অষ্টম শ্রেণি গণিত: কষে দেখি -19 সমীকরণ গঠন ও সমাধান
কোষে দেখি – 19 (অষ্টম শ্রেণী) : সমীকরণ গঠন ও সমাধান
1. সীমা একটি সংখ্যা লিখেছে যার দ্বিগুণের সঙ্গে $2$ যোগ করলে যা হয় তা সংখ্যাটির তিনগুণের চেয়ে $5$ ছোটো। সীমার লেখা সংখ্যাটি লিখি।
ধরি, সীমার লেখা সংখ্যাটি হলো $x$।
সংখ্যাটির দ্বিগুণ হলো $2x$ এবং তিনগুণ হলো $3x$।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটির দ্বিগুণের সঙ্গে $2$ যোগ করলে যে মান পাওয়া যায় ($2x+2$), তা সংখ্যাটির তিনগুণ ($3x$) অপেক্ষা $5$ কম।
সমীকরণ গঠন:
$2x + 2 = 3x – 5$
সমাধান:
বা, $2 + 5 = 3x – 2x$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $7 = x$
$\therefore x = 7$
উত্তর: সীমার লেখা সংখ্যাটি হলো $7$।
2. তিনটি ক্রমিক সংখ্যা লিখি যাদের যোগফল থেকে $5$ বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি মাঝের সংখ্যার দ্বিগুণের চেয়ে $11$ বেশি হয়। ক্রমিক সংখ্যা তিনটি লিখি।
ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো $x, (x+1)$ এবং $(x+2)$।
মাঝের সংখ্যাটি হলো $(x+1)$।
সংখ্যা তিনটির যোগফল $= x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3$।
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে,
$(3x + 3) – 5 = 2(x + 1) + 11$
সমাধান:
বা, $3x – 2 = 2x + 2 + 11$
বা, $3x – 2 = 2x + 13$
বা, $3x – 2x = 13 + 2$
বা, $x = 15$
সংখ্যা তিনটি হলো:
১ম সংখ্যা: $15$
২য় সংখ্যা: $15 + 1 = 16$
৩য় সংখ্যা: $15 + 2 = 17$
উত্তর: ক্রমিক সংখ্যা তিনটি হলো $15, 16$ এবং $17$।
3. আমি এমন একটি সংখ্যা খুঁজি যার এক-তৃতীয়াংশ থেকে তার এক-চতুর্থাংশ $1$ কম।
ধরি, সংখ্যাটি হলো $x$।
সংখ্যাটির এক-তৃতীয়াংশ $= \frac{x}{3}$
সংখ্যাটির এক-চতুর্থাংশ $= \frac{x}{4}$
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে, এক-তৃতীয়াংশ এক-চতুর্থাংশ অপেক্ষা $1$ বেশি (বা এক-চতুর্থাংশ ১ কম)।
$\frac{x}{3} – \frac{x}{4} = 1$
সমাধান:
বা, $\frac{4x – 3x}{12} = 1$ [ল.সা.গু ১২]
বা, $\frac{x}{12} = 1$
বা, $x = 12$
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো $12$।
4. আমি এমন একটি ভগ্নাংশ খুঁজি যার হর তার লব থেকে $2$ বড়ো এবং লবের সঙ্গে $3$ যোগ ও হর থেকে $3$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি $\frac{7}{3}$-এর সমান হয়।
ধরি, ভগ্নাংশটির লব $= x$।
যেহেতু হর লব অপেক্ষা $2$ বড়ো, তাই হর $= x + 2$।
$\therefore$ ভগ্নাংশটি হলো $\frac{x}{x+2}$।
সমীকরণ গঠন:
লবের সঙ্গে $3$ যোগ করলে হয় $(x+3)$।
হর থেকে $3$ বিয়োগ করলে হয় $(x+2-3)$।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{x+3}{(x+2)-3} = \frac{7}{3}$
সমাধান:
বা, $\frac{x+3}{x-1} = \frac{7}{3}$
বা, $7(x-1) = 3(x+3)$ [বজ্রগুণন করে]
বা, $7x – 7 = 3x + 9$
বা, $7x – 3x = 9 + 7$
