সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 2.3 অনুপাত
কোষে দেখি – 2.3 (অষ্টম শ্রেণী) : আনুপাতিক ভাগহার
1. গত বছরে রসকুণ্ডু গ্রামে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত ছিল $4: 1$। গ্রামের মোট জনসংখ্যা $6550$ জন হলে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা কত ছিল দেখি।
সমাধান:
গ্রামের মোট জনসংখ্যা $= 6550$ জন।
সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত $= 4 : 1$।
সাক্ষর লোকের আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$
অক্ষর পরিচয়হীন লোকের আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$
$\therefore$ সাক্ষর লোকের সংখ্যা $= 6550 \times \frac{4}{5}$ জন
$= 1310 \times 4$ জন ($5$ দিয়ে $6550$ কে ভাগ করে)
$= 5240$ জন।
এবং অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা $= 6550 \times \frac{1}{5}$ জন
$= 1310$ জন।
উত্তর: সাক্ষর লোকের সংখ্যা $5240$ জন এবং অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা $1310$ জন।
2. $640$ টাকা বিশু ও অপর্ণার মধ্যে $5: 3$ অনুপাতে ভাগ করে দিই। কাকে কত টাকা দেব হিসাব করি।
সমাধান:
মোট টাকা $= 640$ টাকা।
বিশু ও অপর্ণার প্রাপ্য টাকার অনুপাত $= 5 : 3$।
বিশুর প্রাপ্য টাকার আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$
অপর্ণার প্রাপ্য টাকার আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$
$\therefore$ বিশু পাবে $= 640 \times \frac{5}{8}$ টাকা
$= 80 \times 5$ টাকা ($8$ দিয়ে $640$ কে ভাগ করে)
$= 400$ টাকা।
$\therefore$ অপর্ণা পাবে $= 640 \times \frac{3}{8}$ টাকা
$= 80 \times 3$ টাকা
$= 240$ টাকা।
উত্তর: বিশু পাবে $400$ টাকা এবং অপর্ণা পাবে $240$ টাকা।
3. এক বিশেষ প্রকার ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত $49: 1$ হলে, হিসাব করে দেখি এইপ্রকার $250$ কুইন্টাল ইস্পাতে কত কুইন্টাল লোহা আছে।
সমাধান:
মোট ইস্পাতের পরিমাণ $= 250$ কুইন্টাল।
লোহা ও কার্বনের অনুপাত $= 49 : 1$।
লোহার আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{49}{49+1} = \frac{49}{50}$।
$\therefore$ ইস্পাতে লোহার পরিমাণ $= 250 \times \frac{49}{50}$ কুইন্টাল
$= 5 \times 49$ কুইন্টাল ($50$ দিয়ে $250$ কে ভাগ করে)
$= 245$ কুইন্টাল।
উত্তর: এইপ্রকার ইস্পাতে $245$ কুইন্টাল লোহা আছে।
4. কোনো বিদ্যালয়ে $143$ জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত $9: 2$; যদি আরও $3$ জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত কত হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
মোট ছাত্রী $= 143$ জন।
গান ও নাচের অনুপাত $= 9 : 2$।
গান করতে পারা ছাত্রীর সংখ্যা $= 143 \times \frac{9}{9+2}$ জন
$= 143 \times \frac{9}{11}$ জন
$= 13 \times 9$ জন ($11$ দিয়ে $143$ কে ভাগ করে)
$= 117$ জন।
নাচ করতে পারা ছাত্রীর সংখ্যা $= 143 \times \frac{2}{11}$ জন
$= 13 \times 2$ জন
$= 26$ জন।
নতুন করে $3$ জন ছাত্রী গান করতে এলে, গান করতে পারা ছাত্রীর সংখ্যা হবে:
$= 117 + 3 = 120$ জন।
$\therefore$ এখন গান ও নাচ করতে পারা ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত:
$= 120 : 26$
$= 60 : 13$ ($2$ দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নতুন অনুপাত হবে $60 : 13$।
5. $240$ মিলিলি. ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত $1: 3$; এর সঙ্গে আরও $60$ মিলিলি. জল মেশালে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
মোট মিশ্রণ $= 240$ মিলিলিটার।
জল ও ডেটলের অনুপাত $= 1 : 3$।
জলের পরিমাণ $= 240 \times \frac{1}{1+3} = 240 \times \frac{1}{4}$ মিলিলি.
