সপ্তম শ্রেণীর গণিত: কষে দেখি -1.4

(i) ত্রিভুজটির পরিসীমা:
ত্রিভুজটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $8$ সেমি., $8$ সেমি. এবং $5$ সেমি.।
পরিসীমা = বাহুগুলির সমষ্টি
$= 8 + 8 + 5$ সেমি.
$= 21$ সেমি.

(ii) ত্রিভুজটির পরিসীমা:
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $12$ সেমি., $10$ সেমি. এবং $5$ সেমি.।
পরিসীমা $= 12 + 10 + 5$ সেমি.
$= 27$ সেমি.

(iii) বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা:
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $8$ সেমি.।
পরিসীমা $= 4 \times$ বাহুর দৈর্ঘ্য
$= 4 \times 8$ সেমি.
$= 32$ সেমি.

(iv) চিত্রটির পরিসীমা:
চিত্রটিতে $10$ সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু এবং $4$ সেমি. দৈর্ঘ্যের চারটি বাহু আছে।
পরিসীমা $= 10 + 10 + 4 + 4 + 4 + 4$ সেমি.
$= 20 + 16$ সেমি.
$= 36$ সেমি.

(v) আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা:
দৈর্ঘ্য $= 20$ সেমি., প্রস্থ $= 10$ সেমি.।
পরিসীমা $= 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
$= 2 \times (20 + 10)$ সেমি.
$= 2 \times 30$ সেমি.
$= 60$ সেমি.

(vi) চিত্রটির পরিসীমা:
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $8$ সেমি., $8$ সেমি., $6$ সেমি., $3$ সেমি., এবং $3$ সেমি.।
পরিসীমা $= 8 + 8 + 6 + 3 + 3$ সেমি.
$= 28$ সেমি.

উত্তর: (i) $21$ সেমি., (ii) $27$ সেমি., (iii) $32$ সেমি., (iv) $36$ সেমি., (v) $60$ সেমি., (vi) $28$ সেমি.

প্রতিটি ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 1$ বর্গসেমি.
চিত্রগুলির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা গুনতে হবে।

চিত্র (a):
এখানে পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা $= 16$ টি (প্রায়)
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= 16$ বর্গসেমি.

চিত্র (b):
পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা $= 14$ টি
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= 14$ বর্গসেমি.

চিত্র (c):
পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা $= 18$ টি
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= 18$ বর্গসেমি.

চিত্র (d):
পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা $= 12$ টি
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= 12$ বর্গসেমি.

চিত্র (e):
পূর্ণ বর্গঘরের সংখ্যা $= 22$ টি
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= 22$ বর্গসেমি.

চিত্র (f):
এটি একটি বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র। ভিতরের পূর্ণ এবং অর্ধেকের বেশি বর্গঘরগুলি গুনে আনুমানিক ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।
আনুমানিক ক্ষেত্রফল $\approx 14$ থেকে $16$ বর্গসেমি.

উত্তর: (a) $16$ বর্গসেমি., (b) $14$ বর্গসেমি., (c) $18$ বর্গসেমি., (d) $12$ বর্গসেমি., (e) $22$ বর্গসেমি., (f) $\approx 15$ বর্গসেমি.

সমাধান নির্দেশিকা:
এটি একটি অঙ্কনধর্মী কাজ। শিক্ষার্থীদের ছক কাগজে নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘর রং করে বা ঘিরে চিত্র আঁকতে হবে।

• $25$ বর্গঘর: $5 \times 5$ বর্গক্ষেত্র বা যেকোনো $25$টি ঘর নিয়ে আঁকা আকৃতি।
• $40$ বর্গঘর: $8 \times 5$ বা $10 \times 4$ আয়তক্ষেত্র বা যেকোনো $40$টি ঘর।
• $36$ বর্গঘর: $6 \times 6$ বর্গক্ষেত্র বা $9 \times 4$ আয়তক্ষেত্র।
• $62$ বর্গঘর: যেকোনো আকৃতি যা মোট $62$টি ছোট ঘর দখল করে আছে।

উত্তর: এটি শিক্ষার্থীদের ছক কাগজে আঁকতে হবে।

(a) বর্গক্ষেত্র:
প্রতিটি বাহুতে ঘরের সংখ্যা $= 4$ টি।
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= 4$ সেমি.
ক্ষেত্রফল $= (\text{বাহু})^2 = 4^2 = 16$ বর্গসেমি.

