সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি- 3

যাচাইকরণ:

(i) $5, 7, 25, 35$
প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত $= \frac{5}{7}$
তৃতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত $= \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$
$\therefore$ সংখ্যা চারটি সমানুপাতী।

(ii) $4, 10, 30, 18$
প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত $= \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
তৃতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত $= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$
অনুপাত সমান নয়, তাই সংখ্যা চারটি সমানুপাতী নয়।

(iii) $5, 10, 16, 20$
প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
তৃতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত $= \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$
অনুপাত সমান নয়, তাই সংখ্যা চারটি সমানুপাতী নয়।

(iv) $9, 15, 18, 30$
প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত $= \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$
তৃতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত $= \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
$\therefore$ সংখ্যা চারটি সমানুপাতী।

উত্তর: ছকটি উপরের ফলাফলের ভিত্তিতে পূরণ করতে হবে।

সমাধান:
লোকসংখ্যার সাথে দিনসংখ্যার ব্যস্ত সম্পর্ক (কারণ লোক বাড়লে সময় কম লাগবে)।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
লোকসংখ্যা (জন) : $8$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $15$
লোকসংখ্যা (জন) : $10$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $?$ ($x$)

ব্যস্ত সমানুপাতটি হলো:
$10 : 8 :: 15 : x$

নির্ণেয় সময় ($x$):
$x = \frac{8 \times 15}{10}$
$x = \frac{120}{10}$
$x = 12$

উত্তর: $10$ জন লোক ওই কাজটি $12$ দিনে করতে পারবে।

সমাধান:
লোকসংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
লোকসংখ্যা (জন) : $12$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $20$
লোকসংখ্যা (জন) : $40$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $?$ ($x$)

ব্যস্ত সমানুপাতটি হলো:
$40 : 12 :: 20 : x$

নির্ণেয় সময় ($x$):
$x = \frac{12 \times 20}{40}$
$x = \frac{240}{40}$
$x = 6$

উত্তর: ওই খাদ্যে $40$ জন লোকের $6$ দিন চলবে।

সমাধান:
দিনসংখ্যার সাথে লাঙলের সংখ্যার ব্যস্ত সম্পর্ক (সময় কমলে লাঙল বেশি লাগবে)।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
সময় (দিন) : $10$ $\rightarrow$ লাঙল (টি) : $16$
সময় (দিন) : $8$ $\rightarrow$ লাঙল (টি) : $?$ ($x$)

ব্যস্ত সমানুপাতটি হলো:
$8 : 10 :: 16 : x$

নির্ণেয় লাঙলের সংখ্যা ($x$):
$x = \frac{10 \times 16}{8}$
$x = 10 \times 2$ ($8$ দিয়ে $16$ কে ভাগ করে)
$x = 20$

উত্তর: 8 দিনে চাষ করার জন্য 20 টি লাঙল দরকার।

সমাধান:
30 দিন পর,
অবশিষ্ট সময় $= 190 – 30 = 160$ দিন।
অবশিষ্ট লোকসংখ্যা $= 4,000 – 800 = 3,200$ জন।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
লোকসংখ্যা (জন) : $4,000$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $160$
লোকসংখ্যা (জন) : $3,200$ $\rightarrow$ সময় (দিন) : $?$ ($x$)

লোকসংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক (লোক কমলে খাবার বেশি দিন চলবে)।
সমানুপাতটি হলো:
$3,200 : 4,000 :: 160 : x$

নির্ণেয় সময় ($x$):
$x = \frac{4,000 \times 160}{3,200}$
$x = \frac{40 \times 160}{32}$
$x = \frac{5 \times 160}{4}$ ($40$ কে $8$ দিয়ে এবং $32$ কে $8$ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে $5$ ও $4$ পাই)
$x = 5 \times 40$
$x = 200$

উত্তর: অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর 200 দিন চলবে।

সমাধান:
প্রশ্নানুসারে,
3টি ছাতার দাম $= 600$ টাকা।
$\therefore$ 1টি ছাতার দাম $= \frac{600}{3} = 200$ টাকা।

আবার,
1টি চেয়ারের দাম $= 600$ টাকা।

এখন,
2টি ছাতার দাম $= 2 \times 200 = 400$ টাকা।
2টি চেয়ারের দাম $= 2 \times 600 = 1,200$ টাকা।

$\therefore$ মোট দাম $= 400 + 1,200 = 1,600$ টাকা।

উত্তর: 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের মোট দাম 1,600 টাকা।