বা, $4x = 16$
বা, $x = \frac{16}{4}$
$\therefore x = 4$
লব $x = 4$ এবং হর $x+2 = 4+2 = 6$।
ভগ্নাংশটি হলো $\frac{4}{6}$।
উত্তর: নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হলো $\frac{4}{6}$।
5. সুচেতা একটি ভগ্নাংশ লিখল যার হর তার লবের চেয়ে $3$ বড়ো। আবার ভগ্নাংশটির লবের সঙ্গে $2$ যোগ ও হর থেকে $1$ বিয়োগ এবং লব থেকে $1$ বিয়োগ ও হরের সঙ্গে $2$ যোগ করলে যে দুটি নতুন ভগ্নাংশ পাব তাদের গুণফল $\frac{2}{5}$। সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি লিখি।
ধরি, ভগ্নাংশটির লব $= x$।
যেহেতু হর লব অপেক্ষা $3$ বড়ো, তাই হর $= x + 3$।
$\therefore$ মূল ভগ্নাংশটি হলো $\frac{x}{x+3}$।
১ম নতুন ভগ্নাংশ:
লব $+ 2$ এবং হর $- 1$ হলে ভগ্নাংশটি হয়:
$\frac{x+2}{(x+3)-1} = \frac{x+2}{x+2} = 1$
২য় নতুন ভগ্নাংশ:
লব $- 1$ এবং হর $+ 2$ হলে ভগ্নাংশটি হয়:
$\frac{x-1}{(x+3)+2} = \frac{x-1}{x+5}$
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে, দুটি নতুন ভগ্নাংশের গুণফল $\frac{2}{5}$।
$1 \times \frac{x-1}{x+5} = \frac{2}{5}$
সমাধান:
বা, $\frac{x-1}{x+5} = \frac{2}{5}$
বা, $5(x-1) = 2(x+5)$ [বজ্রগুণন করে]
বা, $5x – 5 = 2x + 10$
বা, $5x – 2x = 10 + 5$
বা, $3x = 15$
বা, $x = 5$
$\therefore$ লব $x = 5$ এবং হর $x+3 = 5+3 = 8$।
ভগ্নাংশটি হলো $\frac{5}{8}$।
উত্তর: সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি হলো $\frac{5}{8}$।
6. রাজু দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা লিখল যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ এবং অঙ্ক দুটি স্থানবিনিময় করলে যে সংখ্যাটি তৈরি হবে তা মূল সংখ্যাটি থেকে $36$ কম। রাজুর লেখা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি লিখি।
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্কটি $= x$।
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্কটি $= 3x$।
$\therefore$ মূল সংখ্যাটি $= 10 \times (3x) + x = 30x + x = 31x$।
স্থানবিনিময় করলে:
একক অঙ্ক হয় $3x$ এবং দশক অঙ্ক হয় $x$।
নতুন সংখ্যাটি $= 10 \times x + 3x = 10x + 3x = 13x$।
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে, নতুন সংখ্যাটি মূল সংখ্যা থেকে $36$ কম।
$13x = 31x – 36$
সমাধান:
বা, $31x – 13x = 36$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $18x = 36$
বা, $x = \frac{36}{18}$
বা, $x = 2$
একক স্থানীয় অঙ্ক $= 2$।
দশক স্থানীয় অঙ্ক $= 3 \times 2 = 6$।
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো $62$।
উত্তর: রাজুর লেখা সংখ্যাটি হলো $62$।
7. দুটি সংখ্যার যোগফল $89$ এবং অন্তর $15$ হলে সংখ্যা দুটির মান খুঁজি।
ধরি, বড়ো সংখ্যাটি $= x$ এবং ছোটো সংখ্যাটি $= y$।
প্রশ্নানুসারে,
$x + y = 89 \quad \dots (i)$