(b) বর্গক্ষেত্র:
প্রতিটি বাহুতে ঘরের সংখ্যা $= 6$ টি।
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= 6$ সেমি.
ক্ষেত্রফল $= 6^2 = 36$ বর্গসেমি.

(c) বর্গক্ষেত্র:
প্রতিটি বাহুতে ঘরের সংখ্যা $= 8$ টি।
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= 8$ সেমি.
ক্ষেত্রফল $= 8^2 = 64$ বর্গসেমি.

(d) বর্গক্ষেত্র:
প্রতিটি বাহুতে ঘরের সংখ্যা $= 7$ টি।
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= 7$ সেমি.
ক্ষেত্রফল $= 7^2 = 49$ বর্গসেমি.

উত্তর: (a) $16$ বর্গসেমি., (b) $36$ বর্গসেমি., (c) $64$ বর্গসেমি., (d) $49$ বর্গসেমি.

(a) $5^2 \times 8^2$

সমাধান:

আমরা জানি, $\sqrt{a^2} = a$।

$\therefore \sqrt{5^2 \times 8^2}$

$= \sqrt{5^2} \times \sqrt{8^2}$

$= 5 \times 8$

$= 40$

উত্তর: $40$

(b) $4225$

ভাগ প্রক্রিয়ায় সমাধান:

ব্যাখ্যা:

১. ডানদিক থেকে জোড়ায় দাগ দিই ($\overline{42}$ $\overline{25}$)।

২. $6 \times 6 = 36$ (যা $42$ এর চেয়ে ছোট)। ভাগশেষ $6$।

৩. পরবর্তী জোড়া $25$ নামাই ($625$)।

৪. $6$ এর দ্বিগুণ $12$। $12$-এর পাশে $5$ বসালে সংখ্যাটি হয় $125$।

৫. $125 \times 5 = 625$।

উত্তর: $\sqrt{4225} = 65$

(c) $10609$

ভাগ প্রক্রিয়ায় সমাধান:

ব্যাখ্যা:

১. জোড়া ($\overline{1}$ $\overline{06}$ $\overline{09}$)। $1 \times 1 = 1$।

২. $06$ নামালাম। $1$ এর দ্বিগুণ $2$। $2$ এর পাশে $0$ বসালে $20 \times 0 = 0$।

৩. $6$ এর পাশে $09$ নামালাম ($609$)।

৪. $10$ এর দ্বিগুণ $20$। $20$ এর পাশে $3$ বসালে $203$।

৫. $203 \times 3 = 609$।

উত্তর: $\sqrt{10609} = 103$

(d) $108241$

ভাগ প্রক্রিয়ায় সমাধান:

ব্যাখ্যা:

১. $3 \times 3 = 9$। অবশিষ্ট $1$।

২. $82$ নামলো ($182$)। $3$ এর দ্বিগুণ $6$। $62 \times 2 = 124$।

৩. অবশিষ্ট $58$। $41$ নামলো ($5841$)।

৪. $32$ এর দ্বিগুণ $64$। $649 \times 9 = 5841$।

উত্তর: $\sqrt{108241} = 329$

(e) $186624$

ভাগ প্রক্রিয়ায় সমাধান:

ব্যাখ্যা:

১. $4 \times 4 = 16$। অবশিষ্ট $2$।

২. $66$ নামলো ($266$)। $4$ এর দ্বিগুণ $8$। $83 \times 3 = 249$।

৩. অবশিষ্ট $17$। $24$ নামলো ($1724$)।

৪. $43$ এর দ্বিগুণ $86$। $862 \times 2 = 1724$।

উত্তর: $\sqrt{186624} = 432$

(f) $(24^2 + 10^2)$

সমাধান:

প্রথমে রাশিটির মান বের করি:

$= 24 \times 24 + 10 \times 10$

$= 576 + 100$

$= 676$

এখন $676$-এর বর্গমূল নির্ণয় করি:

ব্যাখ্যা:

১. জোড়া ($\overline{06}$ $\overline{76}$)। $2 \times 2 = 4$।

২. অবশিষ্ট $2$। $76$ নামলো ($276$)।

৩. $2$ এর দ্বিগুণ $4$। $46 \times 6 = 276$।

উত্তর: $\sqrt{676} = 26$

সমাধান:

প্রথমে $3000$-এর বর্গমূল করার চেষ্টা করি:

$50^2 = 2500$ এবং $60^2 = 3600$। সংখ্যাটি $50$ ও $60$-এর মাঝে অবস্থিত।

ভাগ প্রক্রিয়ায় দেখি:

