সপ্তম শ্রেণী গণিত: অধ্যায় ১২ নিজে করি -12.1 বীজগণিতের সূত্রাবলী

সমাধান:
আমরা জানি, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$।
এখানে $a$-এর জায়গায় $x$ এবং $b$-এর জায়গায় $3$ নিলাম।

$\therefore (x + 3)^2$
$= (x)^2 + 2 \times x \times 3 + (3)^2$
$= x^2 + 6x + 9$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $x^2 + 6x + 9$।

সমাধান:
$(a + b)^2$ সূত্রের সাহায্যে পাই:
এখানে $a$-এর জায়গায় $p$ এবং $b$-এর জায়গায় $9$ নিলাম।

$\therefore (p + 9)^2$
$= (p)^2 + 2 \times p \times 9 + (9)^2$
$= p^2 + 18p + 81$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $p^2 + 18p + 81$।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটি হলো $(6 – x)$। একে আমরা $(6 + (-x))$ হিসেবে লিখতে পারি।
$(a + b)^2$ সূত্রের সাহায্যে পাই:
এখানে $a$-এর জায়গায় $6$ এবং $b$-এর জায়গায় $(-x)$ নিলাম।

$\therefore (6 – x)^2$
$= (6)^2 + 2 \times 6 \times (-x) + (-x)^2$
$= 36 – 12x + x^2$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $36 – 12x + x^2$।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটি হলো $(y – 2)$। একে আমরা $(y + (-2))$ হিসেবে লিখতে পারি।
$(a + b)^2$ সূত্রের সাহায্যে পাই:
এখানে $a$-এর জায়গায় $y$ এবং $b$-এর জায়গায় $(-2)$ নিলাম।

$\therefore (y – 2)^2$
$= (y)^2 + 2 \times y \times (-2) + (-2)^2$
$= y^2 – 4y + 4$

উত্তর: নির্ণেয় বর্গ $y^2 – 4y + 4$।

সমাধান:

এখানে $a = mn$ এবং $b = l^2$ ধরে পাই:

$(mn + l^2)^2$

$= (mn)^2 + 2 \times mn \times l^2 + (l^2)^2$

$= m^2n^2 + 2mnl^2 + l^4$

উত্তর: $m^2n^2 + 2mnl^2 + l^4$

সমাধান:

এখানে $a = 6x$ এবং $b = 3$ ধরে পাই:

$(6x + 3)^2$

$= (6x)^2 + 2 \times 6x \times 3 + (3)^2$

$= 36x^2 + 36x + 9$

উত্তর: $36x^2 + 36x + 9$

সমাধান:

এখানে $a = 4x$ এবং $b = 5y$ ধরে পাই:

$(4x + 5y)^2$

$= (4x)^2 + 2 \times 4x \times 5y + (5y)^2$

$= 16x^2 + 40xy + 25y^2$

উত্তর: $16x^2 + 40xy + 25y^2$

সমাধান:

এখানে $a = pqc$ এবং $b = 2$ ধরে পাই:

$(pqc + 2)^2$

$= (pqc)^2 + 2 \times pqc \times 2 + (2)^2$

$= p^2q^2c^2 + 4pqc + 4$

উত্তর: $p^2q^2c^2 + 4pqc + 4$

সমাধান:

এখানে $a = \frac{5}{k}$ এবং $b = 3$ ধরে পাই:

$(\frac{5}{k} + 3)^2$

$= (\frac{5}{k})^2 + 2 \times \frac{5}{k} \times 3 + (3)^2$

$= \frac{25}{k^2} + \frac{30}{k} + 9$

উত্তর: $\frac{25}{k^2} + \frac{30}{k} + 9$

সমাধান:

এখানে $a = \frac{3}{r}$ এবং $b = \frac{2}{p}$ ধরে পাই:

$(\frac{3}{r} + \frac{2}{p})^2$

$= (\frac{3}{r})^2 + 2 \times \frac{3}{r} \times \frac{2}{p} + (\frac{2}{p})^2$

$= \frac{9}{r^2} + \frac{12}{rp} + \frac{4}{p^2}$

উত্তর: $\frac{9}{r^2} + \frac{12}{rp} + \frac{4}{p^2}$

সমাধান:

এখানে $a = \frac{p}{q}$ এবং $b = \frac{m}{n}$ ধরে পাই:

$(\frac{p}{q} + \frac{m}{n})^2$

$= (\frac{p}{q})^2 + 2 \times \frac{p}{q} \times \frac{m}{n} + (\frac{m}{n})^2$

$= \frac{p^2}{q^2} + \frac{2pm}{qn} + \frac{m^2}{n^2}$

উত্তর: $\frac{p^2}{q^2} + \frac{2pm}{qn} + \frac{m^2}{n^2}$

সমাধান:

এখানে $a = m^2$ এবং $b = n^2$ ধরে পাই:

$(m^2 + n^2)^2$

$= (m^2)^2 + 2 \times m^2 \times n^2 + (n^2)^2$

$= m^4 + 2m^2n^2 + n^4$

উত্তর: $m^4 + 2m^2n^2 + n^4$

সমাধান:

এখানে $a = 3xy$ এবং $b = 4z$ ধরে পাই:

$(3xy + 4z)^2$

$= (3xy)^2 + 2 \times 3xy \times 4z + (4z)^2$

$= 9x^2y^2 + 24xyz + 16z^2$

উত্তর: $9x^2y^2 + 24xyz + 16z^2$

সমাধান:

রাশিটিকে দুটি অংশে ভাগ করি: ধরি $a = (2x + 3y)$ এবং $b = z$।

$\{(2x + 3y) + z\}^2$

$= (2x + 3y)^2 + 2(2x + 3y)z + z^2$

$= \{(2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2\} + (4xz + 6yz) + z^2$

$= (4x^2 + 12xy + 9y^2) + 4xz + 6yz + z^2$

$= 4x^2 + 9y^2 + z^2 + 12xy + 4xz + 6yz$

উত্তর: $4x^2 + 9y^2 + z^2 + 12xy + 4xz + 6yz$

সমাধান:

$102 = 100 + 2$

এখানে $a = 100$ এবং $b = 2$ ধরে পাই:

$(100 + 2)^2$

$= (100)^2 + 2 \times 100 \times 2 + (2)^2$

$= 10000 + 400 + 4$

$= 10404$

উত্তর: $10404$

সমাধান:

রাশিটিকে আমরা দুটি অংশে ভাগ করে নিই।

ধরি, $A = (p + q)$ এবং $B = (r + s)$।

এখন, $(p + q + r + s)^2 = \{(p + q) + (r + s)\}^2$

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= (p + q)^2 + 2(p + q)(r + s) + (r + s)^2$

এবার $(p + q)^2$ এবং $(r + s)^2$ এর সূত্র ভেঙে এবং গুণ করে পাই:

$= (p^2 + 2pq + q^2) + 2(pr + ps + qr + qs) + (r^2 + 2rs + s^2)$

$= p^2 + 2pq + q^2 + 2pr + 2ps + 2qr + 2qs + r^2 + 2rs + s^2$

সাজিয়ে লিখলে পাই:

$= p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + 2pq + 2pr + 2ps + 2qr + 2qs + 2rs$

উত্তর: $p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + 2pq + 2pr + 2ps + 2qr + 2qs + 2rs$