সপ্তম শ্রেণী গণিত: কষে দেখি – 19.2 উৎপাদকে বিশ্লেষণ

$$= (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + (7)^2$$
$$= (x + 7)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 7)^2$

$$= (2m)^2 – 2 \cdot 2m \cdot 9 + (9)^2$$
$$= (2m – 9)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(2m – 9)^2$

$$= (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 3 + (3)^2$$
$$= (5x + 3)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(5x + 3)^2$

$$= (11b)^2 – 2 \cdot 11b \cdot 4c + (4c)^2$$
$$= (11b – 4c)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(11b – 4c)^2$

$$= (x^2 + y^2)^2 – (2xy)^2$$
$$= (x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 – 2xy)$$
$$= (x + y)^2 (x – y)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + y)^2 (x – y)^2$

$$= (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2$$
$$= (a^2 + 2b^2)^2$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a^2 + 2b^2)^2$

$$= 4(x^2 – 4)$$
$$= 4\{(x)^2 – (2)^2\}$$
$$= 4(x + 2)(x – 2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $4(x + 2)(x – 2)$

$$= (11)^2 – (6x)^2$$
$$= (11 + 6x)(11 – 6x)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(11 + 6x)(11 – 6x)$

$$= (xy)^2 – (pq)^2$$
$$= (xy + pq)(xy – pq)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(xy + pq)(xy – pq)$

$$= 5(16m^2 – 25)$$
$$= 5\{(4m)^2 – (5)^2\}$$
$$= 5(4m + 5)(4m – 5)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $5(4m + 5)(4m – 5)$

$$= a(x^2 – y^2)$$
$$= a(x + y)(x – y)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $a(x + y)(x – y)$

$$= (1)^2 – (m + n)^2$$
$$= \{1 + (m + n)\}\{1 – (m + n)\}$$
$$= (1 + m + n)(1 – m – n)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(1 + m + n)(1 – m – n)$

$$= \{(2a – b – c) + (a – 2b – c)\} \{(2a – b – c) – (a – 2b – c)\}$$
$$= (2a – b – c + a – 2b – c) (2a – b – c – a + 2b + c)$$
$$= (3a – 3b – 2c) (a + b)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3a – 3b – 2c)(a + b)$

$$= x^2 – 2xy + y^2 – 4y^2$$
$$= (x – y)^2 – (2y)^2$$
$$= (x – y + 2y)(x – y – 2y)$$
$$= (x + y)(x – 3y)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + y)(x – 3y)$

$$= (x^2 + 6xy + 9y^2) – z^2$$
$$= (x + 3y)^2 – z^2$$
$$= (x + 3y + z)(x + 3y – z)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + 3y + z)(x + 3y – z)$

$$= a^2 – (b^2 – 2bc + c^2)$$
$$= (a)^2 – (b – c)^2$$
$$= (a + b – c)\{a – (b – c)\}$$
$$= (a + b – c)(a – b + c)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + b – c)(a – b + c)$

$$= \{a(b – c)\}^2 – \{b(c – a)\}^2$$
$$= (ab – ac)^2 – (bc – ab)^2$$
$$= \{(ab – ac) + (bc – ab)\} \{(ab – ac) – (bc – ab)\}$$
$$= (bc – ac) (2ab – bc – ac)$$
$$= c(b – a)(2ab – bc – ac)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $c(b – a)(2ab – bc – ac)$

$$= x^2 – (y^2 + 6yz + 9z^2)$$
$$= (x)^2 – (y + 3z)^2$$
$$= (x + y + 3z)\{x – (y + 3z)\}$$
$$= (x + y + 3z)(x – y – 3z)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + y + 3z)(x – y – 3z)$

$$= (x^2 – y^2) + (4x – 4y)$$
$$= (x + y)(x – y) + 4(x – y)$$
$$= (x – y)(x + y + 4)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x – y)(x + y + 4)$

$$= a^2 – 2ac + c^2 – b^2 + 2bd – d^2$$
$$= (a – c)^2 – (b^2 – 2bd + d^2)$$
$$= (a – c)^2 – (b – d)^2$$
$$= (a – c + b – d)(a – c – b + d)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a + b – c – d)(a – b – c + d)$

$$= c^2 – (a^2 – 2ab + b^2)$$
$$= (c)^2 – (a – b)^2$$
$$= (c + a – b)(c – a + b)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(c + a – b)(c – a + b)$

$$= 36x^2 – (16a^2 + 24ab + 9b^2)$$
$$= (6x)^2 – (4a + 3b)^2$$
$$= (6x + 4a + 3b)(6x – 4a – 3b)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(6x + 4a + 3b)(6x – 4a – 3b)$

$$= a^2 – (1 – 2b + b^2)$$
$$= (a)^2 – (1 – b)^2$$
$$= (a + 1 – b)(a – 1 + b)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a – b + 1)(a + b – 1)$

$$= (a^2 – b^2) – (2a – 2b)$$
$$= (a + b)(a – b) – 2(a – b)$$
$$= (a – b)(a + b – 2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a – b)(a + b – 2)$

$$= a^2c^2 – a^2d^2 – b^2c^2 + b^2d^2 – 2abcd – 2abcd$$
$$= (a^2c^2 – 2abcd + b^2d^2) – (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$$
$$= (ac – bd)^2 – (ad + bc)^2$$
$$= (ac – bd + ad + bc)(ac – bd – ad – bc)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(ac – bd + ad + bc)(ac – bd – ad – bc)$