$= 60$ মিলিলি.
ডেটলের পরিমাণ $= 240 \times \frac{3}{4}$ মিলিলি.
$= 60 \times 3$ মিলিলি. $= 180$ মিলিলি.
আরও $60$ মিলিলি. জল মেশানো হলো।
$\therefore$ নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ $= 60 + 60 = 120$ মিলিলি.
নতুন অনুপাত (জল : ডেটল)
$= 120 : 180$
$= 12 : 18$ ($10$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 2 : 3$ ($6$ দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: জল ও ডেটলের আয়তনের নতুন অনুপাত হবে $2 : 3$।
6. এক ব্যক্তির মাসিক আয় $24,750$ টাকা। তিনি $750$ টাকা বাড়ি ভাড়া দেন এবং বাকি টাকা $3:1$ অনুপাতে সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ করেন। তিনি কত টাকা সংসারে খরচ করেন দেখি।
সমাধান:
মাসিক আয় $= 24,750$ টাকা।
বাড়ি ভাড়া দেন $= 750$ টাকা।
বাকি টাকা $= 24,750 – 750 = 24,000$ টাকা।
এই টাকা সংসার ও শিক্ষার জন্য $3 : 1$ অনুপাতে ভাগ করা হয়।
সংসার খরচের আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$।
$\therefore$ সংসারে খরচ করেন $= 24,000 \times \frac{3}{4}$ টাকা
$= 6,000 \times 3$ টাকা ($4$ দিয়ে $24,000$ কে ভাগ করে)
$= 18,000$ টাকা।
উত্তর: তিনি $18,000$ টাকা সংসারে খরচ করেন।
7. বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার কোনো এক বছর $74,350$ টাকা সরকারি অনুদান পেল, $4,350$ টাকা চাঁদা আদায় করল এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল $1,300$ টাকা। যদি সব টাকাই নতুন বই কিনতে, পুরোনো বই বাঁধাতে এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে $15:3:2$ অনুপাতে খরচ করা হয়, তবে হিসাব করে দেখি কত টাকার নতুন বই কেনা হয়েছিল।
সমাধান:
পাঠাগারের মোট আয়ের পরিমাণ:
$= 74,350 + 4,350 + 1,300$ টাকা
$= 80,000$ টাকা।
খরচের অনুপাত (নতুন বই : বাঁধাই : বেতন) $= 15 : 3 : 2$।
নতুন বই কেনার জন্য আনুপাতিক ভাগহার $= \frac{15}{15+3+2} = \frac{15}{20}$।
$\therefore$ নতুন বই কিনতে খরচ হয়েছে:
$= 80,000 \times \frac{15}{20}$ টাকা
$= 4,000 \times 15$ টাকা ($20$ দিয়ে $80,000$ কে ভাগ করে)
$= 60,000$ টাকা।
উত্তর: $60,000$ টাকার নতুন বই কেনা হয়েছিল।
8. কোনো এক ট্রেনিং সেন্টারে $1050$ জন ব্যক্তি ট্রেনিং নিতে এসেছেন। তাদের তিনটি বড়ো হলঘরে $11:3:3\frac{1}{2}$ অনুপাতে বসতে দেওয়া হয়েছে। প্রতি হলঘরে কতজন বসবেন হিসাব করি।
সমাধান:
মোট ব্যক্তি $= 1050$ জন।
অনুপাত $= 11 : 3 : 3\frac{1}{2}$
$= 11 : 3 : \frac{7}{2}$
অনুপাতটিকে পূর্ণসংখ্যায় আনতে প্রতিটি পদকে $2$ দিয়ে গুণ করি:
$= 22 : 6 : 7$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 22 + 6 + 7 = 35$।
প্রথম হলঘরে বসবে:
$= 1050 \times \frac{22}{35}$ জন
$= 30 \times 22$ জন ($35$ দিয়ে $1050$ কে ভাগ করে)
$= 660$ জন।
দ্বিতীয় হলঘরে বসবে:
$= 1050 \times \frac{6}{35}$ জন
$= 30 \times 6$ জন
$= 180$ জন।
তৃতীয় হলঘরে বসবে:
$= 1050 \times \frac{7}{35}$ জন
$= 30 \times 7$ জন
$= 210$ জন।
উত্তর: হলঘর তিনটিতে যথাক্রমে $660$ জন, $180$ জন ও $210$ জন বসবেন।