$x – y = 15 \quad \dots (ii)$
সমাধান:
সমীকরণ $(i)$ ও $(ii)$ যোগ করে পাই:
$(x + y) + (x – y) = 89 + 15$
বা, $2x = 104$
বা, $x = \frac{104}{2} = 52$
এখন, $x$-এর মান ১নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$52 + y = 89$
বা, $y = 89 – 52$
বা, $y = 37$
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো $52$ এবং $37$।
8. $830$-কে এমন দুটি অংশে ভাগ করি যেন একটি অংশের $30\%$ অপর অংশের $40\%$ অপেক্ষা $4$ বেশি হয়।
ধরি, প্রথম অংশটি $= x$।
$\therefore$ দ্বিতীয় অংশটি $= (830 – x)$।
প্রথম অংশের $30\% = \frac{30x}{100} = \frac{3x}{10}$
দ্বিতীয় অংশের $40\% = \frac{40(830-x)}{100} = \frac{2(830-x)}{5}$
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{3x}{10} – \frac{2(830-x)}{5} = 4$
সমাধান:
উভয়পক্ষকে $10$ দিয়ে গুণ করে পাই (হর অপসারণের জন্য):
$10 \times \frac{3x}{10} – 10 \times \frac{2(830-x)}{5} = 4 \times 10$
বা, $3x – 4(830 – x) = 40$
বা, $3x – 3320 + 4x = 40$
বা, $7x = 40 + 3320$
বা, $7x = 3360$
বা, $x = \frac{3360}{7}$
বা, $x = 480$
প্রথম অংশ $= 480$।
দ্বিতীয় অংশ $= 830 – 480 = 350$।
উত্তর: অংশ দুটি হলো $480$ এবং $350$।
9. $56$-কে এমন দুটি অংশে ভাগ করি যেন প্রথম অংশের তিনগুণ, দ্বিতীয় অংশের এক-তৃতীয়াংশ অপেক্ষা $48$ বেশি হয়।
ধরি, প্রথম অংশটি $= x$।
$\therefore$ দ্বিতীয় অংশটি $= (56 – x)$।
প্রথম অংশের তিনগুণ $= 3x$।
দ্বিতীয় অংশের এক-তৃতীয়াংশ $= \frac{1}{3}(56 – x)$।
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে,
$3x – \frac{56 – x}{3} = 48$
সমাধান:
উভয়পক্ষকে $3$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$3(3x) – (56 – x) = 48 \times 3$
বা, $9x – 56 + x = 144$
বা, $10x = 144 + 56$
বা, $10x = 200$
বা, $x = \frac{200}{10}$
বা, $x = 20$
প্রথম অংশ $= 20$।
দ্বিতীয় অংশ $= 56 – 20 = 36$।
উত্তর: অংশ দুটি হলো $20$ এবং $36$।
10. একটি দণ্ডের $\frac{1}{5}$ অংশ কাদায়, $\frac{3}{5}$ অংশ জলে এবং অবশিষ্ট $5$ মিটার জলের উপর আছে। দণ্ডটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরি, দণ্ডটির মোট দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার।
কাদায় আছে $= \frac{x}{5}$ মিটার।
জলে আছে $= \frac{3x}{5}$ মিটার।
কাদা ও জল বাদে বাকি অংশ জলের উপরে আছে।
সমীকরণ গঠন:
$x – \left(\frac{x}{5} + \frac{3x}{5}\right) = 5$
সমাধান:
বা, $x – \frac{x + 3x}{5} = 5$
বা, $x – \frac{4x}{5} = 5$
বা, $\frac{5x – 4x}{5} = 5$ [ল.সা.গু $5$]
বা, $\frac{x}{5} = 5$
বা, $x = 25$
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য $25$ মিটার।
11. আমার বাবার বর্তমান বয়স আমার বর্তমান বয়সের $7$ গুণ। $10$ বছর পরে বাবার বয়স আমার বয়সের $3$ গুণ হবে। আমার ও বাবার বর্তমান বয়স লিখি।
