অষ্টম শ্রেণি গনিত: কষে দেখি -20.1

প্রদত্ত: $\triangle ABC$ এর $BC$ বাহুর উপর $D$ যেকোনো একটি বিন্দু। $AD$ যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ করতে হবে: $AB + BC + CA > 2AD$

প্রমাণ:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
১. $\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রে:
$AB + BD > AD \quad \dots (i)$

২. $\triangle ACD$-এর ক্ষেত্রে:
$AC + CD > AD \quad \dots (ii)$

এখন, $(i)$ ও $(ii)$ নং অসমীকরণ যোগ করে পাই:
$(AB + BD) + (AC + CD) > AD + AD$
বা, $AB + AC + (BD + CD) > 2AD$
বা, $AB + AC + BC > 2AD \quad [\because BD + CD = BC]$
বা, $AB + BC + CA > 2AD$

(প্রমানিত)

অঙ্কন: $B, O$ যুক্ত করে বর্ধিত করা হলো যা $AC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করল।

(i) প্রমাণ:
$\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রে:
$AB + AD > BD$
বা, $AB + AD > BO + OD \quad \dots (1) \quad [\because BD = BO + OD]$

আবার, $\triangle ODC$-এর ক্ষেত্রে:
$OD + DC > OC \quad \dots (2)$

$(1)$ ও $(2)$ যোগ করে পাই:
$AB + AD + OD + DC > BO + OD + OC$
উভয়পক্ষ থেকে $OD$ বাদ দিয়ে পাই:
$AB + (AD + DC) > BO + OC$
বা, $AB + AC > OB + OC$ (প্রমানিত)

(ii) প্রমাণ:
আমরা (i) অংশে প্রমাণ করেছি:
$AB + AC > OB + OC \quad \dots (a)$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়:
$AB + BC > OA + OC \quad \dots (b)$
$AC + BC > OA + OB \quad \dots (c)$

এখন, $(a), (b)$ ও $(c)$ যোগ করে পাই:
$(AB + AC) + (AB + BC) + (AC + BC) > (OB + OC) + (OA + OC) + (OA + OB)$
বা, $2AB + 2BC + 2AC > 2OA + 2OB + 2OC$
বা, $2(AB + BC + AC) > 2(OA + OB + OC)$
বা, $AB + BC + AC > OA + OB + OC$

(প্রমানিত)

ধরি: $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। এর দুটি কর্ণ হলো $AC$ এবং $BD$।
প্রমাণ করতে হবে: $(AB + BC + CD + DA) > (AC + BD)$

প্রমাণ:
আমরা জানি, ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
$\triangle ABC$ থেকে পাই: $AB + BC > AC \quad \dots (1)$
$\triangle ADC$ থেকে পাই: $AD + CD > AC \quad \dots (2)$
$\triangle ABD$ থেকে পাই: $AB + AD > BD \quad \dots (3)$
$\triangle BCD$ থেকে পাই: $BC + CD > BD \quad \dots (4)$

$(1), (2), (3)$ ও $(4)$ যোগ করে পাই:
$(AB + BC) + (AD + CD) + (AB + AD) + (BC + CD) > AC + AC + BD + BD$
বা, $2AB + 2BC + 2CD + 2AD > 2AC + 2BD$
বা, $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$
উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$AB + BC + CD + DA > AC + BD$

(প্রমানিত)

(i) প্রমাণ:
$\triangle ABP$-এর ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের বাহুর অসমতা সূত্রানুসারে:
যেকোনো দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
সুতরাং, $AP + BP > AB$ (প্রমানিত)

(ii) প্রমাণ:
একইভাবে, $\triangle ABP, \triangle BPC$ এবং $\triangle APC$ থেকে পাই:
$\triangle ABP$ থেকে: $AP + BP > AB \quad \dots (1)$
$\triangle BPC$ থেকে: $BP + CP > BC \quad \dots (2)$
$\triangle APC$ থেকে: $AP + CP > AC \quad \dots (3)$

