অষ্টম শ্রেণী গণিত: ঘনফুল নির্ণয় কষে দেখি – 5.3

আমরা জানি,

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

---

(i)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $x + 9$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $x^2 – 9x + 81$

$(x + 9)(x^2 – 9x + 81)$
$= (x)^3 + (9)^3$
$= x^3 + 729 $

উত্তর (গুণফল): = $x^3 + 729$

---

(ii)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $2a – 1$

গুণফল: $8a^3 – 1$

$= (2a)^3 – (1)^3$
$= (2a – 1)[(2a)^2 + (2a)(1) + (1)^2)]$
$= (2a – 1)(4a^2 + 2a + 1)$

উত্তর (দ্বিতীয় সংখ্যামালা): $ = 4a^2 + 2a + 1$

---

(iii)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $3 – 5c$

গুণফল: $27 – 125c^3$

$= (3)^3 – (5c)^3$
$= (3 – 5c)[(3)^2 + (3)(5c) + (5c)^2)]$
$= (3 – 5c)(9 + 15c + 25c^2)$

উত্তর (দ্বিতীয় সংখ্যামালা): $ 9 + 15c + 25c^2$

---

(iv)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $a + b + c$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা:
$(a + b)^2 – (a + b)c + c^2$

$ [(a + b) + c][(a + b)^2 – (a + b)c + c^2)]$
$ = (a + b)^3 + c^3$

উত্তর (গুণফল): $(a + b)^3 + c^3$

---

(v)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $3x$ [যেহেতু $(2x-1) + (x+1) = 3x$]

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $(2x – 1)^2 – (2x – 1)(x + 1) + (x + 1)^2$

$[(2x-1) + (x+1)][2x – 1)^2 – (2x – 1)(x + 1) + (x + 1)^2]$

$=(2x – 1)^3 + (x + 1)^3$
$ = [(2x)^3 – 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 – 1^3] + [x^3 + 3x^2 + 3x + 1] $

$ = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 + x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $
$ = 9x^3 – 9x^2 + 9x $

উত্তর (গুণফল): $9x^3 – 9x^2 + 9x$

---

(vi)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $\frac{x}{y} + 1$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $\frac{x^2}{y^2} – \frac{x}{y} + 1$

$ = \left(\frac{x}{y} + 1\right)\left[\left(\frac{x}{y}\right)^2 – \left(\frac{x}{y}\right)(1) + 1^2\right] $

উত্তর (গুণফল): $\left(\frac{x}{y}\right)^3 + (1)^3 = \frac{x^3}{y^3} + 1$

---

(vii)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $4a – 5b$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $16a^2 + 20ab + 25b^2$

$ = (4a – 5b)(16a^2 + 20ab + 25b^2) $
$ = (4a – 5b)\left[(4a)^2 + (4a)(5b) + (5b)^2\right] $
$ = (4a)^3 – (5b)^3 $
$ = 64a^3 – 125b^3 $

উত্তর (গুণফল): $ 64a^3 – 125b^3$

---

(viii)

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $a^2b^2 + abcd + c^2d^2$

গুণফল: $a^3b^3 – c^3d^3$
$ = (ab)^3 – (cd)^3 $
$ (ab)^3 – (cd)^3 $
$ = (ab – cd)\left[(ab)^2 + (ab)(cd) + (cd)^2\right] $

$ = (ab – cd)(a^2b^2 + abcd + c^2d^2) $

উত্তর (প্রথম সংখ্যামালা): $ab – cd$

---

(ix)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $1 – 4y$

গুণফল: $1 – 64y^3$

$ 1 – 64y^3 $

$ = 1^3 – (4y)^3 $

$ = (1 – 4y)(1^2 + 1\cdot 4y + (4y)^2) $

$ = (1 – 4y)(1 + 4y + 16y^2) $

উত্তর (দ্বিতীয় সংখ্যামালা): $ = 1 + 4y + 16y^2$

---

(x)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $2p + 1$

গুণফল: $8(p – 3)^3 + 343 = [2(p – 3)]^3 + (7)^3$

এখানে
$ 8(p – 3)^3 + 343 $

$ = [2(p – 3)]^3 + 7^3 $

$ = (2p + 1)\{4(p – 3)^2 – 14(p – 3) + 49\} $

$ = (2p + 1)\{4(p^2 – 6p + 9) – 14p + 42 + 49\} $

$ = (2p + 1)(4p^2 – 24p + 36 – 14p + 91) $

$ = (2p + 1)(4p^2 – 38p + 127) $

উত্তর (দ্বিতীয় সংখ্যামালা): $4p^2 – 38p + 127$

---

(xi)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $m – p$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $(m + n)^2 + (m + n)(n + p) + (n + p)^2$