$$= (a^2 – b^2) – 4c(a – b)$$
$$= (a + b)(a – b) – 4c(a – b)$$
$$= (a – b)(a + b – 4c)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a – b)(a + b – 4c)$

$$= (a^2 – b^2 – c^2 + d^2)^2 – \{2(ad – bc)\}^2$$
$$= \{a^2 – b^2 – c^2 + d^2 + 2ad – 2bc\} \{a^2 – b^2 – c^2 + d^2 – 2ad + 2bc\}$$
$$= \{(a^2 + 2ad + d^2) – (b^2 + 2bc + c^2)\} \{(a^2 – 2ad + d^2) – (b^2 – 2bc + c^2)\}$$
$$= \{(a + d)^2 – (b + c)^2\} \{(a – d)^2 – (b – c)^2\}$$
$$= (a + d + b + c)(a + d – b – c)(a – d + b – c)(a – d – b + c)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)$

$$= 4x^2 – x^2 – y^2 + z^2 – 2xy – 4xz$$
$$= (4x^2 – 4xz + z^2) – (x^2 + 2xy + y^2)$$
$$= (2x – z)^2 – (x + y)^2$$
$$= \{2x – z + (x + y)\}\{2x – z – (x + y)\}$$
$$= (3x + y – z)(x – y – z)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3x + y – z)(x – y – z)$

$$= (9x^2)^2 + (2y^2)^2$$
$$= (9x^2 + 2y^2)^2 – 2 \cdot 9x^2 \cdot 2y^2$$
$$= (9x^2 + 2y^2)^2 – 36x^2y^2$$
$$= (9x^2 + 2y^2)^2 – (6xy)^2$$
$$= (9x^2 + 2y^2 + 6xy)(9x^2 + 2y^2 – 6xy)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(9x^2 + 6xy + 2y^2)(9x^2 – 6xy + 2y^2)$

$$= (p^2)^2 + (2q^2)^2 – 13p^2q^2$$
$$= (p^2 – 2q^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot 2q^2 – 13p^2q^2$$
$$= (p^2 – 2q^2)^2 + 4p^2q^2 – 13p^2q^2$$
$$= (p^2 – 2q^2)^2 – 9p^2q^2$$
$$= (p^2 – 2q^2)^2 – (3pq)^2$$
$$= (p^2 – 2q^2 + 3pq)(p^2 – 2q^2 – 3pq)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(p^2 + 3pq – 2q^2)(p^2 – 3pq – 2q^2)$

$$= (x^4)^2 – (4y^4)^2$$
$$= (x^4 + 4y^4)(x^4 – 4y^4)$$
$$= (x^4 + 4y^4) \{(x^2)^2 – (2y^2)^2\}$$
$$= (x^4 + 4y^4)(x^2 + 2y^2)(x^2 – 2y^2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^4 + 4y^4)(x^2 + 2y^2)(x^2 – 2y^2)$

$$= (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 – x^2y^2$$
$$= (x^2 + y^2)^2 – (xy)^2$$
$$= (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 – xy)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$

$$= 3x^4 + 3x^2y^2 – x^2y^2 – y^4$$
$$= 3x^2(x^2 + y^2) – y^2(x^2 + y^2)$$
$$= (x^2 + y^2)(3x^2 – y^2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 + y^2)(3x^2 – y^2)$

$$= (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + (1)^2 – x^2$$
$$= (x^2 + 1)^2 – (x)^2$$
$$= (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 – x)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1)$

$$= x^4 + 4x^2y^2 + 2x^2y^2 + 8y^4$$
$$= x^2(x^2 + 4y^2) + 2y^2(x^2 + 4y^2)$$
$$= (x^2 + 4y^2)(x^2 + 2y^2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 + 4y^2)(x^2 + 2y^2)$

$$= 4x^2 – x^2 – y^2 + z^2 – 2xy – 4xz$$
$$= (4x^2 – 4xz + z^2) – (x^2 + 2xy + y^2)$$
$$= (2x – z)^2 – (x + y)^2$$
$$= (2x – z + x + y)(2x – z – x – y)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(3x + y – z)(x – y – z)$

$$= 3x^4 – 3x^2y^2 – x^2y^2 + y^4$$
$$= 3x^2(x^2 – y^2) – y^2(x^2 – y^2)$$
$$= (x^2 – y^2)(3x^2 – y^2)$$
$$= (x + y)(x – y)(3x^2 – y^2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x + y)(x – y)(3x^2 – y^2)$

$$= p^4 – 5p^2q^2 + 3p^2q^2 – 15q^4$$
$$= p^2(p^2 – 5q^2) + 3q^2(p^2 – 5q^2)$$
$$= (p^2 – 5q^2)(p^2 + 3q^2)$$

নির্ণেয় উৎপাদক: $(p^2 – 5q^2)(p^2 + 3q^2)$

$$= (x^4)^2 + 2x^4y^4 + (y^4)^2 – x^4y^4$$
$$= (x^4 + y^4)^2 – (x^2y^2)^2$$
$$= (x^4 + y^4 + x^2y^2)(x^4 + y^4 – x^2y^2)$$
প্রথম অংশটি সাজিয়ে পাই: $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$
$$= (x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)$$ [(iv) নং সমস্যা অনুযায়ী]

নির্ণেয় উৎপাদক: $(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)(x^4 – x^2y^2 + y^4)$