ধরি, আমার বর্তমান বয়স $= x$ বছর।
$\therefore$ বাবার বর্তমান বয়স $= 7x$ বছর।
$10$ বছর পরে:
আমার বয়স হবে $= (x + 10)$ বছর।
বাবার বয়স হবে $= (7x + 10)$ বছর।
সমীকরণ গঠন:
প্রশ্নানুসারে,
$7x + 10 = 3(x + 10)$
সমাধান:
বা, $7x + 10 = 3x + 30$
বা, $7x – 3x = 30 – 10$
বা, $4x = 20$
বা, $x = \frac{20}{4}$
বা, $x = 5$
আমার বর্তমান বয়স $= 5$ বছর।
বাবার বর্তমান বয়স $= 7 \times 5 = 35$ বছর।
উত্তর: আমার বর্তমান বয়স $5$ বছর এবং বাবার বর্তমান বয়স $35$ বছর।
12. আমার মামা $1000$ টাকার একটি চেক ব্যাংক থেকে ভাঙালেন। তিনি কয়েকটি পাঁচ টাকার নোট ও কয়েকটি দশ টাকার নোট পেলেন। যদি মামা মোট $137$টি নোট পেয়ে থাকেন তাহলে কতগুলি $5$ টাকার নোট পেলেন দেখি।
ধরি, মামা $5$ টাকার নোট পেলেন $= x$টি।
মোট নোটের সংখ্যা $137$টি।
$\therefore$ $10$ টাকার নোটের সংখ্যা $= (137 – x)$টি।
মোট টাকার পরিমাণ:
$5$ টাকার নোটের মূল্য $= 5x$ টাকা।
$10$ টাকার নোটের মূল্য $= 10(137 – x)$ টাকা।
সমীকরণ গঠন:
$5x + 10(137 – x) = 1000$
সমাধান:
বা, $5x + 1370 – 10x = 1000$
বা, $1370 – 5x = 1000$
বা, $1370 – 1000 = 5x$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $370 = 5x$
বা, $x = \frac{370}{5}$
বা, $x = 74$
উত্তর: তিনি $74$টি $5$ টাকার নোট পেলেন।
13. আমাদের গ্রামের সালেমচাচা সরকারি চাকুরি থেকে অবসর গ্রহণ করার পর তার সঞ্চয়ের $\frac{1}{2}$ অংশ দিয়ে একটি বাড়ি কেনেন। হঠাৎ বিপদে পড়ে তিনি বাড়িটি বিক্রি করে কেনা দামের $5\%$ বেশি পান। যদি তিনি বাড়িটি $3450$ টাকা বেশি দামে বিক্রি করতেন তাহলে কেনা দামের উপর $8\%$ বেশি পেতেন। সালেমচাচা কত টাকায় বাড়িটি কিনেছিলেন এবং তার সঞ্চয় কত ছিল দেখি।
ধরি, সালেমচাচা বাড়িটি কিনেছিলেন $= x$ টাকায়।
প্রশ্নানুসারে, এই $x$ টাকা হলো তার মোট সঞ্চয়ের অর্ধেক ($\frac{1}{2}$ অংশ)।
$\therefore$ তার মোট সঞ্চয় $= 2x$ টাকা।
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য:
প্রথমে তিনি $5\%$ লাভে বিক্রি করেন।
পরে তিনি আরও $3450$ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে তার লাভ হতো $8\%$।
অর্থাৎ, লাভের পার্থক্য $= (8\% – 5\%) = 3\%$।
এই $3\%$ লাভের পার্থক্যই হলো $3450$ টাকা।
সমীকরণ গঠন:
$x$-এর $3\% = 3450$
বা, $x \times \frac{3}{100} = 3450$
সমাধান:
বা, $\frac{3x}{100} = 3450$
বা, $3x = 3450 \times 100$
বা, $x = \frac{345000}{3}$
বা, $x = 115000$
বাড়িটির ক্রয়মূল্য $= 1,15,000$ টাকা।
তার মোট সঞ্চয় $= 2 \times 1,15,000 = 2,30,000$ টাকা।
উত্তর: সালেমচাচা $1,15,000$ টাকায় বাড়িটি কিনেছিলেন এবং তার সঞ্চয় ছিল $2,30,000$ টাকা।