9. $12,100$ টাকা মধু, মানস, কুন্তল ও ইন্দ্রর মধ্যে $2:3:4:2$ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
মোট টাকা $= 12,100$ টাকা।
অনুপাত (মধু : মানস : কুন্তল : ইন্দ্র) $= 2 : 3 : 4 : 2$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 2 + 3 + 4 + 2 = 11$।
মধু পাবে:
$= 12,100 \times \frac{2}{11}$ টাকা
$= 1,100 \times 2$ টাকা ($11$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 2,200$ টাকা।
মানস পাবে:
$= 12,100 \times \frac{3}{11}$ টাকা
$= 1,100 \times 3$ টাকা
$= 3,300$ টাকা।
কুন্তল পাবে:
$= 12,100 \times \frac{4}{11}$ টাকা
$= 1,100 \times 4$ টাকা
$= 4,400$ টাকা।
ইন্দ্র পাবে:
$= 12,100 \times \frac{2}{11}$ টাকা
$= 2,200$ টাকা।
উত্তর: মধু $2,200$ টাকা, মানস $3,300$ টাকা, কুন্তল $4,400$ টাকা এবং ইন্দ্র $2,200$ টাকা পাবে।
10. $\triangle ABC$ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$; $\angle BAC, \angle ABC$ ও $\angle ACB$-এর অনুপাত $3:5:10$; যদি $\angle BAC$-এর মান $10^\circ$ কম এবং $\angle ABC$-এর মান $10^\circ$ বেশি হয়, কোণ তিনটির অনুপাত কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
কোণ তিনটির সমষ্টি $= 180^\circ$।
অনুপাত $= 3 : 5 : 10$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 3 + 5 + 10 = 18$।
কোণগুলির প্রাথমিক মান:
$\angle BAC = 180^\circ \times \frac{3}{18} = 30^\circ$
$\angle ABC = 180^\circ \times \frac{5}{18} = 50^\circ$
$\angle ACB = 180^\circ \times \frac{10}{18} = 100^\circ$
পরিবর্তিত মান:
নতুন $\angle BAC = 30^\circ – 10^\circ = 20^\circ$
নতুন $\angle ABC = 50^\circ + 10^\circ = 60^\circ$
$\angle ACB$ একই থাকবে $= 100^\circ$
নতুন অনুপাত:
$= 20^\circ : 60^\circ : 100^\circ$
$= 2 : 6 : 10$ ($10$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 1 : 3 : 5$ ($2$ দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: কোণ তিনটির নতুন অনুপাত হবে $1 : 3 : 5$।
11. $9,000$ টাকা তিন বন্ধুর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিই যেন প্রথম বন্ধু যা পায়, দ্বিতীয় বন্ধু তার দ্বিগুণ পায় এবং তৃতীয় বন্ধু প্রথম দুই বন্ধুর প্রাপ্য মোট টাকার অর্ধেক পায়। কে কত টাকা পায় হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, প্রথম বন্ধু পায় $1$ ভাগ।
তাহলে, দ্বিতীয় বন্ধু পায় $2$ ভাগ।
তৃতীয় বন্ধু পায় $= \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$ ভাগ।
তাদের প্রাপ্য টাকার অনুপাত:
১ম বন্ধু : ২য় বন্ধু : ৩য় বন্ধু
$= 1 : 2 : \frac{3}{2}$
$= 2 : 4 : 3$ (প্রতিটি পদকে $2$ দিয়ে গুণ করে)।
অনুপাতের সমষ্টি $= 2 + 4 + 3 = 9$।
মোট টাকা $= 9,000$ টাকা।
১ম বন্ধু পাবে:
$= 9,000 \times \frac{2}{9} = 2,000$ টাকা।
২য় বন্ধু পাবে:
$= 9,000 \times \frac{4}{9} = 4,000$ টাকা।
৩য় বন্ধু পাবে:
$= 9,000 \times \frac{3}{9} = 3,000$ টাকা।
উত্তর: ১ম বন্ধু ২,০০০ টাকা, ২য় বন্ধু ৪,০০০ টাকা এবং ৩য় বন্ধু ৩,০০০ টাকা পাবে।