$5 \times 5 = 25$, ভাগশেষ থাকে $500$।

দশমিক ছাড়া হিসাব করলে $54^2 = 2916$ এবং $55^2 = 3025$।

(a) $3000$ থেকে বড়ো নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

$54$-এর পরবর্তী সংখ্যা $55$।

$55^2 = 55 \times 55 = 3025$।

(b) $3000$ থেকে ছোটো নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা:

$54^2 = 54 \times 54 = 2916$।

উত্তর: (a) $3025$ এবং (b) $2916$।

সমাধান:

$9545$-এর বর্গমূল করার চেষ্টা করি (ভাগ প্রক্রিয়ায়):

$9 \times 9 = 81$ (বাকি থাকে $14$, পরের জোড়া $45$ নামলে হয় $1445$)।

$9$-এর দ্বিগুণ $18$। $18$-এর পাশে $7$ বসালে পাই $187$।

$187 \times 7 = 1309$।

ভাগশেষ $= 1445 – 1309 = 136$।

যেহেতু $136$ অবশিষ্ট থাকছে, তাই $9545$ থেকে $136$ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

($9545 – 136 = 9409$, যা $97^2$)

উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $136$।

সমাধান:

$5050$-এর বর্গমূল করার চেষ্টা করি:

$7 \times 7 = 49$ (বাকি $1$, পরের জোড়া $50$ নামলে হয় $150$)।

$7$-এর দ্বিগুণ $14$। $14$-এর পাশে $1$ বসালে $141 \times 1 = 141$।

ভাগশেষ থাকে $9$।

অর্থাৎ $71^2 < 5050$।

$71^2 = 5041$, যা $5050$ থেকে ছোট।

পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে $72^2$।

$72^2 = 72 \times 72 = 5184$。

$\therefore$ যোগ করতে হবে $= 5184 – 5050 = 134$।

উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো $134$।

সমাধান:

যেহেতু সারির সংখ্যা এবং প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা সমান, তাই মোট গাছের সংখ্যার বর্গমূল করলেই প্রতি সারির গাছের সংখ্যা পাওয়া যাবে।

মোট পেয়ারাগাছ $= 1764$ টি।

$\therefore$ প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা $= \sqrt{1764}$।

বর্গমূল নির্ণয়:

$4 \times 4 = 16$ (বাকি $1$, নামল $64 \rightarrow 164$)।

$4$-এর দ্বিগুণ $8$। $8$-এর পাশে $2$ বসালে $82 \times 2 = 164$।

$\therefore \sqrt{1764} = 42$।

উত্তর: প্রতি সারিতে $42$ টি পেয়ারাগাছ আছে।

সমাধান:

যেহেতু সারির সংখ্যা এবং প্রতি সারির ঘরের সংখ্যা সমান, তাই মোট ঘরের সংখ্যার বর্গমূলই হবে সারির সংখ্যা।

মোট ঘর $= 1225$ টি।

$\therefore$ সারির সংখ্যা $= \sqrt{1225}$।

বর্গমূল নির্ণয়:

$3 \times 3 = 9$ (বাকি $3$, নামল $25 \rightarrow 325$)।

$3$-এর দ্বিগুণ $6$। $6$-এর পাশে $5$ বসালে $65 \times 5 = 325$।

$\therefore \sqrt{1225} = 35$।

উত্তর: বাক্সে $35$ টি সারি আছে।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে $a, b, c$।

প্রদত্ত:

$a \times b = 24 \quad \dots(i)$

$b \times c = 48 \quad \dots(ii)$

$a \times c = 32 \quad \dots(iii)$

তিনটি সমীকরণ গুণ করে পাই:

$(a \times b) \times (b \times c) \times (a \times c) = 24 \times 48 \times 32$

বা, $a^2 \times b^2 \times c^2 = 36864$

বা, $(abc)^2 = 36864$

বা, $abc = \sqrt{36864} = 192$

এখন সংখ্যাগুলি নির্ণয় করি:

৩য় সংখ্যা ($c$) $= \frac{abc}{ab} = \frac{192}{24} = 8$।

১ম সংখ্যা ($a$) $= \frac{abc}{bc} = \frac{192}{48} = 4$।

২য় সংখ্যা ($b$) $= \frac{abc}{ac} = \frac{192}{32} = 6$।

উত্তর: সংখ্যা তিনটি হলো $4, 6$ এবং $8$।

সমাধান:

ধরি, ক্লাবের সদস্য সংখ্যা $= x$ জন।

প্রশ্নানুসারে, প্রত্যেকে চাঁদা দিয়েছে $= 5x$ টাকা।

মোট চাঁদা $= \text{সদস্য সংখ্যা} \times \text{মাথাপিছু চাঁদা}$

$= x \times 5x = 5x^2$ টাকা।

শর্তানুসারে,

$5x^2 = 515205$

বা, $x^2 = \frac{515205}{5}$

বা, $x^2 = 103041$

বা, $x = \sqrt{103041}$

বর্গমূল নির্ণয়:

$103041$-এর বর্গমূল ভাগ প্রক্রিয়ায় করে পাই:

$321 \times 321 = 103041$।

$\therefore x = 321$।

উত্তর: ক্লাবের সদস্য সংখ্যা $321$ জন।

সমাধান:

ধরি, তিনি ঝুড়ি এনেছিলেন $= x$টি।

প্রতি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখতে চেয়েছিলেন $= x$টি।

মোট প্রয়োজনীয় কমলালেবু $= x \times x = x^2$টি।

কিন্তু তার কাছে আছে $1080$টি কমলালেবু এবং আরও $9$টি কম পড়ছে।

অর্থাৎ, $x^2 = 1080 + 9$

বা, $x^2 = 1089$

বা, $x = \sqrt{1089}$

বর্গমূল নির্ণয়:

$30^2 = 900$, $33^2 = 1089$।

$\therefore x = 33$।

উত্তর: তিনি $33$টি ঝুড়ি এনেছিলেন।

সমাধান:

মোট খরচ $= 12375$ টাকা।

প্রত্যেকের দৈনিক আয় $= 55$ টাকা।

$\therefore$ মোট শ্রমদিবস (Man-days) $= \frac{12375}{55}$

ভাগ করে পাই:

$12375 \div 55 = 225$।

ধরি, লোকসংখ্যা $= x$ জন।

যেহেতু তারা ‘ততদিন’ কাজ করেছেন, তাই দিনসংখ্যাও $= x$ দিন।

$\therefore$ মোট শ্রমদিবস $= x \times x = x^2$।

প্রশ্নানুসারে,

$x^2 = 225$

বা, $x = \sqrt{225}$

বা, $x = 15$।

উত্তর: $15$ জন লোক কাজ করেছিলেন।

সমাধান:

প্রথমে $12, 18, 30$-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।

$12 = 2 \times 2 \times 3$

$18 = 2 \times 3 \times 3$

$30 = 2 \times 3 \times 5$

ল.সা.গু $= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180$।

$180$ পূর্ণবর্গ নয় (কারণ $5$-এর জোড়া নেই)।

ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা যা এদের দ্বারা বিভাজ্য $= 180 \times 5 = 900$।

এখন $900$-এর পূর্ণবর্গ গুণিতকগুলি বের করি যা ৪ অঙ্কের:

$900 \times 1^2 = 900$ (৩ অঙ্ক)

$900 \times 2^2 = 900 \times 4 = 3600$ (৪ অঙ্ক)

$900 \times 3^2 = 900 \times 9 = 8100$ (৪ অঙ্ক)

$900 \times 4^2 = 900 \times 16 = 14400$ (৫ অঙ্ক, যা বড় হয়ে যাচ্ছে)

সুতরাং, ৪ অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো $8100$।

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি $8100$।

সমাধান:

প্রথমে $8, 15, 20, 25$-এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।

$8 = 2 \times 2 \times 2$

$15 = 3 \times 5$

$20 = 2 \times 2 \times 5$

$25 = 5 \times 5$

ল.সা.গু $= (2 \times 2 \times 2) \times 3 \times (5 \times 5) = 8 \times 3 \times 25 = 600$।

$600$-কে পূর্ণবর্গ করতে হলে উৎপাদক বিশ্লেষণ দেখি:

$600 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$

এখানে একটি $2$ এবং একটি $3$-এর জোড়া নেই।

$\therefore$ পূর্ণবর্গ করতে হলে গুণ করতে হবে $= 2 \times 3 = 6$ দিয়ে।

ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা $= 600 \times 6 = 3600$।

কিন্তু $3600$ সংখ্যাটি ৪ অঙ্কের। আমাদের ৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দরকার।

$3600$-এর পরবর্তী পূর্ণবর্গ গুণিতকগুলি দেখি:

$3600 \times 1^2 = 3600$

$3600 \times 2^2 = 3600 \times 4 = 14400$ (এটি ৫ অঙ্কের)

উত্তর: নির্ণেয় ৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি $14400$।