এখানে $a = m+n$ এবং $b = n+p$।

সুতরাং, $a-b = (m+n) – (n+p) = m-p$ (যা প্রথম সংখ্যামালার সাথে মিলছে)।

উত্তর (গুণফল): $(m + n)^3 – (n + p)^3$

---

(xii)

প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $a + b$

দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা: $(3a – 2b)^2 + (3a – 2b)(2a – 3b) + (2a – 3b)^2$

এখানে $a’ = 3a-2b$ এবং $b’ = 2a-3b$।

সুতরাং, $a’-b’ = (3a-2b) – (2a-3b) = a+b$ (যা প্রথম সংখ্যামালার সাথে মিলছে)।

উত্তর (গুণফল): $(3a – 2b)^3 – (2a – 3b)^3$

সমাধান:

রাশিগুলিকে সাজিয়ে পাই,

$= \{(a+b)(a^2-ab+b^2)\} \times \{(a-b)(a^2+ab+b^2)\}$

$= (a^3 + b^3)(a^3 – b^3)$

$= (a^3)^2 – (b^3)^2$ [$(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$]

$= a^6 – b^6$

উত্তর: $a^6 – b^6$

সমাধান:

$= \{(a-2b)(a^2 + a \cdot 2b + (2b)^2)\} \times (a^3+8b^3)$

$= \{a^3 – (2b)^3\} (a^3 + 8b^3)$

$= (a^3 – 8b^3)(a^3 + 8b^3)$

$= (a^3)^2 – (8b^3)^2$

$= a^6 – 64b^6$

উত্তর: $a^6 – 64b^6$

সমাধান:

প্রথমে $(4a^2-9)$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে ও সাজিয়ে পাই,

$= \{(2a+3)(2a-3)\}(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)$

$= \{(2a+3)(4a^2 – 2a \cdot 3 + 3^2)\} \times \{(2a-3)(4a^2 + 2a \cdot 3 + 3^2)\}$

$= \{(2a)^3 + 3^3\} \times \{(2a)^3 – 3^3\}$

$= (8a^3 + 27)(8a^3 – 27)$

$= (8a^3)^2 – (27)^2$

$= 64a^6 – 729$

উত্তর: $64a^6 – 729$

সমাধান:

$= (x^3 – y^3) + (y^3 – z^3) + (z^3 – x^3)$

$= x^3 – x^3 – y^3 + y^3 – z^3 + z^3$

$= 0$

উত্তর: 0

সমাধান:

$= (x^3 + 1^3) + \{(2x)^3 – 1^3\} – (x^3 – 1^3)$

$= (x^3 + 1) + (8x^3 – 1) – (x^3 – 1)$

$= x^3 + 1 + 8x^3 – 1 – x^3 + 1$

$= 8x^3 + 1$

উত্তর: $8x^3 + 1$

সমাধান:

প্রদত্ত,

$x + \frac{1}{x} = -1$

বা, $\frac{x^2 + 1}{x} = -1$

বা, $x^2 + 1 = -x$

বা, $x^2 + x + 1 = 0$ …….(i)

এখন, $x^3 – 1$

$= x^3 – 1^3$

$= (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2)$ [সূত্র: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$]

$= (x-1)(x^2 + x + 1)$

$= (x-1) \times 0$ [(i) থেকে মান বসিয়ে]

$= 0$

উত্তর: 0

সমাধান:

প্রদত্ত,

$a + \frac{9}{a} = 3$

বা, $\frac{a^2 + 9}{a} = 3$

বা, $a^2 + 9 = 3a$

বা, $a^2 – 3a + 9 = 0$ …….(i)

এখন, $a^3 + 27$

$= a^3 + 3^3$

$= (a+3)(a^2 – a \cdot 3 + 3^2)$ [সূত্র: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$]

