$= (2x-1)(4x^2+2x+1)$

তৃতীয় রাশি $= (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

$= (2x-1)^2$

$= (2x-1)(2x-1)$

সাধারণ উৎপাদক: $(2x-1)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (2x-1)$

উত্তর: $(2x-1)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x(x^2-3x-10)$

$= x(x^2-5x+2x-10)$

$= x\{x(x-5)+2(x-5)\}$

$= x(x-5)(x+2)$

দ্বিতীয় রাশি $= x(x^2+6x+8)$

$= x(x^2+4x+2x+8)$

$= x\{x(x+4)+2(x+4)\}$

$= x(x+4)(x+2)$

তৃতীয় রাশি $= x^2(x^2-5x-14)$

$= x^2(x^2-7x+2x-14)$

$= x^2\{x(x-7)+2(x-7)\}$

$= x^2(x-7)(x+2)$

সাধারণ উৎপাদক: $x$ এবং $(x+2)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x(x+2)$

উত্তর: $x(x+2)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 6x^2-9xa-4xa+6a^2$

$= 3x(2x-3a)-2a(2x-3a)$

$= (2x-3a)(3x-2a)$

দ্বিতীয় রাশি $= 6x^2+15xa-4xa-10a^2$

$= 3x(2x+5a)-2a(2x+5a)$

$= (2x+5a)(3x-2a)$

তৃতীয় রাশি $= 2(3x^2+xa-2a^2)$

$= 2(3x^2+3xa-2xa-2a^2)$

$= 2\{3x(x+a)-2a(x+a)\}$

$= 2(x+a)(3x-2a)$

সাধারণ উৎপাদক: $(3x-2a)$

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (3x-2a)$

উত্তর: $(3x-2a)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= p^2 – q^2 = (p + q)(p – q)$

দ্বিতীয় রাশি $= (p + q)^2 = (p + q)(p + q)$

উৎপাদকগুলি হলো: $(p + q)$ এবং $(p – q)$

$(p + q)$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= 2$

$(p – q)$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= 1$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (p + q)^2(p – q)$

উত্তর: $(p + q)^2(p – q)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2y^2 – x^2$

$= x^2(y^2 – 1)$

$= x^2(y + 1)(y – 1)$

দ্বিতীয় রাশি $= xy^2 – 2xy + x$

$= x(y^2 – 2y + 1)$

$= x(y – 1)^2$

$x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= x^2$

$(y – 1)$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= (y – 1)^2$

$(y + 1)$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= (y + 1)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x^2(y – 1)^2(y + 1)$

উত্তর: $x^2(y – 1)^2(y + 1)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= (p + q)(p + r)$

দ্বিতীয় রাশি $= (q + r)(r + p) = (q + r)(p + r)$

তৃতীয় রাশি $= (r + p)(p + q) = (p + r)(p + q)$

এখানে উৎপাদকগুলি হলো: $(p + q), (p + r), (q + r)$

প্রতিটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত $1$।

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (p + q)(q + r)(p + r)$

উত্তর: $(p + q)(q + r)(r + p)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= ab^4 – 8ab = ab(b^3 – 8)$

$= ab(b^3 – 2^3) = ab(b – 2)(b^2 + 2b + 4)$

দ্বিতীয় রাশি $= a^2b^4 + 8a^2b = a^2b(b^3 + 8)$

$= a^2b(b^3 + 2^3) = a^2b(b + 2)(b^2 – 2b + 4)$

তৃতীয় রাশি $= ab^4 – 4ab^2 = ab^2(b^2 – 4)$

$= ab^2(b^2 – 2^2) = ab^2(b + 2)(b – 2)$

ল.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য:

সাংখ্যিক সহগ: $ab, a^2b, ab^2$-এর ল.সা.গু. $= a^2b^2$

উৎপাদকগুলি: $(b – 2), (b + 2), (b^2 + 2b + 4), (b^2 – 2b + 4)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a^2b^2(b – 2)(b + 2)(b^2 + 2b + 4)(b^2 – 2b + 4)$

উত্তর: $a^2b^2(b – 2)(b + 2)(b^2 + 2b + 4)(b^2 – 2b + 4)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 – x^2y^2$

$= (x^2 + y^2)^2 – (xy)^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 – xy)$

$= (x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^3y + y^4 = y(x^3 + y^3)$