(এটি একটি কাজ যা শ্রেণিকক্ষের বাস্তব সংখ্যার ওপর নির্ভর করে। এখানে একটি উদাহরণের সাহায্যে সমাধান দেখানো হলো।)

উদাহরণ সমাধান:
ধরি, আমার শ্রেণিতে (সপ্তম শ্রেণি) মোট ছাত্রছাত্রী $50$ জন।
আজ উপস্থিত $= 40$ জন, অনুপস্থিত $= 10$ জন।
$\therefore$ উপস্থিত : অনুপস্থিত $= 40 : 10 = 4 : 1$।

ধরি, ষষ্ঠ শ্রেণিতে মোট ছাত্রছাত্রী $60$ জন।
আজ উপস্থিত $= 48$ জন, অনুপস্থিত $= 12$ জন।
$\therefore$ উপস্থিত : অনুপস্থিত $= 48 : 12 = 4 : 1$।

তুলনা:
দুটি অনুপাতই $4 : 1$, তাই অনুপাত দুটি সমান।

সমানুপাত পরীক্ষা:
সংখ্যা চারটি হলো: $40, 10, 48, 12$।
প্রান্তীয় পদদুটির গুণফল $= 40 \times 12 = 480$।
মধ্যপদদুটির গুণফল $= 10 \times 48 = 480$।
যেহেতু গুণফল সমান, তাই সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

উত্তর: (উদাহরণের ক্ষেত্রে) অনুপাত দুটি সমান এবং সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

সমাধান:
১ম শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত $= 2:5$।
$\therefore$ সিরাপের অংশ $= \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ অংশ।

২য় শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত $= 6:10 = 3:5$।
$\therefore$ সিরাপের অংশ $= \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ অংশ।

এখন, $\frac{2}{7}$ ও $\frac{3}{8}$ এর মধ্যে তুলনা করি।
হরগুলোর ল.সা.গু ($7, 8$) $= 56$।
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 8}{7 \times 8} = \frac{16}{56}$
$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 7}{8 \times 7} = \frac{21}{56}$

যেহেতু $\frac{21}{56} > \frac{16}{56}$, তাই দ্বিতীয় শরবতে সিরাপের পরিমাণ বেশি।

উত্তর: দ্বিতীয় শরবতটি বেশি মিষ্টি।

সমাধান:
ধরি, জলের আয়তন $= 100$ একক।
জল জমে বরফ হলে আয়তন বাড়ে $= 10\%$।
$\therefore$ বরফের আয়তন $= 100 + 10 = 110$ একক।

নির্ণেয় অনুপাত (জল : বরফ):
$= 100 : 110$
$= 10 : 11$ ($10$ দিয়ে ভাগ করে)।

উত্তর: জল ও বরফের আয়তনের অনুপাত $10 : 11$।

সমাধান:
আমার বয়স $= 12$ বছর।
বাবার বয়স $= 42$ বছর।

বয়সের অনুপাত (আমার : বাবার):
$= 12 : 42$
$= 2 : 7$ ($6$ দিয়ে ভাগ করে)।

উত্তর: দু’জনের বয়সের অনুপাত $2 : 7$।

সমাধান:
গল্পের বই : পড়ার বই $= 2 : 5$।
দেওয়া আছে, গল্পের বই $= 4$টি।
ধরি, পড়ার বই $= x$টি।

সমানুপাতটি হলো:
$2 : 5 :: 4 : x$
বা, $\frac{2}{5} = \frac{4}{x}$
বা, $2x = 20$
বা, $x = \frac{20}{2} = 10$

উত্তর: পড়ার বই আছে $10$টি।

সমাধান:
মোট ফুল $= 105$টি।
জবা : গাঁদা $= 3 : 4$।
অনুপাতের সমষ্টি $= 3 + 4 = 7$।

জবা ফুলের সংখ্যা $= 105 \times \frac{3}{7} = 15 \times 3 = 45$টি।
গাঁদা ফুলের সংখ্যা $= 105 \times \frac{4}{7} = 15 \times 4 = 60$টি।

দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাত সমান অর্থাৎ $1:1$ করতে হলে জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যা সমান হতে হবে।
যেহেতু গাঁদা ফুল আছে $60$টি, তাই জবা ফুলও হতে হবে $60$টি।
$\therefore$ আরও জবা ফুল লাগবে $= 60 – 45 = 15$টি।

উত্তর: জবা ফুল আছে $45$টি এবং গাঁদা ফুল আছে $60$টি। আর $15$টি জবা ফুল দিলে অনুপাত সমান হবে।