$= (a+3)(a^2 – 3a + 9)$

$= (a+3) \times 0$ [(i) থেকে মান বসিয়ে]

$= 0$

উত্তর: 0

সমাধান:

প্রদত্ত,

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$

বা, $\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1$

বা, $a^2 + b^2 = ab$

বা, $a^2 – ab + b^2 = 0$ …….(i)

এখন, $a^3 + b^3$

$= (a+b)(a^2 – ab + b^2)$

$= (a+b) \times 0$ [(i) থেকে মান বসিয়ে]

$= 0$

উত্তর: 0

সমাধান:

$= (10a)^3 + (3b^2)^3$

$= (10a + 3b^2)\{(10a)^2 – (10a)(3b^2) + (3b^2)^2\}$

$= (10a + 3b^2)(100a^2 – 30ab^2 + 9b^4)$

উত্তর: $(10a + 3b^2)(100a^2 – 30ab^2 + 9b^4)$

সমাধান:

$= (1)^3 – (6z)^3$

$= (1 – 6z)\{1^2 + 1 \cdot 6z + (6z)^2\}$

$= (1 – 6z)(1 + 6z + 36z^2)$

উত্তর: $(1 – 6z)(1 + 6z + 36z^2)$

সমাধান:

$= m(m^3 – 1)$

$= m\{(m)^3 – (1)^3\}$

$= m(m – 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2)$

$= m(m – 1)(m^2 + m + 1)$

উত্তর: $m(m – 1)(m^2 + m + 1)$

সমাধান:

$= 3(64a^3 + 1)$

$= 3\{(4a)^3 + (1)^3\}$

$= 3(4a + 1)\{(4a)^2 – 4a \cdot 1 + 1^2\}$

$= 3(4a + 1)(16a^2 – 4a + 1)$

উত্তর: $3(4a + 1)(16a^2 – 4a + 1)$

সমাধান:

$= 2a(8a^3x^3 + 27y^3)$

$= 2a\{(2ax)^3 + (3y)^3\}$

$= 2a(2ax + 3y)\{(2ax)^2 – (2ax)(3y) + (3y)^2\}$

$= 2a(2ax + 3y)(4a^2x^2 – 6axy + 9y^2)$

উত্তর: $2a(2ax + 3y)(4a^2x^2 – 6axy + 9y^2)$

সমাধান:

$= (9abc)^3 – (5)^3$

$= (9abc – 5)\{(9abc)^2 + (9abc)(5) + 5^2\}$

$= (9abc – 5)(81a^2b^2c^2 + 45abc + 25)$

উত্তর: $(9abc – 5)(81a^2b^2c^2 + 45abc + 25)$

সমাধান:

$= \left(\frac{3}{a}\right)^3 – \left(\frac{1}{3b}\right)^3$

$= \left(\frac{3}{a} – \frac{1}{3b}\right) \left\{\left(\frac{3}{a}\right)^2 + \left(\frac{3}{a}\right)\left(\frac{1}{3b}\right) + \left(\frac{1}{3b}\right)^2\right\}$

$= \left(\frac{3}{a} – \frac{1}{3b}\right) \left(\frac{9}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{9b^2}\right)$

উত্তর: $\left(\frac{3}{a} – \frac{1}{3b}\right) \left(\frac{9}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{9b^2}\right)$

সমাধান:

$= \left(\frac{x}{4}\right)^3 – \left(\frac{4}{x}\right)^3$

$= \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left\{\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{x}{4}\right)\left(\frac{4}{x}\right) + \left(\frac{4}{x}\right)^2\right\}$

$= \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left(\frac{x^2}{16} + 1 + \frac{16}{x^2}\right)$

উত্তর: $\left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left(\frac{x^2}{16} + 1 + \frac{16}{x^2}\right)$

সমাধান:

$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + y^3$
[ $2y^3$ কে $y^3 + y^3$ ভেঙ্গে ]

$= (x + y)^3 + (y)^3$

$= (x + y + y) \{(x + y)^2 – (x + y)(y) + (y)^2\}$

$= (x + 2y) (x^2 + 2xy + y^2 – xy – y^2 + y^2)$

$= (x + 2y) (x^2 + xy + y^2)$

উত্তর: $(x + 2y) (x^2 + xy + y^2)$

সমাধান:

$1 + 9x + 27x^2 + 28x^3$

$= 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 3x + 3 \cdot 1 \cdot (3x)^2 + (3x)^3 + x^3$
[ $28x^3$ = $27x^3 + x^3$ ভেঙ্গে এবং সূত্র সাজিয়ে ]

$= (1 + 3x)^3 + (x)^3$

$= (1 + 3x + x) \{(1 + 3x)^2 – (1 + 3x)(x) + x^2\}$

$= (1 + 4x) (1 + 6x + 9x^2 – x – 3x^2 + x^2)$

$= (1 + 4x) (1 + 5x + 7x^2)$

উত্তর: $(1 + 4x) (7x^2 + 5x + 1)$

সমাধান:

$x^3 – 9y^3 – 3xy(x-y)$

$= x^3 – 3xy(x-y) – y^3 – 8y^3$ [ $-9y^3$ = $-y^3 – 8y^3$ এ ভেঙে সাজিয়ে ]

$= (x-y)^3 – (2y)^3$

$= \{(x-y) – 2y\} \{(x-y)^2 + (x-y)(2y) + (2y)^2\}$

$= (x – 3y) (x^2 – 2xy + y^2 + 2xy – 2y^2 + 4y^2)$

$= (x – 3y) (x^2 + 3y^2)$

উত্তর: $(x – 3y) (x^2 + 3y^2)$

সমাধান:

$= 8 – (a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3)$ [মাইনাস কমন নিয়ে]

$= (2)^3 – (a-b)^3$

$= \{2 – (a-b)\} \{2^2 + 2(a-b) + (a-b)^2\}$

$= (2 – a + b) (4 + 2a – 2b + a^2 – 2ab + b^2)$

$= (2 – a + b) (a^2 + b^2 – 2ab + 2a – 2b + 4)$

উত্তর: $(2 – a + b) (a^2 + b^2 – 2ab + 2a – 2b + 4)$

সমাধান:

$= (x^2)^3 + 3(x^2)^2(b^2) + 3(x^2)(b^2)^2 + (b^2)^3 + (ab)^3$

$= (x^2 + b^2)^3 + (ab)^3$

$= \{(x^2 + b^2) + ab\} \{(x^2 + b^2)^2 – (x^2 + b^2)(ab) + (ab)^2\}$

$= (x^2 + b^2 + ab) (x^4 + 2x^2b^2 + b^4 – abx^2 – ab^3 + a^2b^2)$

উত্তর: $(x^2 + b^2 + ab) (x^4 + 2x^2b^2 + b^4 – abx^2 – ab^3 + a^2b^2)$

সমাধান:

$= (x^2)^3 + (3)^3$

$= (x^2 + 3) \{(x^2)^2 – x^2 \cdot 3 + 3^2\}$

$= (x^2 + 3) (x^4 – 3x^2 + 9)$

উত্তর: $(x^2 + 3) (x^4 – 3x^2 + 9)$

সমাধান:

$= (x^3)^2 – (y^3)^2$

$= (x^3 + y^3) (x^3 – y^3)$

$= \{(x+y)(x^2-xy+y^2)\} \{(x-y)(x^2+xy+y^2)\}$

$= (x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

উত্তর: $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

সমাধান:

$= (x^6)^2 – (y^6)^2$

$= (x^6 + y^6)(x^6 – y^6)$

এখন, $x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2+y^2)(x^4 – x^2y^2 + y^4)$

এবং, $x^6 – y^6 = (x^3)^2 – (y^3)^2 = (x^3+y^3)(x^3-y^3)$

$= (x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)$

সম্পূর্ণ রাশিমালাটি হলো:

$= (x^2+y^2)(x^4 – x^2y^2 + y^4)(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$

উত্তর: $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

সমাধান:

$= m^3 – n^3 – m^3 + mn^2 + n(m^2 – 2mn + n^2)$

$= -n^3 + mn^2 + nm^2 – 2mn^2 + n^3$ [গুণ করে]

$= nm^2 – mn^2$ [সদৃশ পদগুলির যোগ-বিয়োগ করে]

$= mn(m – n)$

উত্তর: $mn(m – n)$