$= y(x + y)(x^2 – xy + y^2)$

তৃতীয় রাশি $= (x^2 – xy)^3 = \{x(x – y)\}^3 = x^3(x – y)^3$

সাংখ্যিক সহগ: $x^3y$

উৎপাদকগুলি: $(x + y), (x – y)^3, (x^2 + xy + y^2), (x^2 – xy + y^2)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x^3y(x + y)(x – y)^3(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$

উত্তর: $x^3y(x + y)(x – y)^3(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= p^2 + 2p = p(p + 2)$

দ্বিতীয় রাশি $= 2p^4 + 3p^3 – 2p^2 = p^2(2p^2 + 3p – 2)$

$= p^2(2p^2 + 4p – p – 2)$

$= p^2\{2p(p + 2) – 1(p + 2)\}$

$= p^2(p + 2)(2p – 1)$

তৃতীয় রাশি $= 2p^3 – 3p^2 – 14p = p(2p^2 – 3p – 14)$

$= p(2p^2 – 7p + 4p – 14)$

$= p\{p(2p – 7) + 2(2p – 7)\}$

$= p(2p – 7)(p + 2)$

$p$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= p^2$

অন্যান্য উৎপাদক: $(p + 2), (2p – 1), (2p – 7)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= p^2(p + 2)(2p – 1)(2p – 7)$

উত্তর: $p^2(p + 2)(2p – 1)(2p – 7)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2 – 2xz + z^2 – y^2$

$= (x – z)^2 – y^2$

$= (x – z + y)(x – z – y)$

$= (x + y – z)(x – y – z)$ [সাজিয়ে]

দ্বিতীয় রাশি $= x^2 – (y^2 – 2yz + z^2)$

$= x^2 – (y – z)^2$

$= (x + y – z)(x – (y – z))$

$= (x + y – z)(x – y + z)$

তৃতীয় রাশি $= xy + zx + (y^2 – z^2)$

$= x(y + z) + (y + z)(y – z)$

$= (y + z)(x + y – z)$

উৎপাদকগুলি: $(x + y – z), (x – y – z), (x – y + z), (y + z)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x + y – z)(x – y – z)(x – y + z)(y + z)$

উত্তর: $(x + y – z)(x – y – z)(x – y + z)(y + z)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^2 – 2xy + xy – 2y^2$

$= x(x – 2y) + y(x – 2y)$

$= (x – 2y)(x + y)$

দ্বিতীয় রাশি $= 2x^2 – 4xy – xy + 2y^2$

$= 2x(x – 2y) – y(x – 2y)$

$= (x – 2y)(2x – y)$

তৃতীয় রাশি $= 2x^2 + 2xy – xy – y^2$

$= 2x(x + y) – y(x + y)$

$= (x + y)(2x – y)$

উৎপাদকগুলি: $(x – 2y), (x + y), (2x – y)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (x + y)(x – 2y)(2x – y)$

উত্তর: $(x + y)(x – 2y)(2x – y)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 3(x^2 – 5x + 6)$

$= 3(x^2 – 3x – 2x + 6)$

$= 3\{x(x – 3) – 2(x – 3)\}$

$= 3(x – 3)(x – 2)$

দ্বিতীয় রাশি $= 2(x^2 + x – 12)$

$= 2(x^2 + 4x – 3x – 12)$

$= 2\{x(x + 4) – 3(x + 4)\}$

$= 2(x + 4)(x – 3)$

তৃতীয় রাশি $= 4(x^2 + 9x + 20)$

$= 4(x^2 + 5x + 4x + 20)$

$= 4\{x(x + 5) + 4(x + 5)\}$

$= 4(x + 5)(x + 4)$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (3, 2, 4) $= 12$

উৎপাদকগুলি: $(x – 2), (x – 3), (x + 4), (x + 5)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 12(x – 2)(x – 3)(x + 4)(x + 5)$

উত্তর: $12(x – 2)(x – 3)(x + 4)(x + 5)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= \{a(a + 2)\}^2 = a^2(a + 2)^2$

দ্বিতীয় রাশি $= a(2a^2 + 3a – 2)$

$= a(2a^2 + 4a – a – 2)$

$= a\{2a(a + 2) – 1(a + 2)\}$

$= a(a + 2)(2a – 1)$

তৃতীয় রাশি $= a^2(2a^2 – 3a – 14)$

$= a^2(2a^2 – 7a + 4a – 14)$

$= a^2\{a(2a – 7) + 2(2a – 7)\}$

$= a^2(2a – 7)(a + 2)$

$a$-এর সর্বোচ্চ ঘাত $= a^2$

অন্যান্য উৎপাদক: $(a + 2)^2, (2a – 1), (2a – 7)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a^2(a + 2)^2(2a – 1)(2a – 7)$