14. গোপালপুর গ্রামের আশ্রয় শিবিরে আশ্রয়প্রার্থীদের জন্য $20$ দিনের খাবার মজুত ছিল। $7$ দিন পরে আরও $100$ জন আশ্রয়প্রার্থী সেই শিবিরে আশ্রয় নিলে $11$ দিনের মাথায় সব খাবার শেষ হয়ে যায়। প্রথমে কতজন আশ্রয়প্রার্থী ছিল লিখি।
ধরি, প্রথমে আশ্রয়প্রার্থী ছিল $= x$ জন।
তাদের জন্য খাবার মজুত ছিল $20$ দিনের।
$7$ দিন পরে, ওই $x$ জন লোকের জন্য অবশিষ্ট খাবার চলত $= (20 – 7) = 13$ দিন।
কিন্তু, নতুন $100$ জন আসায় মোট লোকসংখ্যা হলো $= (x + 100)$ জন।
এই নতুন লোকসংখ্যা নিয়ে খাবারটি চলল $= 11$ দিন।
যেহেতু মোট খাবারের পরিমাণ নির্দিষ্ট, তাই:
(পূর্বের লোকসংখ্যা $\times$ তাদের জন্য অবশিষ্ট দিন) = (বর্তমান লোকসংখ্যা $\times$ বর্তমান দিন)
সমীকরণ গঠন:
$x \times 13 = (x + 100) \times 11$
সমাধান:
বা, $13x = 11x + 1100$
বা, $13x – 11x = 1100$
বা, $2x = 1100$
বা, $x = \frac{1100}{2}$
বা, $x = 550$
উত্তর: প্রথমে $550$ জন আশ্রয়প্রার্থী ছিল।
15. (i) $\frac{3}{x+3} = \frac{5}{x+2}$
সমাধান:
$3(x + 2) = 5(x + 3)$
বা, $3x + 6 = 5x + 15$
বা, $3x – 5x = 15 – 6$
বা, $-2x = 9$
বা, $x = \frac{9}{-2}$
বা, $x = -4.5$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = -4.5$ বা $-\frac{9}{2}$।
15. (ii) $\frac{5}{3x+4} = \frac{4}{5(x-3)}$
সমাধান:
$5 \times 5(x – 3) = 4(3x + 4)$
বা, $25(x – 3) = 12x + 16$
বা, $25x – 75 = 12x + 16$
বা, $25x – 12x = 16 + 75$
বা, $13x = 91$
বা, $x = \frac{91}{13}$
বা, $x = 7$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 7$।
15. (iii) $14(x-2) + 3(x+5) = 3(x+8) + 5$
সমাধান:
বা, $14x – 28 + 3x + 15 = 3x + 24 + 5$
বা, $17x – 13 = 3x + 29$
বা, $17x – 3x = 29 + 13$
বা, $14x = 42$
বা, $x = \frac{42}{14}$
বা, $x = 3$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 3$।
15. (iv) $\frac{x}{2} + 5 = \frac{x}{3} + 7$
সমাধান:
বা, $\frac{x}{2} – \frac{x}{3} = 7 – 5$
বা, $\frac{3x – 2x}{6} = 2$
বা, $\frac{x}{6} = 2$
বা, $x = 2 \times 6$
বা, $x = 12$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 12$।
15. (v) $\frac{x+1}{8} + \frac{x-2}{5} = \frac{x+3}{10} + \frac{3x-1}{20}$
সমাধান:
বা, $\frac{5(x+1) + 8(x-2)}{40} = \frac{2(x+3) + (3x-1)}{20}$
বা, $\frac{5x + 5 + 8x – 16}{40} = \frac{2x + 6 + 3x – 1}{20}$
বা, $\frac{13x – 11}{40} = \frac{5x + 5}{20}$
বা, $\frac{13x – 11}{2} = 5x + 5$
বা, $13x – 11 = 2(5x + 5)$
বা, $13x – 11 = 10x + 10$
বা, $13x – 10x = 10 + 11$
বা, $3x = 21$
বা, $x = \frac{21}{3}$
বা, $x = 7$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 7$।
15. (vi) $\frac{x+1}{4} + 3 = \frac{2x+4}{5} + 2$
সমাধান:
বা, $\frac{x+1}{4} – \frac{2x+4}{5} = 2 – 3$
বা, $\frac{5(x+1) – 4(2x+4)}{20} = -1$
বা, $\frac{5x + 5 – 8x – 16}{20} = -1$