$(1), (2)$ ও $(3)$ যোগ করে পাই:
$(AP + BP) + (BP + CP) + (AP + CP) > AB + BC + AC$
বা, $2AP + 2BP + 2CP > AB + BC + AC$
বা, $2(AP + BP + CP) > AB + BC + AC$

অতএব, $AB + BC + AC < 2(AP + BP + CP)$

(প্রমানিত)

সাধারণ প্রমাণ (বাহুর অসমতা):

ধরি: $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। $AC$ কর্ণ যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে:

$AB + BC > AC \quad \dots (1)$

$\triangle ADC$-এর ক্ষেত্রে:

$AC + CD > DA$

বা, $AC > DA – CD$ (এটি সর্বদা সত্য নাও হতে পারে, তাই আমরা ভিন্নভাবে এগোই)

বিকল্প প্রমাণ (বৃহত্তম বাহুর ক্ষেত্রে):

ধরি $ABCD$ চতুর্ভুজের $DA$ হলো বৃহত্তম বাহু।

কর্ণ $AC$ যুক্ত করি।

$\triangle ABC$ থেকে পাই: $AB + BC > AC$

$\triangle ADC$ থেকে পাই: $AC + CD > DA$

উভয় অসমতাকে যুক্ত করে পাই:

$AB + BC + CD > DA$ (কারণ $AB+BC > AC$ এবং $AC$ এর সাথে $CD$ যোগ করলে তা অবশ্যই $DA$ এর চেয়ে বড় হবে)

অর্থাৎ, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য তিনটি বাহুর সমষ্টি অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

(প্রমানিত)

ধরি: $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ এবং এর কর্ণ দুটি $AC$ ও $BD$।

প্রমাণ করতে হবে: $AC + BD > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$

প্রমাণ:

ধরি, কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\triangle AOB$ থেকে পাই: $OA + OB > AB \quad \dots (1)$

$\triangle BOC$ থেকে পাই: $OB + OC > BC \quad \dots (2)$

$\triangle COD$ থেকে পাই: $OC + OD > CD \quad \dots (3)$

$\triangle DOA$ থেকে পাই: $OD + OA > DA \quad \dots (4)$

$(1), (2), (3)$ ও $(4)$ যোগ করে পাই:

$2OA + 2OB + 2OC + 2OD > AB + BC + CD + DA$

বা, $2(OA + OC) + 2(OB + OD) > \text{পরিসীমা}$

বা, $2AC + 2BD > \text{পরিসীমা}$

বা, $2(AC + BD) > \text{পরিসীমা}$

বা, $AC + BD > \frac{1}{2} \times \text{পরিসীমা}$

(প্রমানিত)

যদি প্রশ্নটি হয়: “কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি পরিসীমার চেয়ে ছোট” ($AC + BD < AB + BC + CD + DA$)

প্রমাণ:

আমরা জানি (৪নং সমস্যা থেকে):

$AB + BC + AC < 2(AP + BP + CP)$ – এটি ভিন্ন ক্ষেত্রে।

কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে আমরা ৩নং সমস্যায় প্রমাণ করেছি:

$AB + BC + CD + DA > AC + BD$

অর্থাৎ, পরিসীমা সর্বদা কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা বৃহত্তর।

(প্রমানিত)

ধরি: $ABCD$ চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ বিন্দু $P$। $P$ বিন্দুর সাথে $A, B, C, D$ যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ করতে হবে: $PA + PB + PC + PD > AC + BD$

প্রমাণ:

$\triangle APC$ এর মধ্যে $P$ একটি বিন্দু (বা $AC$ সরলরেখার বাইরে)।

ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

$\therefore PA + PC > AC \quad \dots (1)$

অনুরূপভাবে $\triangle BPD$ থেকে পাই:

$PB + PD > BD \quad \dots (2)$

$(1)$ ও $(2)$ যোগ করে পাই:

$(PA + PC) + (PB + PD) > AC + BD$

বা, $PA + PB + PC + PD > AC + BD$

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে বলা হয়েছে বিন্দুটি কর্ণের উপর অবস্থিত নয়, তাই ত্রিভুজ গঠন সম্ভব এবং অসমতা সূত্রটি প্রযোজ্য।

(প্রমানিত)