উত্তর: $a^2(a + 2)^2(2a – 1)(2a – 7)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 3a^2 – 9ab + 4ab – 12b^2$

$= 3a(a – 3b) + 4b(a – 3b)$

$= (a – 3b)(3a + 4b)$

দ্বিতীয় রাশি $= a^2(a^3 – 27b^3)$

$= a^2\{(a)^3 – (3b)^3\}$

$= a^2(a – 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$

তৃতীয় রাশি $= (3a)^2 + 2(3a)(4b) + (4b)^2$

$= (3a + 4b)^2$

উৎপাদকগুলি: $a^2, (a – 3b), (3a + 4b)^2, (a^2 + 3ab + 9b^2)$

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a^2(a – 3b)(3a + 4b)^2(a^2 + 3ab + 9b^2)$

উত্তর: $a^2(a – 3b)(3a + 4b)^2(a^2 + 3ab + 9b^2)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x^3 – 2^3$

$= (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^2 + 5x – 2x – 10$

$= x(x + 5) – 2(x + 5)$

$= (x + 5)(x – 2)$

তৃতীয় রাশি $= x(x^2 + 2x – 8)$

$= x(x^2 + 4x – 2x – 8)$

$= x\{x(x + 4) – 2(x + 4)\}$

$= x(x + 4)(x – 2)$

সাধারণ উৎপাদক: $(x – 2)$

সর্বোচ্চ ঘাতযুক্ত উৎপাদকগুলি: $x, (x – 2), (x + 5), (x + 4), (x^2 + 2x + 4)$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x – 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= x(x – 2)(x + 4)(x + 5)(x^2 + 2x + 4)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= 3(y^2 – 5y + 6)$

$= 3(y^2 – 3y – 2y + 6)$

$= 3\{y(y – 3) – 2(y – 3)\}$

$= 3(y – 3)(y – 2)$

দ্বিতীয় রাশি $= 2(y^2 + y – 12)$

$= 2(y^2 + 4y – 3y – 12)$

$= 2\{y(y + 4) – 3(y + 4)\}$

$= 2(y + 4)(y – 3)$

তৃতীয় রাশি $= 4(y^2 + 9y + 20)$

$= 4(y^2 + 5y + 4y + 20)$

$= 4\{y(y + 5) + 4(y + 5)\}$

$= 2^2(y + 5)(y + 4)$

তিনটি রাশির মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (3, 2, 4) $= 12$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 1$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 12(y – 2)(y – 3)(y + 4)(y + 5)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= a(a^2 – 4a + 4)$

$= a(a – 2)^2$

দ্বিতীয় রাশি $= a^2 + 3a – 2a – 6$

$= a(a + 3) – 2(a + 3)$

$= (a + 3)(a – 2)$

তৃতীয় রাশি $= a^3 – 2^3$

$= (a – 2)(a^2 + 2a + 4)$

সাধারণ উৎপাদক: $(a – 2)$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (a – 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= a(a – 2)^2(a + 3)(a^2 + 2a + 4)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= (a^2 + 2ab + b^2) – c^2$

$= (a + b)^2 – c^2$

$= (a + b + c)(a + b – c)$

দ্বিতীয় রাশি $= (c^2 + 2ca + a^2) – b^2$

$= (c + a)^2 – b^2$

$= (c + a + b)(c + a – b)$

$= (a + b + c)(a – b + c)$

তৃতীয় রাশি $= (b^2 + 2bc + c^2) – a^2$

$= (b + c)^2 – a^2$

$= (b + c + a)(b + c – a)$

$= (a + b + c)(b + c – a)$

সাধারণ উৎপাদক: $(a + b + c)$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (a + b + c)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= (a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(b + c – a)$

সমাধান:

প্রথম রাশি $= x(x^2 – 4)$

$= x(x + 2)(x – 2)$

দ্বিতীয় রাশি $= 4(x^2 – 3x – 2x + 6)$

$= 2^2\{x(x – 3) – 2(x – 3)\}$

$= 2^2(x – 3)(x – 2)$

তৃতীয় রাশি $= (x – 2)^2$ [পূর্ণবর্গ সূত্র]

সাধারণ উৎপাদক: $(x – 2)$

সাংখ্যমানগুলির ল.সা.গু. (1, 4, 1) $= 4$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= (x – 2)$
নির্ণেয় ল.সা.গু. $= 4x(x + 2)(x – 2)^2(x – 3)$