বা, $\frac{-3x – 11}{20} = -1$
বা, $-3x – 11 = -20$
বা, $-3x = -20 + 11$
বা, $-3x = -9$
বা, $x = \frac{-9}{-3}$
বা, $x = 3$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 3$।
15. (vii) $\frac{x+1}{7} + x = \frac{3x-4}{14} + 6$
সমাধান:
বা, $\frac{x+1}{7} + x – \frac{3x-4}{14} = 6$
বা, $\frac{2(x+1) + 14x – (3x-4)}{14} = 6$
বা, $\frac{2x + 2 + 14x – 3x + 4}{14} = 6$
বা, $13x + 6 = 6 \times 14$
বা, $13x + 6 = 84$
বা, $13x = 84 – 6$
বা, $13x = 78$
বা, $x = \frac{78}{13}$
বা, $x = 6$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 6$।
15. (viii) $\frac{3}{5}(x-4) – \frac{1}{3}(2x-9) = \frac{1}{4}(x-1) – 2$
সমাধান:
হরগুলির ল.সা.গু ($5, 3, 4$) $= 60$।
সমীকরণের উভয়পক্ষকে $60$ দিয়ে গুণ করে পাই:
$60 \times \left[ \frac{3}{5}(x-4) – \frac{1}{3}(2x-9) \right] = 60 \times \left[ \frac{1}{4}(x-1) – 2 \right]$
বা, $12 \times 3(x-4) – 20 \times (2x-9) = 15 \times (x-1) – 120$
বা, $36(x-4) – 20(2x-9) = 15(x-1) – 120$
বা, $36x – 144 – 40x + 180 = 15x – 15 – 120$
বা, $-4x + 36 = 15x – 135$
বা, $36 + 135 = 15x + 4x$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $171 = 19x$
বা, $x = \frac{171}{19}$
বা, $x = 9$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 9$।
15. (ix) $\frac{x+5}{3} + \frac{2x-1}{7} = 4$
সমাধান:
ল.সা.গু $= 21$।
বা, $\frac{7(x+5) + 3(2x-1)}{21} = 4$
বা, $7x + 35 + 6x – 3 = 4 \times 21$
বা, $13x + 32 = 84$
বা, $13x = 84 – 32$
বা, $13x = 52$
বা, $x = \frac{52}{13}$
বা, $x = 4$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 4$।
15. (x) $25 + 3(4x-5) + 8(x+2) = x + 3$
সমাধান:
বা, $25 + 12x – 15 + 8x + 16 = x + 3$
বা, $20x + 26 = x + 3$
বা, $20x – x = 3 – 26$
বা, $19x = -23$
বা, $x = -\frac{23}{19}$
বা, $x = -1\frac{4}{19}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = -1\frac{4}{19}$।
15. (xi) $\frac{x-8}{3} + \frac{2x+2}{12} + \frac{2x-1}{18} = 3$
সমাধান:
দ্বিতীয় পদটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে পাই: $\frac{2(x+1)}{12} = \frac{x+1}{6}$
এখন সমীকরণটি: $\frac{x-8}{3} + \frac{x+1}{6} + \frac{2x-1}{18} = 3$
ল.সা.গু $= 18$।
বা, $\frac{6(x-8) + 3(x+1) + 1(2x-1)}{18} = 3$
বা, $6x – 48 + 3x + 3 + 2x – 1 = 3 \times 18$
বা, $11x – 46 = 54$
বা, $11x = 54 + 46$
বা, $11x = 100$
বা, $x = \frac{100}{11}$
বা, $x = 9\frac{1}{11}$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 9\frac{1}{11}$।
15. (xii) $\frac{t+12}{6} – t = 6\frac{1}{2} – \frac{1}{12}$
সমাধান:
বা, $\frac{t+12}{6} – t = \frac{13}{2} – \frac{1}{12}$