12. আমাদের গ্রামের রাস্তা তৈরির জন্য পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত যদি $2:4:3:2$ হয় এবং ওই চার বছরে যদি $132$ লক্ষ টাকা খরচ হয়, তবে হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় বছরে কত টাকা খরচ হয়েছে। প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে হিসাব করি।
সমাধান:
মোট খরচ $= 132$ লক্ষ টাকা।
খরচের অনুপাত $= 2 : 4 : 3 : 2$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 2 + 4 + 3 + 2 = 11$।
(i) দ্বিতীয় বছরে খরচ:
$= 132 \times \frac{4}{11}$ লক্ষ টাকা
$= 12 \times 4$ লক্ষ টাকা ($11$ দিয়ে $132$ কে ভাগ করে)
$= 48$ লক্ষ টাকা।
(ii) প্রথম ও তৃতীয় বছরের মোট খরচ:
প্রথম বছরের আনুপাতিক অংশ $= 2$
তৃতীয় বছরের আনুপাতিক অংশ $= 3$
মোট আনুপাতিক অংশ $= 2 + 3 = 5$।
$\therefore$ মোট খরচ $= 132 \times \frac{5}{11}$ লক্ষ টাকা
$= 12 \times 5$ লক্ষ টাকা
$= 60$ লক্ষ টাকা।
উত্তর: দ্বিতীয় বছরে ৪৮ লক্ষ টাকা এবং প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট ৬০ লক্ষ টাকা খরচ হয়েছে।
13. বিনয়বাবু তাঁর অবসর গ্রহণের সময়ে এককালীন $1,96,150$ টাকা পেলেন। তিনি $20,000$ টাকা বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করলেন এবং বাকি টাকা তিনি তাঁর স্ত্রী, পুত্র ও কন্যার মধ্যে $5:4:4$ অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি তিনি কাকে কত টাকা দিলেন।
সমাধান:
মোট প্রাপ্ত টাকা $= 1,96,150$ টাকা।
দান করলেন $= 20,000$ টাকা।
বাকি টাকা $= 1,96,150 – 20,000 = 1,76,150$ টাকা।
বন্টনের অনুপাত (স্ত্রী : পুত্র : কন্যা) $= 5 : 4 : 4$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 5 + 4 + 4 = 13$।
স্ত্রী পাবেন:
$= 1,76,150 \times \frac{5}{13}$ টাকা
$= 13,550 \times 5$ টাকা ($13$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 67,750$ টাকা।
পুত্র পাবেন:
$= 1,76,150 \times \frac{4}{13}$ টাকা
$= 13,550 \times 4$ টাকা
$= 54,200$ টাকা।
কন্যা পাবেন:
যেহেতু পুত্র ও কন্যার অনুপাত সমান ($4$), তাই কন্যাও পাবেন:
$= 54,200$ টাকা।
উত্তর: তিনি স্ত্রীকে ৬৭,৭৫০ টাকা, পুত্রকে ৫৪,২০০ টাকা এবং কন্যাকে ৫৪,২০০ টাকা দিলেন।
14. আমিনুরচাচা তাঁর $35$ কাঠা জমিতে $4:3$ অনুপাতে বেগুন ও পটল চাষ করেছেন। প্রতি কাঠায় বেগুন থেকে $150$ টাকা ও প্রতি কাঠায় পটল থেকে $125$ টাকা লাভ করলেন। আমিনুরচাচার মোট জমি থেকে বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত হিসাব করি।
সমাধান:
মোট জমি $= 35$ কাঠা।
জমির অনুপাত (বেগুন : পটল) $= 4 : 3$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 4 + 3 = 7$।
জমির পরিমাণ নির্ণয়:
বেগুন চাষের জমি $= 35 \times \frac{4}{7} = 20$ কাঠা।
পটল চাষের জমি $= 35 \times \frac{3}{7} = 15$ কাঠা।
লাভের পরিমাণ নির্ণয়:
বেগুন থেকে মোট লাভ $= 20 \times 150 = 3,000$ টাকা।
পটল থেকে মোট লাভ $= 15 \times 125 = 1,875$ টাকা।
লাভের অনুপাত:
বেগুন : পটল
$= 3000 : 1875$
$= 120 : 75$ ($25$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 24 : 15$ ($5$ দিয়ে ভাগ করে)
$= 8 : 5$ ($3$ দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত $8 : 5$।
শেয়ার