উভয়পক্ষকে $12$ দিয়ে গুণ করে পাই (ল.সা.গু):
$12 \times \frac{t+12}{6} – 12t = 12 \times \frac{13}{2} – 12 \times \frac{1}{12}$
বা, $2(t+12) – 12t = 6 \times 13 – 1$
বা, $2t + 24 – 12t = 78 – 1$
বা, $-10t + 24 = 77$
বা, $-10t = 77 – 24$
বা, $-10t = 53$
বা, $t = -\frac{53}{10}$
বা, $t = -5.3$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $t = -5.3$ বা $-5\frac{3}{10}$।
15. (xiii) $\frac{x+1}{2} – \frac{5x+9}{28} = \frac{x+6}{21} + 5 – \frac{x-12}{3}$
সমাধান:
হরগুলি হলো $2, 28, 21, 3$। এদের ল.সা.গু $= 84$।
সমীকরণের উভয়পক্ষকে $84$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$84 \times \left( \frac{x+1}{2} – \frac{5x+9}{28} \right) = 84 \times \left( \frac{x+6}{21} + 5 – \frac{x-12}{3} \right)$
বা, $42(x+1) – 3(5x+9) = 4(x+6) + 420 – 28(x-12)$
বা, $42x + 42 – 15x – 27 = 4x + 24 + 420 – 28x + 336$
বা, $27x + 15 = -24x + 780$
বা, $27x + 24x = 780 – 15$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $51x = 765$
বা, $x = \frac{765}{51}$
বা, $x = 15$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 15$।
15. (xiv) $\frac{9x+5}{14} + \frac{8x-7}{7} = \frac{18x+11}{28} + \frac{5}{4}$
সমাধান:
হরগুলি হলো $14, 7, 28, 4$। এদের ল.সা.গু $= 28$।
সমীকরণের উভয়পক্ষকে $28$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$28 \times \left( \frac{9x+5}{14} + \frac{8x-7}{7} \right) = 28 \times \left( \frac{18x+11}{28} + \frac{5}{4} \right)$
বা, $2(9x+5) + 4(8x-7) = 1(18x+11) + 7(5)$
বা, $18x + 10 + 32x – 28 = 18x + 11 + 35$
বা, $50x – 18 = 18x + 46$
বা, $50x – 18x = 46 + 18$
বা, $32x = 64$
বা, $x = \frac{64}{32}$
বা, $x = 2$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 2$।
15. (xv) $\frac{3y+1}{16} + \frac{2y-3}{7} = \frac{y+3}{8} + \frac{3y-1}{14}$
সমাধান:
সমজাতীয় পদগুলিকে একপাশে এনে পাই:
$\frac{3y+1}{16} – \frac{y+3}{8} = \frac{3y-1}{14} – \frac{2y-3}{7}$
বা, $\frac{(3y+1) – 2(y+3)}{16} = \frac{(3y-1) – 2(2y-3)}{14}$ [ল.সা.গু করে]
বা, $\frac{3y + 1 – 2y – 6}{16} = \frac{3y – 1 – 4y + 6}{14}$
বা, $\frac{y – 5}{16} = \frac{-y + 5}{14}$
বা, $\frac{y – 5}{8} = \frac{-(y – 5)}{7}$ [উভয়পক্ষের হরকে $2$ দিয়ে ভাগ করে]
বা, $7(y – 5) = -8(y – 5)$
বা, $7y – 35 = -8y + 40$
বা, $7y + 8y = 40 + 35$
বা, $15y = 75$
বা, $y = \frac{75}{15}$
বা, $y = 5$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $y = 5$।
15. (xvi) $5x – (4x-7)(3x-5) = 6 – 3(4x-9)(x-1)$
সমাধান:
বা, $5x – [12x^2 – 20x – 21x + 35] = 6 – 3[4x^2 – 4x – 9x + 9]$
বা, $5x – [12x^2 – 41x + 35] = 6 – 3[4x^2 – 13x + 9]$
বা, $5x – 12x^2 + 41x – 35 = 6 – 12x^2 + 39x – 27$
বা, $-12x^2 + 46x – 35 = -12x^2 + 39x – 21$
উভয়পক্ষ থেকে $-12x^2$ বাদ দিয়ে পাই:
$46x – 35 = 39x – 21$
বা, $46x – 39x = -21 + 35$
বা, $7x = 14$
বা, $x = \frac{14}{7}$
বা, $x = 2$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 2$।
15. (xvii) $3(x-4)^{2} + 5(x-3)^{2} = (2x-5)(4x-1) – 40$
সমাধান:
সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$3(x^2 – 8x + 16) + 5(x^2 – 6x + 9) = (8x^2 – 2x – 20x + 5) – 40$
বা, $3x^2 – 24x + 48 + 5x^2 – 30x + 45 = 8x^2 – 22x – 35$
বা, $(3x^2 + 5x^2) – (24x + 30x) + (48 + 45) = 8x^2 – 22x – 35$
বা, $8x^2 – 54x + 93 = 8x^2 – 22x – 35$
উভয়পক্ষ থেকে $8x^2$ বাদ দিয়ে পাই:
$-54x + 93 = -22x – 35$
বা, $93 + 35 = -22x + 54x$
বা, $128 = 32x$
বা, $x = \frac{128}{32}$
বা, $x = 4$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $x = 4$।
15. (xviii) $3(y-5)^{2} + 5y = (2y-3)^{2} – (y+1)^{2} + 1$
সমাধান:
বা, $3(y^2 – 10y + 25) + 5y = (4y^2 – 12y + 9) – (y^2 + 2y + 1) + 1$
বা, $3y^2 – 30y + 75 + 5y = 4y^2 – 12y + 9 – y^2 – 2y – 1 + 1$
বা, $3y^2 – 25y + 75 = (4y^2 – y^2) – (12y + 2y) + (9 – 1 + 1)$
বা, $3y^2 – 25y + 75 = 3y^2 – 14y + 9$
উভয়পক্ষ থেকে $3y^2$ বাদ দিয়ে পাই:
$-25y + 75 = -14y + 9$
বা, $75 – 9 = -14y + 25y$
বা, $66 = 11y$
বা, $y = \frac{66}{11}$
বা, $y = 6$
উত্তর: নির্ণেয় সমাধান $y = 6$।
16. (i) $x = 5$
সমীকরণ গঠন:
$2x + 3 = 13$
গণিতের গল্প:
আমার কাছে কিছু মার্বেল আছে। যদি আমার মার্বেলের সংখ্যার দ্বিগুণ এর সাথে আরও $3$টি মার্বেল যোগ করা হয়, তবে মোট মার্বেল সংখ্যা হয় $13$। আমার কাছে কতগুলি মার্বেল আছে?
যাচাই: $2x = 13 – 3 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$।
16. (ii) $y = -11$
সমীকরণ গঠন:
$y + 7 = -4$
গণিতের গল্প:
একটি সংখ্যার সাথে $7$ যোগ করলে যোগফল $-4$ হয়। সংখ্যাটি কত?
যাচাই: $y = -4 – 7 \Rightarrow y = -11$।
16. (iii) $t = \frac{7}{8}$
সমীকরণ গঠন:
$8t = 7$
গণিতের গল্প:
কোনো ভগ্নাংশকে $8$ দিয়ে গুণ করলে গুণফল $7$ হয়। ভগ্নাংশটি কত?
যাচাই: $t = \frac{7}{8}$।
16. (iv) $x = 24$
সমীকরণ গঠন:
$\frac{x}{2} + 5 = 17$
গণিতের গল্প:
আমার কাছে যত টাকা আছে তার অর্ধেক টাকার সাথে $5$ টাকা যোগ করলে $17$ টাকা হয়। আমার কাছে কত টাকা আছে?
যাচাই: $\frac{x}{2} = 17 – 5 \Rightarrow \frac{x}{2} = 12 \Rightarrow x = 24$।
16. (v) $x = \dots$ [নিজে বসাই]
ধরি, আমি বসালাম $x = 10$।
সমীকরণ গঠন:
$5x = 50$
গণিতের গল্প:
$5$টি কলমের মোট দাম $50$ টাকা হলে, $1$টি কলমের দাম কত?
যাচাই: $x = \frac{50}{5} \Rightarrow x = 10$।
শেয়ার